Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame|Augenöffnung und Stufenzahl]]
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[[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame|Binäres und quaternäres Augendiagramm]]
In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
+
In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen.  Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
* Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
+
* Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe  $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
* Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.  
+
 
* Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.
+
* Die (äquivalente) Bitrate beträgt  $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:
+
 +
* Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte  $N_0$.
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* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:
 
:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
* Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_{\rm D} = 0$.
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* Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist  $T_{\rm D} = 0$.
  
  
Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
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Für die halbe Augenöffnung eines  $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$. Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$ und der letzte Term die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.
+
*Hierbei ist  $g_0 = g_d(t = 0)$  der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses  $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$.
Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
+
* alle Detektionsgrundimpulswerte $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$ positiv sind,
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*Der zweite Term beschreibt die Nachläufer  $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$. 
* die Summe $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,
+
* der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$ berechnet werden kann:
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*Der letzte Term beschreibt die Vorläufer  $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.
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Beachten Sie,  dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
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* alle Detektionsgrundimpulswerte  $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$  positiv sind,
 +
 
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* die (unendliche) Summe  $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$  den konstanten Wert  $s_0$  ergibt,
 +
 
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* der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$  berechnet werden kann:
 
:$$g_0 = s_0
 
:$$g_0 = s_0
   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
+
   \cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
 
\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
 
\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
   \right)\right]
+
   \right)\big]
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Grafik zeigt die Augendiagramme des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$:
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Die Grafik zeigt die Augendiagramme   (ohne Rauschen)  des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse  $g_d(t)$:
*Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ (für $M = 2$) bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ (für $M = 4$).  
+
*Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen  $E$  $($für $M = 2)$  bzw.  $E_1$,  $E_2$,  $E_3$ $($für $M = 4)$.
*In der Teilaufgabe (7) sollen diese numerisch ermittelt werden.
+
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*In der Teilaufgabe  '''(7)'''  sollen diese numerisch ermittelt werden.
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''Hinweise:''
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Hinweise:  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|"Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung"]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
 
*Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
 
*Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
 
:$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
 
:$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
 
:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =
 
:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =
 
  0.0228.$$
 
  0.0228.$$
 +
  
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß sind die Symboldauern beim Binär&ndash; und beim Quaternärsystem?
+
{Wie groß ist die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; beim Binär&ndash; bzw. beim Quaternärsystem?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 2: T$ = { 10 3% } ${\rm ns}$
+
$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 10 3% } $\ {\rm ns}$
$M = 4: T$ = { 20 3% } ${\rm ns}$
+
$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 20 3% } $\ {\rm ns}$
  
{Berechnen Sie den Hauptwert für das Binärsystem.
+
{Berechnen Sie den Hauptwert &nbsp;$g_0$&nbsp; für das Binärsystem.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 2: g_0$ = { 0.547 3% } ${\rm V}$
+
$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.547 3% } $\ {\rm V}$
  
{Berechnen Sie den Hauptwert für das Quaternärsystem.
+
{Berechnen Sie den Hauptwert &nbsp;$g_0$&nbsp; für das Quaternärsystem.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 4: g_0$ = { 0.867 3% } ${\rm V}$
+
$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.867 3% } $\ {\rm V}$
  
 
{Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses?
 
{Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M &ndash; 1) &ndash; s_0,$
+
+ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M - 1) - s_0,$
- $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M &ndash; 1) &ndash; g_0,$
+
- $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M - 1) - g_0,$
+ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M &ndash; 1) \cdot [1 &ndash; 2 \cdot M \cdot Q((2\pi)^{\rm 1/2} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B})].$
+
+ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M - 1) \cdot \big [1 - 2 \cdot M \cdot {\rm Q}(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B}) \big ].$
  
 
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem?
 
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 2: \ddot{o}(T_{\rm D})$ = { 0.188 3% } $V$
+
$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.188 3% } $\ {\rm V}$
  
 
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem?
 
{Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 4: \ddot{o}(T_{\rm D})$ = { 0.312 3% } $V$
+
$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.312 3% } $\ {\rm V}$
  
{Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den Schwellenwert $E_1$ ein.
+
{Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den unteren Schwellenwert &nbsp;$E_1$&nbsp; ein.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$M = 4: E_1$ = { -0.595--0.561 }  
+
$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} E_1\ = \ $ { -0.595--0.561 } $\ {\rm V}$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
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:$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
+
*Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
 
:$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {=  20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {=  20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
 
'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:
 
'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:
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   T  \right)\right]= 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot
 
   T  \right)\right]= 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot
 
   10\,{\rm ns}  \right)\right] $$
 
   10\,{\rm ns}  \right)\right] $$
:$$ \ \approx \ 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right]
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0  \ \approx \ 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right]
 
   = 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { =  0.547\,{\rm V}}
 
   = 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { =  0.547\,{\rm V}}
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$:
+
'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für&nbsp; $M = 4$:
 
:$$g_0 \ =  1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right]
 
:$$g_0 \ =  1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right]
 
   = 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {=  0.867\,{\rm V}}
 
   = 1\,{\rm V}  \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {=  0.867\,{\rm V}}
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'''(4)'''&nbsp; Erweitert man die angegebene Gleichung um $&plusmn;g_0$, so erhält man:
+
'''(4)'''&nbsp; Erweitert man die angegebene Gleichung um $&plusmn;g_0$,&nbsp; so erhält man:
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu  - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu}
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu  - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu}
 
  = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
 
  = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei ist berücksichtigt, dass beim Gaußtiefpass auf die Betragsbildung verzichtet werden kann und zum zweiten, dass die Summe über alle Detektionsimpulswerte gleich $s_0$ ist. Richtig ist also der <u>erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag</u>:
+
Hierbei ist berücksichtigt:
 +
*Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.
 +
* Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich&nbsp; $s_0$.  
 +
 
 +
 
 +
Richtig ist also der &nbsp; <u>erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag</u>:
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0
 
  = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
 
  = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
   T  \right)\right]- s_0 = $$
+
   T  \right)\right]- s_0 $$
:$$ \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}  \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
 
   T  \right)\right]
 
   T  \right)\right]
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 +
Mit der Beziehung&nbsp; $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$&nbsp; kommt man zum dritten,&nbsp; ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.
  
