Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame| | + | [[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame|Binäres und quaternäres Augendiagramm]] |
− | In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen: | + | In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen: |
− | * Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$. | + | * Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$. |
− | * Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$. | + | |
− | * Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$. | + | * Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$. |
− | * Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$: | + | |
+ | * Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$. | ||
+ | |||
+ | * Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$: | ||
:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | * Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_{\rm D} = 0$. | + | * Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_{\rm D} = 0$. |
− | Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein: | + | Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein: |
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$. Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$ | + | *Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$. |
− | Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass | + | |
− | * alle Detektionsgrundimpulswerte $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$ positiv sind, | + | *Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$. |
− | * die Summe $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt, | + | |
− | * der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$ berechnet werden kann: | + | *Der letzte Term beschreibt die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$. |
+ | |||
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+ | Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass | ||
+ | * alle Detektionsgrundimpulswerte $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$ positiv sind, | ||
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+ | * die (unendliche) Summe $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt, | ||
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+ | * der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ berechnet werden kann: | ||
:$$g_0 = s_0 | :$$g_0 = s_0 | ||
− | \cdot\ | + | \cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( |
\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
− | \right)\ | + | \right)\big] |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Grafik zeigt die Augendiagramme des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$: | + | Die Grafik zeigt die Augendiagramme (ohne Rauschen) des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$: |
− | *Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ (für $M = 2$ | + | *Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ $($für $M = 2)$ bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ $($für $M = 4)$. |
− | *In der Teilaufgabe (7) sollen diese numerisch ermittelt werden. | + | |
+ | *In der Teilaufgabe '''(7)''' sollen diese numerisch ermittelt werden. | ||
+ | |||
− | + | Hinweise: | |
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|"Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung"]]. |
− | + | ||
*Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt: | *Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt: | ||
:$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$ | :$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$ | ||
:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = | :$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = | ||
0.0228.$$ | 0.0228.$$ | ||
+ | |||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie groß | + | {Wie groß ist die Symboldauer $T$ beim Binär– bzw. beim Quaternärsystem? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 2: T$ | + | $M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 10 3% } $\ {\rm ns}$ |
− | $M = 4: T$ | + | $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 20 3% } $\ {\rm ns}$ |
− | {Berechnen Sie den Hauptwert für das Binärsystem. | + | {Berechnen Sie den Hauptwert $g_0$ für das Binärsystem. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 2: g_0$ | + | $M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.547 3% } $\ {\rm V}$ |
− | {Berechnen Sie den Hauptwert für das Quaternärsystem. | + | {Berechnen Sie den Hauptwert $g_0$ für das Quaternärsystem. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 4: g_0$ | + | $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.867 3% } $\ {\rm V}$ |
{Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses? | {Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M | + | + $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M - 1) - s_0,$ |
− | - $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M | + | - $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M - 1) - g_0,$ |
− | + $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M | + | + $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M - 1) \cdot \big [1 - 2 \cdot M \cdot {\rm Q}(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B}) \big ].$ |
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem? | {Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 2: \ddot{o}(T_{\rm D})$ | + | $M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.188 3% } $\ {\rm V}$ |
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem? | {Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 4: \ddot{o}(T_{\rm D})$ | + | $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.312 3% } $\ {\rm V}$ |
− | {Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den Schwellenwert $E_1$ ein. | + | {Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den unteren Schwellenwert $E_1$ ein. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $M = 4: E_1$ | + | $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} E_1\ = \ $ { -0.595--0.561 } $\ {\rm V}$ |
</quiz> | </quiz> | ||
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:$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß: | + | *Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß: |
:$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
'''(2)''' Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem: | '''(2)''' Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem: | ||
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T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot | T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot | ||
10\,{\rm ns} \right)\right] $$ | 10\,{\rm ns} \right)\right] $$ | ||
− | :$$ \ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right] | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0 \ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right] |
= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}} | = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(3)''' Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$: | + | '''(3)''' Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$: |
:$$g_0 \ = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right] | :$$g_0 \ = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right] | ||
= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}} | = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}} | ||
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− | '''(4)''' Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$, so erhält man: | + | '''(4)''' Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$, so erhält man: |
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu} | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu} | ||
= \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$ | = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei ist berücksichtigt | + | Hierbei ist berücksichtigt: |
+ | *Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden. | ||
+ | * Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich $s_0$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Richtig ist also der <u>erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 | ||
= \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot | = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot | ||
− | T \right)\right]- s_0 | + | T \right)\right]- s_0 $$ |
− | :$$ \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot |
T \right)\right] | T \right)\right] | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | Mit der Beziehung $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag. | ||
− | |||
− | + | '''(5)''' Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' sowie $M = 2$ erhält man: | |
− | '''(5)''' Mit den Ergebnissen aus 2) und 4) sowie $M = 2$ erhält man: | ||
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}} | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(6)''' Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen: | + | '''(6)''' Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen: |
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}} | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(7)''' Entsprechend Teilaufgabe 3) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor– und Nachläufer). Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$. Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt (für $T_{\rm D} = 0$ | + | '''(7)''' Entsprechend Teilaufgabe '''(3)''' ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor– und Nachläufer). |
+ | *Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$. | ||
+ | |||
+ | *Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt $($für $T_{\rm D} = 0)$: | ||
:$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V} | :$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die untere Begrenzung liegt bei: | + | *Die untere Begrenzung liegt bei: |
:$$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V} | :$$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges: | + | *Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges: |
:$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}} | :$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \, \underline {= \, –0.578 \, V}$. Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$. | + | *Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \, \underline {= \, –0.578 \, V}$. |
+ | |||
+ | *Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 | + | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]] |
Aktuelle Version vom 21. Juni 2022, 13:54 Uhr
In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
- Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
- Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
- Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.
- Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_{\rm D} = 0$.
Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$.
- Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$.
- Der letzte Term beschreibt die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.
Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
- alle Detektionsgrundimpulswerte $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$ positiv sind,
- die (unendliche) Summe $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,
- der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ berechnet werden kann:
- $$g_0 = s_0 \cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\big] \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme (ohne Rauschen) des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$:
- Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ $($für $M = 2)$ bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ $($für $M = 4)$.
- In der Teilaufgabe (7) sollen diese numerisch ermittelt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung".
- Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
- $${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
- $${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
- $$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:
- $$g_0 \ = \ s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot 10\,{\rm ns} \right)\right] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0 \ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$:
- $$g_0 \ = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$, so erhält man:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu} = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist berücksichtigt:
- Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.
- Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich $s_0$.
Richtig ist also der erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]- s_0 $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Mit der Beziehung $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.
(5) Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) sowie $M = 2$ erhält man:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(7) Entsprechend Teilaufgabe (3) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor– und Nachläufer).
- Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$.
- Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt $($für $T_{\rm D} = 0)$:
- $$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
- Die untere Begrenzung liegt bei:
- $$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
- Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
- $$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
- Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \, \underline {= \, –0.578 \, V}$.
- Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$.