Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung: Unterschied zwischen den Versionen

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|Untermenü=Zeitvariante Übertragungskanäle
 
|Untermenü=Zeitvariante Übertragungskanäle
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== # ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
== # ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
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Das erste Hauptkapitel beschäftigt sich mit zeitvarianten Übertragungskanälen, eine Eigenschaft, die für die mobile Kommunikation von großer Bedeutung ist. Die Beschreibung erfolgt im äquivalenten Tiefpassbereich. Im Einzelnen werden behandelt:
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Das erste Hauptkapitel beschäftigt sich mit zeitvarianten Übertragungskanälen, eine Eigenschaft, die für die mobile Kommunikation von großer Bedeutung ist.&nbsp; Die Beschreibung erfolgt durchgehend im äquivalenten Tiefpassbereich.  
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Im Einzelnen werden behandelt:
  
*die ''distanzabhängige Dämpfung'' eines Funksignals und verschiedene ''Pfadverlustmodelle'',
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*die distanzabhängige Dämpfung eines Funksignals und verschiedene Pfadverlustmodelle,
*der durch das ''Lognormal–Fading'' modellierbare Einfluss von Abschattung („Shadowing”),
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*der durch das&nbsp; ''Lognormal–Fading''&nbsp; modellierbare Einfluss von Abschattung&nbsp; („Shadowing”),
*das nichtfrequenzselektive ''Rayleigh–Fading'' für Kanäle ohne „Line of Sight (LoS)”,
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*das nichtfrequenzselektive&nbsp; ''Rayleigh–Fading'' &nbsp; für Kanäle ohne „Line of Sight&nbsp; (LoS)”,
*die Berücksichtigung des ''Dopplereffekts'' durch das sogenannte ''Jakes–Spektrum'',
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*die Berücksichtigung des Dopplereffekts durch das so genannte&nbsp; ''Jakes–Spektrum'',
*das nichtfrequenzselektive ''Rice–Fading'' für Kanäle mit Direktpfad (Line of Sight).
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*das nichtfrequenzselektive&nbsp; ''Rice–Fading'' &nbsp; für Kanäle mit Direktpfad&nbsp; (Line of Sight).
  
  
Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben und Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
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Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
*dem [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
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*dem&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒  &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
*dieser [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung]  Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
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*der dazugehörigen&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
  
  
 
== Physikalische Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
 
== Physikalische Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
 
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[[Datei:P ID2095 Mob T 1 1 S1 v1.png|right|frame|Mobilfunkszenario|class=fit]]
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[[Datei:P ID2095 Mob T 1 1 S1 v1.png|right|frame|Beispiel für ein Mobilfunkszenario|class=fit]]
Die Grafik zeigt ein typisches Mobilfunkszenario mit fester Basisstation und einem mobilen Teilnehmer, der sich mit der Geschwindigkeit $v$ auf die Basisstation zu bewegt.  
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Die Grafik zeigt ein typisches Mobilfunkszenario mit fester Basisstation und einem mobilen Teilnehmer, der sich mit der Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; auf die Basisstation zu bewegt.  
  
 
Bei dieser Darstellung erreicht das Funksignal die Mobilstation über einen direkten Pfad.  
 
Bei dieser Darstellung erreicht das Funksignal die Mobilstation über einen direkten Pfad.  
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*einem Gebirge,
 
*einem Gebirge,
 
* einem Flugzeug,  
 
* einem Flugzeug,  
*der Ionosphäre oder
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*der Ionosphäre,
 
*dem Erdboden.
 
*dem Erdboden.
 
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Anhand dieses Szenarios lassen sich wichtige Probleme bei der Mobilkommunikation erklären:
 
Anhand dieses Szenarios lassen sich wichtige Probleme bei der Mobilkommunikation erklären:
*'''Pfadverlust''' (englisch: <i>Path Loss</i>): Dieser erfasst die Dämpfung der elektromagnetischen Welle, die in starkem Maße von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger abhängt.<br>
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*'''Pfadverlust'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Path Loss</i>): &nbsp; Dieser erfasst die Dämpfung der elektromagnetischen Welle, die in starkem Maße von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger abhängt.<br>
  
*'''Abschattung''' (englisch: <i>Shadowing, Long Term Fading</i>): Diese beschreibt eine langsame Veränderung der Empfangsbedingungen aufgrund der sich ändernden Umgebung, zum Beispiel, wenn man an einem Gebäude vorbeifährt oder wenn man ein Waldstück verlässt.<br>
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*'''Abschattung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Shadowing, Long Term Fading</i>): &nbsp; Diese beschreibt eine langsame Veränderung der Empfangsbedingungen aufgrund der sich ändernden Umgebung, zum Beispiel, wenn man an einem Gebäude vorbeifährt oder wenn man ein Waldstück verlässt.<br>
  
