Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Frequenzgang des Koaxialkabels: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1371__Dig_Z_3_1.png|right|frame]]
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[[Datei:P_ID1371__Dig_Z_3_1.png|right|frame|Einige Koaxialkabeltypen]]
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge $l$ besitzt den folgenden Frequenzgang
+
Ein so genanntes  "Normalkoaxialkabel"  mit  
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*dem Kerndurchmesser  $2.6 \ \rm mm$,  
 +
*dem Außendurchmesser  $9.5 \ \rm mm$,  und  
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*der Länge  $l$ 
 +
 
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besitzt den folgenden Frequenzgang:
 
:$$H_{\rm K}(f)  \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}  \cdot
 
:$$H_{\rm K}(f)  \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
   \sqrt{f}}  \cdot $$
+
   \sqrt{f}}  \cdot  
:$$\ \cdot \
 
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f}  \cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper (Np), die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian (rad) einzusetzen.
+
Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$  und  $\alpha_2$  sind in Neper  $(\rm Np)$  und  die Phasenparameter  $\beta_1$  und  $\beta_2$  in Radian  $(\rm rad)$  einzusetzen.
 
Es gelten folgende Zahlenwerte:
 
Es gelten folgende Zahlenwerte:
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+
:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot{MHz}} \hspace{0.05cm},
+
   \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm},
 
   \hspace{0.2cm}
 
   \hspace{0.2cm}
   \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot\sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm},$$
+
   \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|linearen zeitinvarianten Systems]]
+
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|"linearen zeitinvarianten Systems"]]  $\rm (LZI)$
* die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):  
+
* die Dämpfungsfunktion  $($in  $\rm Np$  bzw.  $\rm dB)$:  
 
:$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
 
:$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|
 
     \hspace{0.05cm},$$
 
     \hspace{0.05cm},$$
* die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad)
+
* die Phasenfunktion  $($in  $\rm rad$ bzw.  $\rm Grad)$:
 
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
 
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
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   \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
 
   \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
 
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
   \frac{rad}{Np}\hspace{0.05cm}.$$
+
   \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
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Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten. 
  
Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
+
Mit der Definition der  '''charakteristischen Kabeldämpfung'''  (in Neper bzw. Dezibel)
 
:$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$
 
:$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$
  
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_B$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.
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lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R_{\rm B}$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|"Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen"]].
 +
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume|"Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
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''Hinweis:'' Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Kapitel 3.1]] dieses Buches sowie auf das[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume|Kapitel 4]] des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”.
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Terme von $H_K(f)$ führen zu keinen Verzerrungen? Der
+
{Welche Terme von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; führen nicht zu Verzerrungen? Der
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
+ $\alpha_0$&ndash;Term,
 
+ $\alpha_0$&ndash;Term,
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- $\alpha_2$&ndash;Term,
 
- $\alpha_2$&ndash;Term,
 
+ $\beta_1$&ndash;Term,
 
+ $\beta_1$&ndash;Term,
- $\beta_2$&ndash;Term,
+
- $\beta_2$&ndash;Term.
  
{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 1% gedämpft wird?
+
{Welche Länge &nbsp;$l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein solches Kabel besitzen,&nbsp; damit ein Gleichsignal um nicht mehr als &nbsp;$1\%$&nbsp; gedämpft wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$l_{\rm max}$ = { 6.173 3% } $km $
+
$l_{\rm max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ {\rm km} $
  
{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \hspace{0.15cm}MHz$, wenn die Kabellänge $l = 2\hspace{0.15cm}km$ beträgt?
+
{Welche Dämpfung&nbsp; $($in &nbsp;$\rm Np)$&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 70\,{\rm MHz}$,&nbsp; wenn die Kabellänge &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$&nbsp; beträgt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$l = 2 km: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = { 4.619 3% } $Np $
+
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.619 3% } $\ {\rm Np} $
  
{Welche Dämpfung  ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$&ndash;Term berücksichtigt?
+
{Welche Dämpfung  ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen,&nbsp; wenn man nur den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Term berücksichtigt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$nur \alpha_2: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = { 4.555 3% } $Np $
+
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.555 3% } $\ {\rm Np} $
  
{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB&ndash;Wert ergibt sich für die unter d) berechnete Dämpfung?
+
{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen &nbsp;$\rm Np$&nbsp; und &nbsp;$\rm dB$?&nbsp; Welcher &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ergibt sich für die unter&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechnete Dämpfung?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$nur \alpha_2: a_K(f = 70\hspace{0.15cm}MHz)$ = { 4.555 3% } $dB $
+
$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 39.57 3% } $\ {\rm dB} $
  
{Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$&ndash;Wert beschränkt?
+
{Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend,&nbsp; dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den &nbsp;$\alpha_2$&ndash;Wert beschränkt?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Man kann auch auf den Phasenterm $\beta_1$ verzichten
+
+ Man kann auch auf den Phasenterm &nbsp;$\beta_1$&nbsp; verzichten.
- Mann kann auch auf den Phasenterm $\beta_2$ verzichten
+
- Mann kann auch auf den Phasenterm &nbsp;$\beta_2$&nbsp; verzichten.
- $a_* &asymp; 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 70\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 2 km$.
+
- $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 70\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$.
+ $a_* &asymp; 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 140\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 2 km$.
+
+ $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 2\,{\rm km}$.
+ $a_* &asymp; 40\hspace{0.15cm}dB$ gilt für ein System mit $R_B = 560\hspace{0.15cm}Mbit/s$ und $l = 1 km$.
+
+ $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$&nbsp; gilt für ein System mit &nbsp;$R_{\rm B} = 560\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und &nbsp;$l = 1\,{\rm km}$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Der $\alpha_0$&ndash;Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$&ndash;Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 +
*Der&nbsp; $\alpha_0$&ndash;Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der&nbsp; $\beta_1$&ndash;Term&nbsp; (lineare Phase)&nbsp; eine frequenzunabhängige Laufzeit.  
 +
*Alle anderen Terme tragen zu den&nbsp; (linearen)&nbsp; Verzerrungen bei.  
 +
 
  
  
'''(2)''' Mit $a_0 = a_0 \cdot l$ muss folgende Gleichung erfüllt sein:
+
'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $a_0 = \alpha_0 \cdot l$&nbsp; muss folgende Gleichung erfüllt sein:
 
:$${\rm e}^{- a_0 }  \ge 0.99
 
:$${\rm e}^{- a_0 }  \ge 0.99
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln}
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln}
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   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Damit erhält man für die maximale Kabellänge
+
*Damit erhält man für die maximale Kabellänge
 
:$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 }  = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}}
 
:$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 }  = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}}
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)''' Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
+
'''(3)'''&nbsp; Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
:$$a_{\rm K}(f) \ = \ [\alpha_0 + \alpha_1  \cdot f + \alpha_2  \cdot
+
:$$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1  \cdot f + \alpha_2  \cdot
   \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = $$
+
   \sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722  \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
:$$ \ = \ [0.00162 + 0.000435  \cdot 70 + 0.2722  \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{Np}{km} \cdot 2\,{\rm km} = $$
 
:$$ \ = \ [0.003 + 0.061  + 4.555  \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
  
'''(4)''' Entsprechend der Berechnung bei Punkt c) erhält man hier den Dämpfungswert <u>$4.555\hspace{0.15cm}Np$</u>.
+
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Berechnung bei Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erhält man hier den Dämpfungswert&nbsp; $\underline {4.555\,{\rm Np}}$.
  
  
'''(5)''' Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
+
'''(5)'''&nbsp; Für eine jede positive Größe&nbsp; $x$&nbsp; gilt:
 
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x =  \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}
 
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x =  \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}
 
   =  \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
 
   =  \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
   (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}$$
+
   (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm
 
 
  Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
  Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Der Dämpfungswert&nbsp; $4.555\,{\rm Np}$&nbsp; ist somit identisch mit&nbsp; $\underline{39.57\,{\rm dB} }$.
Der Dämpfungswert $4.555\hspace{0.15cm}Np$ ist somit identisch mit <u>$39.57$</u>.
 
  
  
'''(6)''' Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang:
+
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>:
 +
*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; gilt für den Frequenzgang:
 
:$$H_{\rm K}(f)  =
 
:$$H_{\rm K}(f)  =
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- \alpha_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
Zeile 124: Zeile 139:
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
   \sqrt{f}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Verzichtet man auf den&nbsp; $\beta_1$&ndash;Phasenterm,&nbsp; so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts.&nbsp; Lediglich die Phasen&ndash; und Gruppenlaufzeit würden&nbsp; (beide gleich)&nbsp; um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$&nbsp; kleiner.
Verzichtet man auf den $\beta_1$&ndash;Phasenterm, so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen&ndash; und Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$ kleiner.
+
*Verzichtet man auf den&nbsp; $\beta_2$&ndash;Term,&nbsp; so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
Verzichtet man auf den $\beta_2$&ndash;Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
+
# Der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;&nbsp; bei einem solchen muss&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; minimalphasig sein.
* Der Frequenzgang $H_K(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss $H_K(f)$ minimalphasig sein.
+
# Die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um&nbsp; $t = 0$,&nbsp; was nicht den Gegebenheiten entspricht.
* Die Impulsantwort $h_K(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
+
*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
 
 
 
 
Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
 
 
:$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 
:$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2  \cdot l \cdot
 