Mit der Beziehung $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.
 
  
 
+
'''(5)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; sowie&nbsp; $M = 2$&nbsp; erhält man:
'''(5)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus 2) und 4) sowie $M = 2$ erhält man:
 
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 -  s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}}
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 -  s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen:
+
'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$&nbsp; ergibt sich dagegen:
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}}
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(7)'''&nbsp; Entsprechend Teilaufgabe 3) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor&ndash; und Nachläufer). Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$. Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt (für $T_{\rm D} = 0$):
+
'''(7)'''&nbsp; Entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ist&nbsp; $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$&nbsp; und dementsprechend&nbsp; $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$&nbsp; (Summe aller Vor&ndash; und Nachläufer).  
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*Die Augenöffnung beträgt&nbsp; $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$.  
 +
 
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*Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt&nbsp; $($für&nbsp; $T_{\rm D} = 0)$:
 
:$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 -  g_{\rm VN}=  0.867\,{\rm V} -  0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V}
 
:$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 -  g_{\rm VN}=  0.867\,{\rm V} -  0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Die untere Begrenzung liegt bei:
+
*Die untere Begrenzung liegt bei:
 
:$$u = o -{\ddot{o}} =  0.734\,{\rm V} -  0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V}
 
:$$u = o -{\ddot{o}} =  0.734\,{\rm V} -  0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
+
*Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
 
:$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2}  { =  0.578\,{\rm V}}
 
:$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2}  { =  0.578\,{\rm V}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \, \underline {= \, &ndash;0.578 \, V}$. Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$.
+
*Der gesuchte Schwellenwert&nbsp; (für das untere Auge)&nbsp; ist&nbsp; $E_1 \, \underline {= \, &ndash;0.578 \, V}$.
 +
 +
*Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei&nbsp; $E_2 = 0$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Augendiagramm mehrstufiger Systeme^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]

Aktuelle Version vom 21. Juni 2022, 13:54 Uhr

Binäres und quaternäres Augendiagramm

In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen.  Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:

  • Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe  $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
  • Die (äquivalente) Bitrate beträgt  $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
  • Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte  $N_0$.
  • Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:
$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist  $T_{\rm D} = 0$.


Für die halbe Augenöffnung eines  $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei ist  $g_0 = g_d(t = 0)$  der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses  $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$.
  • Der zweite Term beschreibt die Nachläufer  $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$. 
  • Der letzte Term beschreibt die Vorläufer  $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.


Beachten Sie,  dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass

  • alle Detektionsgrundimpulswerte  $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$  positiv sind,
  • die (unendliche) Summe  $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$  den konstanten Wert  $s_0$  ergibt,
  • der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$  berechnet werden kann:
$$g_0 = s_0 \cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme  (ohne Rauschen)  des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse  $g_d(t)$:

  • Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen  $E$  $($für $M = 2)$  bzw.  $E_1$,  $E_2$,  $E_3$ $($für $M = 4)$.
  • In der Teilaufgabe  (7)  sollen diese numerisch ermittelt werden.


Hinweise:

  • Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) = 0.0228.$$


Fragebogen

1

Wie groß ist die Symboldauer  $T$  beim Binär– bzw. beim Quaternärsystem?

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $

$\ {\rm ns}$
$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $

$\ {\rm ns}$

2

Berechnen Sie den Hauptwert  $g_0$  für das Binärsystem.

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $

$\ {\rm V}$

3

Berechnen Sie den Hauptwert  $g_0$  für das Quaternärsystem.

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $

$\ {\rm V}$

4

Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses?

$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M - 1) - s_0,$
$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M - 1) - g_0,$
$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M - 1) \cdot \big [1 - 2 \cdot M \cdot {\rm Q}(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B}) \big ].$

5

Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem?

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $

$\ {\rm V}$

6

Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem?

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $

$\ {\rm V}$

7

Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den unteren Schwellenwert  $E_1$  ein.

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} E_1\ = \ $

$\ {\rm V}$


Musterlösung

(1)  Beim Binärsystem ist die Bitdauer gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bitrate:

$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:

$$g_0 \ = \ s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot 10\,{\rm ns} \right)\right] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0 \ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für  $M = 4$:

$$g_0 \ = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right] = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$,  so erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu} = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt:

  • Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.
  • Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich  $s_0$.


Richtig ist also der   erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]- s_0 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Mit der Beziehung  $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$  kommt man zum dritten,  ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.


(5)  Mit den Ergebnissen aus  (2)  und  (4)  sowie  $M = 2$  erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Mit  $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$  ergibt sich dagegen:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(7)  Entsprechend Teilaufgabe  (3)  ist  $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$  und dementsprechend  $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$  (Summe aller Vor– und Nachläufer).

  • Die Augenöffnung beträgt  $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$.
  • Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man,  dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt  $($für  $T_{\rm D} = 0)$:
$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die untere Begrenzung liegt bei:
$$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der gesuchte Schwellenwert  (für das untere Auge)  ist  $E_1 \, \underline {= \, –0.578 \, V}$.
  • Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei  $E_2 = 0$.