*'''Mehrwegeausbreitung''' (englisch: <i>Multipath Propagation</i>): Gelangt das Signal auf mehreren Wegen mit Laufzeitunterschieden zum Empfänger, so kommt es &ndash; je nach Signalfrequenz &ndash; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung. Für bestimmte Frequenzen ist die Topologie günstig, für andere ungünstig. Deshalb wird dieser Effekt auch als <i>frequenzselektives Fading</i> bezeichnet.<br>
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*'''Mehrwegeausbreitung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Multipath Propagation</i>): &nbsp; Gelangt das Signal auf mehreren Wegen mit Laufzeitunterschieden zum Empfänger, so kommt es &ndash; je nach Signalfrequenz &ndash; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung.&nbsp; Für bestimmte Frequenzen ist die Topologie günstig, für andere ungünstig.&nbsp; Deshalb wird dieser Effekt auch als <i>frequenzselektives Fading</i>&nbsp; bezeichnet.<br>
  
*'''Zeitvarianz''' (englisch: <i>Time Variation</i>): Der Effekt entsteht durch die Bewegung des Senders und/oder des Empfängers, da zu jeder Zeit ein anderer Kanal vorliegt. Die Übertragungsqualität sinkt rapide, wenn der direkte Pfad durch ein Hindernis abgeschattet ist. Das Empfangssignal setzt sich dann nur aus den auf Umwegen eintreffenden Teilsignalen zusammen, die aufgrund von Streuungen an Bäumen und Sträuchern sowie eventuell Brechungs&ndash; und Beugungserscheinungen gegenüber dem direkten Pfad abgeschwächt sind und sich vektoriell zum Gesamtsignal addieren.<br>
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*'''Zeitvarianz'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Time Variation</i>): &nbsp; Der Effekt entsteht durch die Bewegung des Senders und/oder des Empfängers, da zu jeder Zeit ein anderer Kanal vorliegt.&nbsp; Die Übertragungsqualität sinkt rapide, wenn der direkte Pfad durch ein Hindernis abgeschattet ist.&nbsp; Das Empfangssignal setzt sich dann nur aus den auf Umwegen eintreffenden Teilsignalen zusammen, die aufgrund von Streuungen an Bäumen und Sträuchern sowie eventuell Brechungs&ndash; und Beugungserscheinungen gegenüber dem direkten Pfad abgeschwächt sind und sich vektoriell zum Gesamtsignal addieren.<br>
  
*'''Dopplereffekt''' (englisch: <i>Doppler Spread</i>): Je nachdem, ob (und auch in welchem Winkel) sich die Mobilstation auf den Sender zu bewegt oder sich von diesem entfernt, kommt es zu (leichten) Frequenzverschiebungen und damit zu statistischen Bindungen innerhalb des empfangenen Signals, die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D_.281.29| Impulsinterferenzen]] bewirken.<br><br>
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*'''Dopplereffekt'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Doppler Spread</i>): &nbsp; Je nachdem, ob&nbsp; (und auch in welchem Winkel)&nbsp; sich die Mobilstation auf den Sender zu bewegt oder sich von diesem entfernt, kommt es zu (leichten) Frequenzverschiebungen und damit zu statistischen Bindungen innerhalb des empfangenen Signals, die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D_.281.29| Impulsinterferenzen]]&nbsp; bewirken.<br><br>
  
In diesem Kapitel betrachten wir  Pfadverlust und Abschattungseffekte genauer. Die nachfolgenden Kapitel beschäftigen sich mit der Zeitvarianz, auch unter Berücksichtigung des Dopplereffektes. Das zweite Hauptkapitel beschreibt die Mehrwegeausbreitung, die beim Mobilfunk Echos zur Folge hat.<br>
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In diesem Kapitel betrachten wir  Pfadverlust und Abschattungseffekte genauer.&nbsp; Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit der Zeitvarianz, auch unter Berücksichtigung des Dopplereffektes.&nbsp; Das zweite Hauptkapitel beschreibt die Mehrwegeausbreitung, die beim Mobilfunk Echos zur Folge hat.<br>
  
  
 
== Freiraumausbreitung ==
 
== Freiraumausbreitung ==
 
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Man spricht von ''Freiraumausbreitung'', wenn zwischen Sender und dem  im Abstand $d$ positionierten Empfänger eine Sichtverbindung besteht wie  bei der Satellitenkommunikation oder im Weltraum. Die Radiowellen breiten sich im &bdquo;leeren Raum&rdquo; ungehindert kugelförmig um die Sendeantenne aus, werden aber  aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit zunehmender Entfernung abgeschwächt.<br>
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Man spricht von &bdquo;Freiraumausbreitung&rdquo;, wenn zwischen Sender und dem  im Abstand&nbsp; $d$&nbsp; positionierten Empfänger eine Sichtverbindung besteht wie  bei der Satellitenkommunikation oder im Weltraum.&nbsp; Die Radiowellen breiten sich im &bdquo;leeren Raum&rdquo; ungehindert kugelförmig um die Sendeantenne aus, werden aber  aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit zunehmender Entfernung abgeschwächt.<br>
  
Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass der Radius $R$ der Kugel und damit auch die Kugelfläche immer größer und bei konstanter Gesamtenergie der Energieanteil pro Flächeneinheit proportional zu $1/R^2$ immer kleiner wird.<br>
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:Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass der Radius&nbsp; $R$&nbsp; der Kugel und damit auch die Kugelfläche immer größer werden  und bei konstanter Gesamtenergie der Energieanteil pro Flächeneinheit proportional zu&nbsp; $1/R^2$&nbsp; immer kleiner wird.<br>
  
Wir gehen von einer unmodulierten Schwingung der Frequenz $f_{\rm S}$ bzw. der Wellenlänge $\lambda= c/<f_{\rm S}$ aus, wobei <$c  = 3 \cdot 10^8\ \rm  m/s$ die ''Lichtgeschwindigkeit'' angibt. Die Signalleistung sei $P_{\rm S}$.<br>
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Wir gehen von einer unmodulierten Schwingung der Frequenz&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; bzw. der Wellenlänge&nbsp; $\lambda= c/f_{\rm S}$&nbsp; aus, wobei&nbsp; $c  = 3 \cdot 10^8\ \rm  m/s$&nbsp; die ''Lichtgeschwindigkeit''&nbsp; angibt.&nbsp; Die Signalleistung sei&nbsp; $P_{\rm S}$.<br>
  
[https://de.wikipedia.org/wiki/Harald_Friis Harald Friis] hat 1944 eine Gleichung für die Empfangsleistung $P_{\rm E}(d)$ im Abstand $d$ angegeben, die allerdings nur im Vakuum gültig ist:
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[https://de.wikipedia.org/wiki/Harald_Friis Harald Friis]&nbsp; hat 1944 eine Gleichung für die Empfangsleistung&nbsp; $P_{\rm E}(d)$&nbsp; im Abstand&nbsp; $d$&nbsp; angegeben, die allerdings nur im Vakuum gültig ist:
  
 
::<math>P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} \cdot \lambda^2}{16 \cdot  \pi^2 \cdot d^2 \cdot V_{\rm zus}} =  
 
::<math>P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} \cdot \lambda^2}{16 \cdot  \pi^2 \cdot d^2 \cdot V_{\rm zus}} =  
 
  \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm FR}(d)} \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm FR}(d)} \hspace{0.05cm}.</math>
  
*$G_{\rm S}$ bzw. $G_{\rm E}$ bezeichnen die Antennengewinne von Sender und Empfänger.  
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*$G_{\rm S}$&nbsp; bzw.&nbsp; $G_{\rm E}$&nbsp; bezeichnen die Antennengewinne von Sender und Empfänger.  
*$V_{\rm zus} > 1$ fasst alle Verluste zusammen, die unabhängig von der Wellenausbreitung sind, zum Beispiel die Verluste durch die Antennen&ndash;Kabelzuführungen.  
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*$V_{\rm zus} > 1$&nbsp; fasst alle zusätzlichen, von der Wellenausbreitung unabhängigen Verluste zusammen, z. B. durch die Antennen&ndash;Kabelzuführungen.  
*Die '''Freiraumdämpfung''' $K_{\rm FR}(d)$ hängt von der Distanz $d$ ab:
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*Die&nbsp; '''Freiraumdämpfung'''&nbsp; $K_{\rm FR}(d)$&nbsp; hängt von der Distanz&nbsp; $d$&nbsp; ab:
  
 
::<math>K_{\rm FR}(d) = K_{\rm FR}(d_0) \cdot (d/d_0)^2 \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm}
 
::<math>K_{\rm FR}(d) = K_{\rm FR}(d_0) \cdot (d/d_0)^2 \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm}
  K_{\rm FR}(d_0) =  \left [{4 \cdot \pi \cdot d_0}/{\lambda} \right ]^2 \hspace{0.05cm}.</math>
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  K_{\rm FR}(d_0) =  ({4 \pi d_0}/{\lambda} )^2 \hspace{0.05cm}.</math>
  
Meist wird die Freiraumdämpfung logarithmisch mit der Pseudoeinheit &bdquo;dB&rdquo; angegeben. Dann gilt für den Leistungsverlust durch die Freiraumdämpfung (&bdquo;<i>V</i>&rdquo; steht für &bdquo;Verlust&rdquo; in dB):
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Meist wird die Freiraumdämpfung logarithmisch mit der Pseudoeinheit &bdquo;dB&rdquo; angegeben.&nbsp; Dann gilt für den Leistungsverlust durch die Freiraumdämpfung (&bdquo;<i>V</i>&rdquo; steht für &bdquo;Verlust&rdquo; in dB):
  
 
::<math>V_{\rm FR}(d) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} K_{\rm FR}(d) = V_{\rm 0} + 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} V_{\rm 0} = V_{\rm FR}(d_0) = 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.2cm} ({4 \pi  d_0}/{\lambda}) \hspace{0.05cm}.</math>
 
::<math>V_{\rm FR}(d) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} K_{\rm FR}(d) = V_{\rm 0} + 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} V_{\rm 0} = V_{\rm FR}(d_0) = 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.2cm} ({4 \pi  d_0}/{\lambda}) \hspace{0.05cm}.</math>
  
 
Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
 
Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
*Sie gilt nur im Fernfeld der Antenne $(d > d_{\rm F})$. Hierbei ist $d_{\rm F} = 2 D^2/\lambda$ die so genannte '''Fraunhofer&ndash;Distanz'''. Für $D$ ist die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne einzusetzen.<br>
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*Die Gleichung gilt nur im Fernfeld der Antenne&nbsp; $(d > d_{\rm F})$.&nbsp; Hierbei ist&nbsp; $d_{\rm F} = 2 D^2/\lambda$&nbsp; die so genannte &nbsp;'''Fraunhofer&ndash;Distanz'''.&nbsp; Für&nbsp; $D$&nbsp; ist die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne einzusetzen.<br>
  
*Die Gleichung gilt nicht  für $d \to 0$.  Hierfür  ergäbe sich der Grenzwert $K_{\rm FR} \to 0$, und es ergäbe sich unabhängig von $P_{\rm S}$ stets eine unendliche Empfangsleistung $P_{\rm E}(d \to 0)$.<br>
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*Die Gleichung gilt nicht  für&nbsp; $d \to 0$.&nbsp; Hierfür  ergäbe sich der Grenzwert&nbsp; $K_{\rm FR} \to 0$, und es ergäbe sich unabhängig von&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; stets eine unendliche Empfangsleistung&nbsp; $P_{\rm E}(d \to 0)$.<br>
  
*Die Freiraumdämpfung $K_{\rm FR}(d)$ nimmt mit zunehmender Entfernung $d$ quadratisch zu und ebenfalls quadratisch mit zunehmender Signalfrequenz $f_{\rm S}$, das heißt, mit kleiner werdender Wellenlänge $\lambda$.<br>
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*Die Freiraumdämpfung&nbsp; $K_{\rm FR}(d)$&nbsp; nimmt mit zunehmender Entfernung&nbsp; $d$&nbsp; quadratisch zu und ebenfalls quadratisch mit zunehmender Signalfrequenz&nbsp; $f_{\rm S}$, das heißt, mit kleiner werdender Wellenlänge&nbsp; $\lambda$.<br>
  
*Beispielsweise gilt beim [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM/E&ndash;Netz]] ($f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $\lambda \approx 17 \ \rm cm$): $K_{\rm FR}(d = 1\ \rm  km)1.6 \cdot 10^9$. Beim Empfänger im Abstand von einem Kilometer kommt also nicht mal ein Milliardstel der Sendeleistung an.<br><br>
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*Beispielsweise gilt beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM/E&ndash;Netz]]&nbsp; $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $\lambda \approx 17 \ \rm cm)$: &nbsp; $K_{\rm FR}(d = 1\ \rm  km) = 1.6 \cdot 10^9$.&nbsp; Beim Empfänger im Abstand von einem Kilometer kommt also nicht mal ein Milliardstel der Sendeleistung an.<br><br>
  
In der [[Aufgabe 1.1Z]] soll die obige Friis&ndash;Gleichung numerisch ausgewertet und interpretiert werden. Oft setzt man die Freiraumdämpfung in Bezug zu einer geeignet zu definierenden Normierungsdistanz $d_0$, wobei man häufig  $d_0 = 1\ \rm  m$ verwendet.<br>
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In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Einfaches_Pfadverlustmodell|Aufgabe 1.1Z]]&nbsp; soll die obige Friis&ndash;Gleichung numerisch ausgewertet und interpretiert werden.&nbsp; Oft setzt man die Freiraumdämpfung in Bezug zu einer geeignet zu definierenden Normierungsdistanz&nbsp; $d_0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $K_{\rm FR}(d/d_0)$, wobei man häufig&nbsp; $d_0 = 1\ \rm  m$&nbsp; verwendet.<br>
  
 
== Gebräuchliches Pfadverlustmodell ==
 
== Gebräuchliches Pfadverlustmodell ==
 
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Im Gegensatz zu Satelliten&ndash; und Richtfunk&ndash;Übertragungsstrecken sind beim Landmobilfunk neben der Freiraumdämpfung weitere störende Effekte zu berücksichtigen, die ebenfalls zu einer Verminderung der Empfangsleistung beitragen, nämlich:
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Im Gegensatz zu Satelliten&ndash; und Richtfunk&ndash;Übertragungsstrecken sind beim Landmobilfunk neben der Freiraumdämpfung noch weitere störende Effekte zu berücksichtigen, die ebenfalls zu einer Verminderung der Empfangsleistung beitragen, nämlich:
*'''Reflexionen''': Durch Überlagerung des Sendesignals mit einer am Erdboden oder an anderen großen glatten Oberflächen reflektierten Signalkomponente können Auslöschungen entstehen, die eine Abnahme der Empfangsleistung bis zur vierten Potenz des Abstandes $d$ zwischen Sender und Empfänger bewirken. Mehr hierzu finden Sie in [Zan05]<ref name = 'Zan05'>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> und [PA95]<ref name = 'PA95'>Pahlavan, K.; Allen, L.: ''Wireless Information Networks.'' New York: John Wiley & Sons, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.</ref>.<br>
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*'''Reflexionen''': &nbsp; Durch Überlagerung des Sendesignals mit einer am Erdboden oder an anderen großen glatten Oberflächen reflektierten Signalkomponente können Auslöschungen entstehen, die eine Abnahme der Empfangsleistung bis zur vierten Potenz des Abstandes&nbsp; $d$&nbsp; zwischen Sender und Empfänger bewirken.&nbsp; Mehr hierzu finden Sie in&nbsp; [Zan05]<ref name = 'Zan05'>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref>&nbsp; und&nbsp; [PA95]<ref name = 'PA95'>Pahlavan, K.; Allen, L.: ''Wireless Information Networks.'' New York: John Wiley & Sons, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.</ref>.<br>
  
*'''Beugung''': Hiervon spricht man, wenn das Signal nicht reflektiert, sondern &ndash; zum Beispiel an einer Gebäudekante &ndash; von seiner Ausbreitungsrichtung abgelenkt wird. Eine physikalische Erklärung findet man wieder in [Zan05]<ref name = 'Zan05'></ref>.<br>
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*'''Beugung''': &nbsp; Hiervon spricht man, wenn das Signal nicht reflektiert, sondern &ndash; zum Beispiel an einer Gebäudekante &ndash; von seiner Ausbreitungsrichtung abgelenkt wird.&nbsp; Eine physikalische Erklärung findet man wieder in&nbsp; [Zan05]<ref name = 'Zan05'></ref>.<br>
  
*'''Streuung''': Ist die Verbindung Sender &ndash; Empfänger durch mehrere Objekte mit unregelmäßiger Oberfläche (zum Beispiel Bäume oder Sträucher) unterbrochen, so trifft das Signal am Empfänger in Form vieler Streusignale mit leicht unterschiedlichen Laufzeiten ein. Die Größe des Hindernisses bestimmt dabei, ob dieses als reflektierendes oder als streuendes Objekt aufzufassen ist.<br><br>
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*'''Streuung''': &nbsp; Ist die Verbindung&nbsp; Sender &ndash; Empfänger&nbsp; durch mehrere Objekte mit unregelmäßiger Oberfläche&nbsp; (zum Beispiel Bäume oder Sträucher)&nbsp; unterbrochen, so trifft das Signal am Empfänger in Form vieler Streusignale mit leicht unterschiedlichen Laufzeiten ein.&nbsp; Die Größe des Hindernisses bestimmt dabei, ob dieses als reflektierendes oder als streuendes Objekt aufzufassen ist.<br><br>
  
Diese Effekte sind dafür verantwortlich, dass man Mobilfunk auch ohne direkte Sichtverbindung betreiben kann, und die Grundlage für den wirtschaftlichen Erfolg der Mobilfunksysteme. Negativ wirken sich diese Effekte durch eine geringere Empfangsleistung aus, was durch einen größeren Exponenten als $\gamma = 2$ berücksichtigt werden muss. Wir sprechen dann nicht mehr von Freiraumdämpfung, sondern allgemein vom ''Pfaddämpfungsfaktor'':
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Die hier genannten Effekte sind dafür verantwortlich, dass man Mobilfunk auch ohne direkte Sichtverbindung betreiben kann, und damit eine der Grundlagen für den wirtschaftlichen Erfolg der Mobilfunksysteme.&nbsp; Negativ wirken sich diese Effekte durch eine geringere Empfangsleistung aus, was durch einen größeren Exponenten als&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; berücksichtigt werden muss.&nbsp; Wir sprechen dann nicht mehr von Freiraumdämpfung, sondern allgemein vom&nbsp; &bdquo;Pfaddämpfungsfaktor&rdquo;:
  
 
::<math>K_{\rm P}(d) = K_{\rm P}(d_0) \cdot (d/d_0)^\gamma \hspace{0.05cm}.</math>
 
::<math>K_{\rm P}(d) = K_{\rm P}(d_0) \cdot (d/d_0)^\gamma \hspace{0.05cm}.</math>
  
Die entsprechende dB&ndash;Größe nennen wir den '''Pfadverlust''' (&bdquo;lg&rdquo; ist der Logarithmus zur Basis 10):
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Die entsprechende dB&ndash;Größe nennen wir den&nbsp; '''Pfadverlust'''&nbsp; $(\rm lg$ ist der Logarithmus zur Basis $10)$:
  
 
::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 
::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 
V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d_0) = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda}\hspace{0.05cm}. </math>
 
V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d_0) = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda}\hspace{0.05cm}. </math>
  
Aus diesen Gleichungen ist zu ersehen, dass die Freiraumdämpfung $V_{\rm FR}(d)$  ein Sonderfall von $V_{\rm P}(d)$  mit $\gamma = 2$ ist. In  <ref name = 'Zan05'></ref> werden einige Zahlenwerte für den Exponenten $\gamma$ angegeben, die als Mittelwerte über eine Vielzahl von Messungen bestimmt wurden. Unter anderem gilt
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Aus diesen Gleichungen ist zu ersehen, dass die Freiraumdämpfung&nbsp; $V_{\rm FR}(d)$&nbsp; ein Sonderfall von&nbsp; $V_{\rm P}(d)$&nbsp; mit&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; ist.&nbsp; In&nbsp; [Zan05]<ref name = 'Zan05'>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> werden Zahlenwerte für den Exponenten&nbsp; $\gamma$&nbsp; angegeben, die als Mittelwerte über eine Vielzahl von Messungen bestimmt wurden.&nbsp; Unter anderem gilt
 
*bei freier Sichtverbindung (Satelliten, Richtfunk): &nbsp; $\gamma \approx 2$,<br>
 
*bei freier Sichtverbindung (Satelliten, Richtfunk): &nbsp; $\gamma \approx 2$,<br>
  
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== Weitere, exaktere Pfadverlustmodelle ==
 
== Weitere, exaktere Pfadverlustmodelle ==
 
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Das relativ einfache Pfadverlustmodell entsprechend der letzten Seite ist gut geeignet für Makrozellen, setzt allerdings hohe Antennen der Basisstationen voraus. Es wurde beispielsweise als Referenz&ndash;Szenario bei der Standardisierung von [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|Long Term Evolution]] (LTE) eingesetzt.<br>
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Das relativ einfache Pfadverlustmodell entsprechend der letzten Seite ist gut geeignet für Makrozellen, setzt allerdings hohe Antennen der Basisstationen voraus.&nbsp; Es wurde beispielsweise als Referenz&ndash;Szenario bei der Standardisierung von&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|Long Term Evolution]]&nbsp; $\rm (LTE)$&nbsp; eingesetzt.<br>
  
Natürlich kann dieses sehr einfache Zweiparameter&ndash;Modell $(V_0, \gamma)$ nicht alle Anwendungsfälle mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben. Vielmehr findet man in der Literatur eine Vielzahl weiterer Modelle für die Leistungsdämpfung, die genauer an spezifische Randbedingungen (Umgebungen) angepasst sind und auch unterschiedliche Zellgrößen berücksichtigen. Bekannt sind zum Beispiel (siehe [Gol06]<ref name='Gol06'>Goldsmith, A.: ''Wireless Communications.'' Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2006.</ref>. )
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Natürlich kann dieses sehr einfache Zweiparameter&ndash;Modell&nbsp; $(V_0, \ \gamma)$&nbsp; nicht alle Anwendungsfälle mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben.&nbsp; Vielmehr findet man in der Literatur eine Vielzahl weiterer Modelle für die Leistungsdämpfung, die genauer an spezifische Randbedingungen&nbsp; (Umgebungen)&nbsp; angepasst sind und auch unterschiedliche Zellgrößen berücksichtigen.&nbsp; Bekannt sind zum Beispiel &ndash; siehe&nbsp; [Gol06]<ref name='Gol06'>Goldsmith, A.: ''Wireless Communications.'' Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2006.</ref>:
  
*das [https://en.wikipedia.org/wiki/Hata_Model Okumura&ndash;Hata&ndash;Modell],<br>
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*das&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Hata_Model Okumura&ndash;Hata&ndash;Modell],<br>
  
*das Pfadverlustmodell gemäß [https://www.xirio-online.com/help/en/cost231.html COST 231],<br>
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*das Pfadverlustmodell gemäß&nbsp; [https://www.xirio-online.com/help/en/cost231.html COST 231],<br>
  
*das [http://www.itwissen.info/Dual-Slope-Verfahren-dual-slope-methode.html Dual&ndash;Slope&ndash;Modell].<br><br>
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*das&nbsp; [http://www.itwissen.info/Dual-Slope-Verfahren-dual-slope-methode.html Dual&ndash;Slope&ndash;Modell].<br><br>
  
 
[[Datei:P ID2096 Mob T 1 1 S4.png|right|frame|Dual-Slope-Pfadverlustmodell]]
 
[[Datei:P ID2096 Mob T 1 1 S4.png|right|frame|Dual-Slope-Pfadverlustmodell]]
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das Dual&ndash;Slope&ndash;Modell wird oft für Simulationen von Mikrozellen im städtischen Bereich eingesetzt. Es lautet mit den Kenngrößen $d_0 = 1\ \rm  m$  und $d_{\rm BP}$ (<i>Breakpoint</i>, beispielsweise $d_{\rm BP} = 100\ \rm  m$):
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das Dual&ndash;Slope&ndash;Modell wird oft für Simulationen von Mikrozellen im städtischen Bereich eingesetzt.&nbsp; Es lautet mit den Kenngrößen&nbsp; $d_0 = 1\ \rm  m$&nbsp; und&nbsp; $d_{\rm BP}$&nbsp; $($<i>Breakpoint</i>, beispielsweise&nbsp; $d_{\rm BP} = 100\ \rm  m)$:
  
::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ( {d}/{d_0} \right )  
+
::<math>V_{\rm P}(d) \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} V_{\rm 0} \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \gamma_0 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 10\,{\rm dB} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}{\rm lg} \hspace{0.01cm} \left ( {d}/{d_0} \right )  
  + (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left (1+ {d}/{d_{\rm BP} } \right )\hspace{0.05cm}.</math>
+
  \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}(\gamma_1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}\gamma_0) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}10\,{\rm dB} \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm lg} \hspace{0.01cm} \left (1+ {d}/{d_{\rm BP} } \right )\hspace{0.05cm}.</math>
  
Die Grafik zeigt diesen Verlauf für $V_{\rm 0} = 10 \ {\rm dB}$, $\gamma_0 = 2$ und $\gamma_1 = 4$ im Bereich von einem Meter bis zu mehreren Kilometern (grauer Kurvenzug).
+
Die Grafik zeigt diesen Verlauf für&nbsp; $V_{\rm 0} = 10 \ {\rm dB}$,&nbsp; $\gamma_0 = 2$&nbsp; und&nbsp; $\gamma_1 = 4$&nbsp; im Bereich von einem Meter bis zu mehreren Kilometern&nbsp; (dünner grauer Kurvenzug).
  