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
 
   \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
   \frac{rad}{Np}\hspace{0.05cm}.$$
+
   \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Das heißt:&nbsp; $a_{\rm K}(f)$&nbsp; und&nbsp; $b_{\rm K}(f)$&nbsp; eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
Das heißt: $a_K(f)$ und $b_K(f)$ eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
+
*Bei einem Digitalsystem mit Bitrate&nbsp; $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und Kabellänge&nbsp; $l = 2\,{\rm km}$&nbsp; gilt tatsächlich&nbsp; $a_* &asymp; 40\,{\rm dB}$ &ndash; siehe Lösung zu&nbsp; '''(5)'''.  
Bei einem Digitalsystem mit Bitrate $R_B = 140\hspace{0.05cm}Mbit/s$ &#8658; $R_B/2 = 70\hspace{0.05cm}Mbit/s$ und Kabellänge $l = 2\hspace{0.05cm}km$ gilt tatsächlich $a_* &asymp; 40\hspace{0.05cm}dB$ (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate ($R_B/2 = 280\hspace{0.05cm}Mbit/s$) und halber Länge ($l = 1\hspace{0.05cm}km$) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit $R_B/2 = 35\hspace{0.05cm}Mbit/s$ und $l = 2\hspace{0.05cm}km$:
+
*Ein System mit vierfacher Bitrate&nbsp; $(R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s})$&nbsp; und halber Länge&nbsp; $(l = 1\,{\rm km})$&nbsp; führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.  
:$$a_{\rm dB} = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{35 MHz}}
+
*Dagegen gilt für ein System mit&nbsp; $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$&nbsp; und&nbsp; $l = 2\,{\rm km}$:
\cdot 8.6859 \,\frac{dB}{Np} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 28\,{\rm dB}}
+
:$$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}} \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} &asymp; 28 \ \rm dB.$$
\hspace{0.05cm}.$$
 
  
Richtig sind somit die <u> Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}
  
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.1 Auswirkungen von Impulsinterferenzen^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.1 Impulsinterferenzen^]]

Aktuelle Version vom 31. Mai 2022, 15:25 Uhr

Einige Koaxialkabeltypen

Ein so genanntes  "Normalkoaxialkabel"  mit

  • dem Kerndurchmesser  $2.6 \ \rm mm$,
  • dem Außendurchmesser  $9.5 \ \rm mm$,  und
  • der Länge  $l$ 


besitzt den folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$  und  $\alpha_2$  sind in Neper  $(\rm Np)$  und die Phasenparameter  $\beta_1$  und  $\beta_2$  in Radian  $(\rm rad)$  einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines  "linearen zeitinvarianten Systems"  $\rm (LZI)$

  • die Dämpfungsfunktion  $($in  $\rm Np$  bzw.  $\rm dB)$:
$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
  • die Phasenfunktion  $($in  $\rm rad$ bzw.  $\rm Grad)$:
$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten. 

Mit der Definition der  charakteristischen Kabeldämpfung  (in Neper bzw. Dezibel)

$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R_{\rm B}$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Terme von  $H_{\rm K}(f)$  führen nicht zu Verzerrungen? Der

$\alpha_0$–Term,
$\alpha_1$–Term,
$\alpha_2$–Term,
$\beta_1$–Term,
$\beta_2$–Term.

2

Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?

$l_{\rm max} \ = \ $

$\ {\rm km} $

3

Welche Dämpfung  $($in  $\rm Np)$  ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70\,{\rm MHz}$,  wenn die Kabellänge  $l = 2\,{\rm km}$  beträgt?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $

$\ {\rm Np} $

4

Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $

$\ {\rm Np} $

5

Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  (4)  berechnete Dämpfung?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $

$\ {\rm dB} $

6

Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend,  dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den  $\alpha_2$–Wert beschränkt?

Man kann auch auf den Phasenterm  $\beta_1$  verzichten.
Mann kann auch auf den Phasenterm  $\beta_2$  verzichten.
$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 70\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$.
$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$.
$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 560\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 1\,{\rm km}$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der  $\beta_1$–Term  (lineare Phase)  eine frequenzunabhängige Laufzeit.
  • Alle anderen Terme tragen zu den  (linearen)  Verzerrungen bei.


(2)  Mit  $a_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{- a_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für die maximale Kabellänge
$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:

$$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Entsprechend der Berechnung bei Punkt  (3)  erhält man hier den Dämpfungswert  $\underline {4.555\,{\rm Np}}$.


(5)  Für eine jede positive Größe  $x$  gilt:

$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Dämpfungswert  $4.555\,{\rm Np}$  ist somit identisch mit  $\underline{39.57\,{\rm dB} }$.


(6)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 4 und 5:

  • Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$  kleiner.
  • Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term,  so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
  1. Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;  bei einem solchen muss  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
  2. Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um  $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.
  • Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt:  $a_{\rm K}(f)$  und  $b_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
  • Bei einem Digitalsystem mit Bitrate  $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$   ⇒   $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$  und Kabellänge  $l = 2\,{\rm km}$  gilt tatsächlich  $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ – siehe Lösung zu  (5).
  • Ein System mit vierfacher Bitrate  $(R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s})$  und halber Länge  $(l = 1\,{\rm km})$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
  • Dagegen gilt für ein System mit  $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$:
$$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}} \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} ≈ 28 \ \rm dB.$$