Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER): Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png|right|]]
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[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png|right|frame|Tabelle zweier Gaußscher Fehlerfunktionen]]
Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein  
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Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt,  dass es durch ein  
BSC&ndash;Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i>) mit Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i> angenähert werden kann. Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge &#9001;<i>&upsilon;<sub>&nu;</sub></i>&#9002; mit der Quellensymbolfolge
+
BSC&ndash;Modell&nbsp; ("Binary Symmetrical Channel")&nbsp; mit Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp; angenähert werden kann.  
&#9001;<i>q<sub>&nu;</sub></i>&#9002; vergleicht und daraus die Fehlerfolge &#9001;<i>e<sub>&nu;</sub></i>&#9002; ermittelt. Dabei gilt:
 
  
$$e_\nu =\left\{ {0\; \rm f\ddot{u}r\; \it &upsilon;_\nu = \rm q_\nu, \atop {\rm 1 \;\;\; \rm f\ddot{u}r\; \it &upsilon;_\nu \ne \rm q_\nu,}}\right.$$
+
Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden,&nbsp; indem man die Sinkensymbolfolge &nbsp;$ \langle v_\nu \rangle $&nbsp; mit der Quellensymbolfolge
Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i>)
+
&nbsp;$ \langle q_\nu \rangle $&nbsp; vergleicht und daraus die Fehlerfolge &nbsp;$ \langle e_\nu \rangle $&nbsp; ermittelt.&nbsp; Dabei gilt:
  
$$BER = \frac{1}{N}\cdot\sum\nolimits_{\nu=1}^N e_\nu$$
+
:$$e_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} 0  \\
stellt eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i> dar. Je größer der Simulationsparameter <i>N</i> gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.
+
1 \\  \end{array} \right.\quad
Aus der Aufgabe A3.7 im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße BER eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit dem Mittelwert p und der Streuung
+
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
$$\sigma =   \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}$$
+
\\  {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
angenähert werden kann.
+
v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\
 +
v_\nu \ne q_\nu .  \\
 +
\end{array}$$
 +
Die Bitfehlerquote&nbsp; (englisch:&nbsp; "Bit Error Rate")&nbsp; ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp;:
 +
:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
 +
Je größer der Simulationsparameter &nbsp;$N$&nbsp; gewählt wird,&nbsp; um so genauer ist diese Näherung.
  
<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Kapitel 1.2 ]] dieses Buches sowie auf das [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen| Kapitel 3.5 ]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen ϕ(x) und Q(x) angegeben.
+
Aus der &nbsp;[[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt,&nbsp; dass die Zufallsgröße &bdquo;BER&rdquo; eigentlich binominalverteilt ist,&nbsp; aber mit guter Näherung durch eine&nbsp; (diskrete)&nbsp; Gaußverteilung mit Mittelwert &nbsp;$p$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; angenähert werden kann:
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:$$\sigma =  \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$
  
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Hinweise:
 +
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|"Gaußverteilte Zufallsgrößen"]]&nbsp; im Buch&nbsp; „Stochastische Signaltheorie”.
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*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm \phi}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; angegeben.
 +
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
+
{Was beschreibt &nbsp;$\rm BER$&nbsp; im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
+
- $\rm BER$&nbsp; ist eine Wahrscheinlichkeit.
+ Richtig
+
+ $\rm BER$&nbsp; ist eine relative Häufigkeit.
 +
- Wenn &nbsp;$N$&nbsp; hinreichend groß ist, stimmt &nbsp;$\rm BER$&nbsp; mit &nbsp;$p$&nbsp; <b>exakt</b> überein.
 +
 
  
 +
{Berechnen Sie die Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; für &nbsp;$N = 10^6$&nbsp; und &nbsp;$p = 10^{-2}$.
 +
|type="{}"}
 +
$\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
  
{Input-Box Frage
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als &nbsp;$5\%$&nbsp; von der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$\underline{p = 10^{-2}}$&nbsp; abweicht?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
  
 +
{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit &nbsp;$\underline{p = 10^{-4}}$?
 +
|type="{}"}
 +
${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $ { 0.618 3%  }
 +
 +
{Wie groß müsste &nbsp;$N$&nbsp; mindestens sein, damit bei &nbsp;$\underline{p = 10^{-4}}$&nbsp; nicht mehr als &nbsp;$10\%$&nbsp;  außerhalb des Intervalls von &nbsp;$0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$&nbsp; liegen?
 +
|type="{}"}
 +
$N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;BER ist als Quotient aus der Anzahl <i>n</i><sub>B</sub> der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl <i>N</i> aller simulierten Symbole und damit tatsächlich als relative Häufigkeit definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass BER = <i>p</i> gilt, ist stets genau 0, da BER eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt. Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass BER in einem schmalen Intervall um <i>p</i> liegt, mit steigendem <i>N</i> immer größer. Trotzdem gilt: Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>nur die zweite Aussage</u>:
 +
*$\rm BER$&nbsp; ist der Quotient aus der Anzahl&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; der festgestellten Bitfehler und der Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.  
 +
*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass ${\rm BER} = p$&nbsp; gilt,&nbsp; ist stets genau Null,&nbsp; da&nbsp; $\rm BER$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.  
 +
*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $\rm BER$&nbsp; in einem schmalen Intervall um&nbsp; $p$&nbsp; liegt,&nbsp; mit steigendem&nbsp; $N$&nbsp; immer größer.  
 +
 