 
Häufig wird zur Vereinfachung die in der Grafik rot eingezeichnete asymptotische Näherung
 
Häufig wird zur Vereinfachung die in der Grafik rot eingezeichnete asymptotische Näherung
Zeile 140: Zeile 143:
 
\\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} d \ge d_{\rm BP}\hspace{0.05cm} \\ \end{array}</math>
 
\\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} d \ge d_{\rm BP}\hspace{0.05cm} \\ \end{array}</math>
  
verwendet. Der Wert $V_{\rm BP} = 50 \ {\rm dB}$ ergibt sich aus der Gleichung für den ersten Abschnitt an der Grenze $d = 100\ \rm  m$ des Gültigkeitsbereiches.<br>
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verwendet.&nbsp; Der Wert&nbsp; $V_{\rm BP} = 50 \ {\rm dB}$&nbsp; ergibt sich aus der Gleichung für den ersten Abschnitt an der Grenze&nbsp; $d = 100\ \rm  m$&nbsp; des Gültigkeitsbereiches.<br>
  
<i>Hinweis:</i> In der [[Aufgabe 1.1]] wird dieses Modell noch eingehend untersucht.}}<br>
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<i>Hinweis:</i> &nbsp; In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.1:_Dual-Slope–Verlustmodell|Aufgabe 1.1]]&nbsp; wird dieses Modell noch eingehend untersucht.}}<br>
  
 
== Zusätzlicher Verlust durch Abschattungen (Shadowing) ==
 
== Zusätzlicher Verlust durch Abschattungen (Shadowing) ==
 
<br>
 
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Der störende Einfluss von Abschattungen wird anhand der folgenden Grafik erläutert, die dem Vorlesungsmanuskript  [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> entnommen ist:
+
Der störende Einfluss von Abschattungen wird anhand einer Grafik erläutert, die dem Vorlesungsmanuskript &nbsp; [Hin08]<ref name = 'Hin08'>Hindelang, T.: ''Mobile Communications''. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> &nbsp; entnommen ist:
*Die bisherigen Pfadverlustmodelle berücksichtigen nur die distanzabhängige Signaldämpfung gemäß der linken Grafik und lassen topologische Gegebenheiten wie den Einfluss von Abschattungen (englisch: <i>Shadowing</i>) außer Acht.
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[[Datei:P ID2097 Mob T 1 1 S5 v2.png|right|frame|Pfadverlust ohne und mit Berücksichtigung von Abschattung]]
*Im Landmobilfunk führen aber Abschattungen dazu, dass der Signalpegel auch dann nicht konstant ist, wenn man sich im gleichen Abstand von der Basisstation (auf einem Kreisbogen) bewegt.
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*Diesen Sachverhalt zeigt die rechte Grafik, wobei dunklere Bereiche einen größeren Pfadverlust kennzeichnen. Der Unterschied zwischen linkem und rechtem Bild ist auf &bdquo;Shadowing&rdquo; zurückzuführen.<br>
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*Die bisherigen Pfadverlustmodelle berücksichtigen jeweils nur die distanzabhängige Signaldämpfung gemäß der linken Grafik und lassen topologische Gegebenheiten wie den Einfluss von Abschattungen außer Acht.
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*Im Landmobilfunk führen Abschattungen&nbsp;  (englisch:&nbsp; <i>Shadowing</i>)&nbsp; dazu, dass der Signalpegel auch dann variiert, wenn man sich im gleichen Abstand von der Basisstation&nbsp; (auf einem Kreisbogen)&nbsp; bewegt.
  
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*Diesen Sachverhalt zeigt die rechte Grafik, wobei dunklere Bereiche einen größeren Pfadverlust kennzeichnen.&nbsp; Der Unterschied zwischen linkem und rechtem Bild ist auf &bdquo;Shadowing&rdquo; zurückzuführen.<br>
  
[[Datei:P ID2097 Mob T 1 1 S5 v2.png|center|frame|Pfadverlust ohne und mit Berücksichtigung von Abschattung}class=fit]]
 
  
Die Auswirkungen von Abschattungen (<i>Shadowing</i>) lassen sich wie folgt zusammenfassen:
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Die Auswirkungen von Abschattungen&nbsp; (<i>Shadowing</i>)&nbsp; lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*Bei ruhenden Sender und Empfänger ist die Abschattung deterministisch zu betrachten. Sie führt dazu, dass der Pfadverlust aufgrund der Abschattung um einen konstanten Wert $V_{\rm S}$ (in dB) verändert wird:
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*Bei ruhenden Sender und Empfänger ist die Abschattung deterministisch zu betrachten.&nbsp; Sie führt dazu, dass der Pfadverlust aufgrund der Abschattung um einen konstanten Wert&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; (in dB) verändert wird:
  
 
::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ V_{\rm S}\hspace{0.05cm}. </math>
 
::<math>V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ V_{\rm S}\hspace{0.05cm}. </math>
  
