Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_B = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:
Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_{\rm B} = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:
* Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
* Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
* Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
* Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet:
* Die AWGN–Rauschleistungsdichte $($auf den Widerstand $1 \, \Omega)$ beträgt $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
* Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$ ist oben skizziert (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben.
* Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:
* Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:
:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
|H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.
Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.
* Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
* Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
* Als eine obere Schranke für $p_S$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.
* Als eine obere Schranke für $p_{\rm S}$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.
Hierbei bezeichnet $\ddot{o}(T_{\rm D})$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ sei optimal gewählt.
Hierbei bezeichnet $\ddot{o}(T_D)$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sei optimal gewählt.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
''Hinweis:'' Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung|Kapitel 3.2]]. Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der O–Funktion das folgende Interaktionsmodul:
{Wie müsste die Sendeimpulsamplitude $s_0$ mindestens erhöht werden, damit die Bedingung $p_{\rm S} \ ≤ 10^{\rm -10}$ erfüllt wird?
|type="{}"}
$s_0\ = \ ${ 1.993 3% } $\ {\rm V}$
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''
'''(1)''' Die Symboldauer ist der Kehrwert der Bitrate:
'''(5)''' Aus obigem Augendiagramm erkennt man, dass das Nutzsignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ sechs verschiedene Werte annehmen kann. In der oberen Augenhälfte sind dies:
Da $p_1$ und $p_2$ sehr viel kleiner als $p_3 = p_{\rm U}$ sind, ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (nahezu) um den Faktor $4$ kleiner als $p_{\rm U}$.
'''(6)''' Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu verkleinern, muss $s_0$ vergrößert werden. Damit ist die Näherung $p_{\rm S} ≈ p_{\rm U}/4$ noch genauer:
(5) Aus obigem Augendiagramm erkennt man, dass das Nutzsignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ sechs verschiedene Werte annehmen kann. In der oberen Augenhälfte sind dies:
Da $p_1$ und $p_2$ sehr viel kleiner als $p_3 = p_{\rm U}$ sind, ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (nahezu) um den Faktor $4$ kleiner als $p_{\rm U}$.
(6) Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu verkleinern, muss $s_0$ vergrößert werden. Damit ist die Näherung $p_{\rm S} ≈ p_{\rm U}/4$ noch genauer:
