Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Frequenzgang des Koaxialkabels: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID1371__Dig_Z_3_1.png|right|frame]] | + | [[Datei:P_ID1371__Dig_Z_3_1.png|right|frame|Einige Koaxialkabeltypen]] |
− | Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge $l$ besitzt den folgenden Frequenzgang | + | Ein so genanntes "Normalkoaxialkabel" mit |
+ | *dem Kerndurchmesser $2.6 \ \rm mm$, | ||
+ | *dem Außendurchmesser $9.5 \ \rm mm$, und | ||
+ | *der Länge $l$ | ||
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+ | besitzt den folgenden Frequenzgang: | ||
:$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot | :$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot | ||
{\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | ||
{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
− | \sqrt{f}} \cdot | + | \sqrt{f}} \cdot |
− | |||
{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | ||
{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper (Np) | + | Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper $(\rm Np)$ und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian $(\rm rad)$ einzusetzen. |
Es gelten folgende Zahlenwerte: | Es gelten folgende Zahlenwerte: | ||
− | :$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} | + | :$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} |
− | \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot{MHz}} \hspace{0.05cm}, | + | \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, |
\hspace{0.2cm} | \hspace{0.2cm} | ||
− | \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{Np}{km\cdot\sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm} | + | \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ |
− | Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|linearen zeitinvarianten Systems]] | + | Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|"linearen zeitinvarianten Systems"]] $\rm (LZI)$ |
− | * die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB): | + | * die Dämpfungsfunktion $($in $\rm Np$ bzw. $\rm dB)$: |
:$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| | :$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| | ||
\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | * die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad) | + | * die Phasenfunktion $($in $\rm rad$ bzw. $\rm Grad)$: |
:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) | :$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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\sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot | \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot | ||
\sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | ||
− | \frac{rad}{Np}\hspace{0.05cm}.$$ | + | \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ |
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+ | Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten. | ||
− | + | Mit der Definition der '''charakteristischen Kabeldämpfung''' (in Neper bzw. Dezibel) | |
:$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$ | :$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$ | ||
− | lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $ | + | lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_{\rm B}$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln. |
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+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|"Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen"]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume|"Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]]. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche Terme von $ | + | {Welche Terme von $H_{\rm K}(f)$ führen nicht zu Verzerrungen? Der |
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+ $\alpha_0$–Term, | + $\alpha_0$–Term, | ||
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- $\alpha_2$–Term, | - $\alpha_2$–Term, | ||
+ $\beta_1$–Term, | + $\beta_1$–Term, | ||
− | - $\beta_2$–Term | + | - $\beta_2$–Term. |
− | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 1% gedämpft wird? | + | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $1\%$ gedämpft wird? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $l_{\rm max}$ | + | $l_{\rm max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ {\rm km} $ |
− | {Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \ | + | {Welche Dämpfung $($in $\rm Np)$ ergibt sich bei der Frequenz $f = 70\,{\rm MHz}$, wenn die Kabellänge $l = 2\,{\rm km}$ beträgt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.619 3% } $\ {\rm Np} $ |
− | {Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$–Term berücksichtigt? | + | {Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$–Term berücksichtigt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 4.555 3% } $\ {\rm Np} $ |
− | {Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB–Wert ergibt sich für die unter | + | {Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen $\rm Np$ und $\rm dB$? Welcher $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter '''(4)''' berechnete Dämpfung? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ { 39.57 3% } $\ {\rm dB} $ |
− | {Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$–Wert beschränkt? | + | {Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend, dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$–Wert beschränkt? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Man kann auch auf den Phasenterm $\beta_1$ verzichten | + | + Man kann auch auf den Phasenterm $\beta_1$ verzichten. |
− | - Mann kann auch auf den Phasenterm $\beta_2$ verzichten | + | - Mann kann auch auf den Phasenterm $\beta_2$ verzichten. |
− | - $a_* ≈ 40\ | + | - $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ gilt für ein System mit $R_{\rm B} = 70\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 2\,{\rm km}$. |
− | + $a_* ≈ 40\ | + | + $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ gilt für ein System mit $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 2\,{\rm km}$. |
− | + $a_* ≈ 40\ | + | + $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ gilt für ein System mit $R_{\rm B} = 560\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 1\,{\rm km}$. |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: |
+ | *Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. | ||
+ | *Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. | ||
+ | |||
− | '''(2)''' Mit $a_0 = | + | '''(2)''' Mit $a_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss folgende Gleichung erfüllt sein: |
:$${\rm e}^{- a_0 } \ge 0.99 | :$${\rm e}^{- a_0 } \ge 0.99 | ||
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln} | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln} | ||
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\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Damit erhält man für die maximale Kabellänge | + | *Damit erhält man für die maximale Kabellänge |