 +
 
  
'''(2)'''&nbsp;Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße BER ergibt sich mit <i>p</i> = 10<sup>&ndash;2</sup> und <i>N</i> = 10<sup>6</sup> zu
+
'''(2)'''&nbsp; Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße&nbsp; $\rm BER&nbsp;$ ergibt sich mit&nbsp; $N = 10^6$&nbsp; und&nbsp; $p = 10^{-2}$&nbsp; zu
$$\sigma =  \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$\sigma =  \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
'''(3)'''&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerrate (kurz BER) einen Wert außerhalb des Bereichs  
+
 
von 0.95&nbsp;&middot;&nbsp;<i>p</i>&nbsp;und&nbsp;1.05 &middot;&nbsp;<i>p</i> annimmt, kann mit <i>&epsilon;</i> = 5 &middot; 10<sup>&ndash;4</sup> (wegen <i>p</i> = 0.01) wie folgt berechnet werden:
+
 
$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
+
'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $\rm BER$&nbsp; einen Wert außerhalb des Bereichs&nbsp;
 +
$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$&nbsp; annimmt,&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen&nbsp; $p = 10^{-2})$&nbsp; zu
 +
:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
 
   = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
 
   = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
 
   = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$
 
   = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - p| > \varepsilon \right)
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - p| > \varepsilon \right)
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.574 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$
+
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(4)'''&nbsp;Mit <i>p</i> = 10<sup>&ndash;4</sup> gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
+
 
$${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
+
'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p = 10^{-4}$&nbsp; gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
 +
:$${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
 
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}
 
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}
   \right)\hspace{0.05cm}.$$
+
   \right);\hspace{0.5cm}
$$\sigma    \approx \sqrt{{ p}/{N}}=
+
\text{mit}\hspace{0.5cm}\sigma    \approx \sqrt{{ p}/{N}}=
 
   10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot
 
   10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot
   10^{-6}:$$
+
   10^{-6}\text{:}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - 10^{-4}| >  0.05 \cdot 10^{-4} \right)
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - 10^{-4}| >  0.05 \cdot 10^{-4} \right)
 
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$
 
   = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$
  
'''(5)'''&nbsp;Diese Bedingung lässt sich mit <i>&epsilon;</i> = 5 &middot; 10<sup>&ndash;6</sup> wie folgt formulieren:
+
 
$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+
'''(5)'''&nbsp; Diese Bedingung lässt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$&nbsp; wie folgt formulieren:
 +
:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64
 
{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot
 
\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot
 
N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
 
N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >
 
\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25
 
\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25
\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.08 \cdot 10^{7}} = 10.8 \, {\rm Millionen}\hspace{0.05cm}.$$
+
\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  

Aktuelle Version vom 29. April 2022, 13:33 Uhr


Tabelle zweier Gaußscher Fehlerfunktionen

Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt,  dass es durch ein BSC–Modell  ("Binary Symmetrical Channel")  mit Fehlerwahrscheinlichkeit  $p$  angenähert werden kann.

Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden,  indem man die Sinkensymbolfolge  $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge  $ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt.  Dabei gilt:

$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ v_\nu \ne q_\nu . \\ \end{array}$$

Die Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :

$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$

Je größer der Simulationsparameter  $N$  gewählt wird,  um so genauer ist diese Näherung.

Aus der  Aufgabe 3.7  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt,  dass die Zufallsgröße „BER” eigentlich binominalverteilt ist,  aber mit guter Näherung durch eine  (diskrete)  Gaußverteilung mit Mittelwert  $p$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden kann:

$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$



Hinweise:


Fragebogen

1

Was beschreibt  $\rm BER$  im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

$\rm BER$  ist eine Wahrscheinlichkeit.
$\rm BER$  ist eine relative Häufigkeit.
Wenn  $N$  hinreichend groß ist, stimmt  $\rm BER$  mit  $p$  exakt überein.

2

Berechnen Sie die Streuung  $\sigma$  für  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$.

$\sigma \ =\ $

$\ \cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  $5\%$  von der Wahrscheinlichkeit  $\underline{p = 10^{-2}}$  abweicht?

${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $

$\ \cdot 10^{ -4 }\ $

4

Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  $\underline{p = 10^{-4}}$?

${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $

5

Wie groß müsste  $N$  mindestens sein, damit bei  $\underline{p = 10^{-4}}$  nicht mehr als  $10\%$  außerhalb des Intervalls von  $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$  liegen?

$N_{\rm min} \ =\ $

$\ \cdot 10^{ 6 }\ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist  nur die zweite Aussage:

  • $\rm BER$  ist der Quotient aus der Anzahl  $n_{\rm B}$  der festgestellten Bitfehler und der Anzahl  $N$  aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
  • Die Wahrscheinlichkeit,  dass ${\rm BER} = p$  gilt,  ist stets genau Null,  da  $\rm BER$  eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
  • Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  in einem schmalen Intervall um  $p$  liegt,  mit steigendem  $N$  immer größer.


(2)  Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße  $\rm BER $ ergibt sich mit  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$  zu

$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  einen Wert außerhalb des Bereichs  $0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$  annimmt,  ergibt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen  $p = 10^{-2})$  zu

$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - p| > \varepsilon \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Mit  $p = 10^{-4}$  gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right);\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm}\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}= 10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}\text{:}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:

$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N > \frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25 \cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$