:$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}} | :$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(3)''' Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme: | + | '''(3)''' Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme: |
− | :$$a_{\rm K}(f) \ = \ [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot | + | :$$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot |
− | \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l | + | \sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$ |
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− | |||
− | '''(4)''' Entsprechend der Berechnung bei Punkt | + | '''(4)''' Entsprechend der Berechnung bei Punkt '''(3)''' erhält man hier den Dämpfungswert $\underline {4.555\,{\rm Np}}$. |
− | '''(5)''' Für eine jede positive Größe $x$ gilt: | + | '''(5)''' Für eine jede positive Größe $x$ gilt: |
:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} | :$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} | ||
= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot | = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot | ||
− | (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} | + | (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm |
− | |||
Np}\hspace{0.05cm}.$$ | Np}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Der Dämpfungswert $4.555\,{\rm Np}$ ist somit identisch mit $\underline{39.57\,{\rm dB} }$. | |
− | Der Dämpfungswert $4.555\ | ||
− | '''(6)''' Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang: | + | '''(6)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>: |
+ | *Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang: | ||
:$$H_{\rm K}(f) = | :$$H_{\rm K}(f) = | ||
{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
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{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$ kleiner. | |
− | Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$ kleiner. | + | *Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse: |
− | Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse: | + | # Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein. |
− | + | # Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht. | |
− | + | *Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt: | |
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− | Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt: | ||
:$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot | :$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot | ||
\sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | ||
− | \frac{rad}{Np}\hspace{0.05cm}.$$ | + | \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ |
− | + | *Das heißt: $a_{\rm K}(f)$ und $b_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten. | |
− | Das heißt: $ | + | *Bei einem Digitalsystem mit Bitrate $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$ ⇒ $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$ und Kabellänge $l = 2\,{\rm km}$ gilt tatsächlich $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ – siehe Lösung zu '''(5)'''. |
− | Bei einem Digitalsystem mit Bitrate $ | + | *Ein System mit vierfacher Bitrate $(R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s})$ und halber Länge $(l = 1\,{\rm km})$ führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. |
− | :$$a_{\rm dB} = 0.2722 \ | + | *Dagegen gilt für ein System mit $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 2\,{\rm km}$: |
− | + | :$$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}} \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} ≈ 28 \ \rm dB.$$ | |
− | |||
− | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
{{Display}} | {{Display}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.1 | + | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.1 Impulsinterferenzen^]] |
Aktuelle Version vom 31. Mai 2022, 15:25 Uhr
Ein so genanntes "Normalkoaxialkabel" mit
- dem Kerndurchmesser $2.6 \ \rm mm$,
- dem Außendurchmesser $9.5 \ \rm mm$, und
- der Länge $l$
besitzt den folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper $(\rm Np)$ und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian $(\rm rad)$ einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:
- $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines "linearen zeitinvarianten Systems" $\rm (LZI)$
- die Dämpfungsfunktion $($in $\rm Np$ bzw. $\rm dB)$:
- $$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
- die Phasenfunktion $($in $\rm rad$ bzw. $\rm Grad)$:
- $$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten.
Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
- $$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_{\rm B}$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen".
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume".
Fragebogen
Musterlösung
- Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der $\beta_1$–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit.
- Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.
(2) Mit $a_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss folgende Gleichung erfüllt sein:
- $${\rm e}^{- a_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man für die maximale Kabellänge
- $$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
- $$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Entsprechend der Berechnung bei Punkt (3) erhält man hier den Dämpfungswert $\underline {4.555\,{\rm Np}}$.
(5) Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
- $$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Der Dämpfungswert $4.555\,{\rm Np}$ ist somit identisch mit $\underline{39.57\,{\rm dB} }$.
(6) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5:
- Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
- Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$ kleiner.
- Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
- Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.
- Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
- Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
- $$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: $a_{\rm K}(f)$ und $b_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
- Bei einem Digitalsystem mit Bitrate $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$ ⇒ $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$ und Kabellänge $l = 2\,{\rm km}$ gilt tatsächlich $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ – siehe Lösung zu (5).
- Ein System mit vierfacher Bitrate $(R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s})$ und halber Länge $(l = 1\,{\rm km})$ führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
- Dagegen gilt für ein System mit $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$ und $l = 2\,{\rm km}$:
- $$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}} \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} ≈ 28 \ \rm dB.$$