*Bewegt sich der Empfänger (oder auch der Sender), so ändert sich der <i>Shadowing</i>&ndash;Verlust entsprechend den Koordinaten und demzufolge auch mit der Zeit: &nbsp; $V_{\rm S}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $V_{\rm S}(x, y)$ bzw. $V_{\rm S}$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $V_{\rm S}(t)$.<br>
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*Bewegt sich der Empfänger&nbsp; (oder auch der Sender), so ändert sich der <i>Shadowing</i>&ndash;Verlust entsprechend den Koordinaten und demzufolge auch mit der Zeit. Das bedeutet: &nbsp; $V_{\rm S}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $V_{\rm S}(x, y)$ &nbsp; bzw. &nbsp; $V_{\rm S}$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $V_{\rm S}(t)$.<br>
  
*Allerdings sind solche Kanaländerungen aufgrund von Abschattungen sehr langsam. Oft bleiben die Bedingungen über mehrere Sekunden gleich und man spricht hier von <i>Long Term Fading</i> im Gegensatz zu schnellem Fading wie [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals |Rayleigh&ndash;Fading]] und [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF| Rice&ndash;Fading.]]<br>
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*Allerdings sind solche Kanaländerungen aufgrund von Abschattungen sehr langsam.&nbsp; Oft bleiben die Bedingungen über mehrere Sekunden gleich und man spricht hier dann von&nbsp; &bdquo;Long Term Fading&rdquo;&nbsp; im Gegensatz zu schnellem Fading wie&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals |Rayleigh&ndash;Fading]]&nbsp; und&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF| Rice&ndash;Fading.]]<br>
  
 
== Lognormal–Kanalmodell==
 
== Lognormal–Kanalmodell==
 
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[[Datei:P ID2098 Mob T 1 1 S6a v1.png|right|frame|Lognormal-WDF des Shadowing-Verlustes]]
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[[Datei:P ID2098 Mob T 1 1 S6a v1.png|right|frame|Lognormal-WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; Shadowing-Verlust]]
Zur Berücksichtigung des <i>Shadowing</i>&ndash;Verlustes $V_{\rm S}$ bei der Systemplanung muss man auf stochastische Modelle zurückgreifen, die sich aus empirischen Untersuchungen ergeben haben. Am bekanntesten ist das '''Lognormal&ndash;Kanalmodell''', das für die Zufallsvariable $V_{\rm S}$ eine [[Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Allgemeine_Beschreibung| Gaußsche WDF]] zugrundelegt:
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Zur Berücksichtigung des Verlustes&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp;  durch Shadowing muss man bei der Systemplanung auf statistische Modelle zurückgreifen, die sich aus empirischen Untersuchungen ergeben haben.  
  
::<math>f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.</math>
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Am bekanntesten ist das &nbsp;'''Lognormal&ndash;Kanalmodell''', das für die Zufallsvariable&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Allgemeine_Beschreibung| Gaußsche WDF]]&nbsp; zugrundelegt:
  
Der Name &bdquo;Lognormal&rdquo; ergibt sich aus der Tatsache, dass die dB&ndash;Größe $V_{\rm S}$, die über den Logarithmus aus dem linearen Leistungsdämpfungsfaktor abgeleitet wird, normalverteilt (und damit gaußisch) ist. <br>
+
::<math>f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) }  \hspace{0.05cm}.</math>
  
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Der Name &bdquo;Lognormal&rdquo; ergibt sich aus der Tatsache, dass die dB&ndash;Größe&nbsp; $V_{\rm S}$, die  über den Logarithmus aus dem linearen Leistungsdämpfungsfaktor abgeleitet wird, normalverteilt (und damit gaußisch) ist. <br>
  
 
Das Lognormal&ndash;Kanalmodell ist durch zwei Parameter bestimmt:
 
Das Lognormal&ndash;Kanalmodell ist durch zwei Parameter bestimmt:
*Der Mittelwert $m_{\rm S} = {\rm E}[V_{\rm S}]$ gibt den mittleren Shadowing&ndash;Verlust an. Für ländliches Gebiet wird meist mit $m_{\rm S} = 6 \ \rm dB$ gerechnet, für städtisches Gebiet geht man von $14 \ \rm dB$ ... $20 \ \rm dB$ aus.<br>
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*Der Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S} = {\rm E}\big [V_{\rm S}\big ]$&nbsp; gibt den mittleren Shadowing&ndash;Verlust an.&nbsp; Für ländliches Gebiet wird meist mit&nbsp; $m_{\rm S} = 6 \ \rm dB$&nbsp; gerechnet, für städtisches Gebiet geht man von&nbsp; $14 \ \rm dB$ ... $20 \ \rm dB$&nbsp; aus.<br>
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*Auch die Standardabweichung&nbsp; (oder Streuung) &nbsp; $\sigma_{\rm S}$&nbsp;  ist für ländliches Gebiet&nbsp; $(\approx 6 \ \rm dB)$&nbsp; und städtische Bedingungen&nbsp; $($zwischen&nbsp; $8 \ \rm dB$&nbsp; und&nbsp; $12 \ \rm dB)$&nbsp; unterschiedlich.<br><br>
  
*Auch die Standardabweichung (oder Streuung) $\sigma_{\rm S}$ ist für ländliches Gebiet $(\approx 6 \ \rm dB)$ bzw. für städtische Bedingungen (zwischen $8 \ \rm dB$ und $12 \ \rm dB$) unterschiedlich.<br><br>
+
Beachten Sie, dass&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; beim Lognormal&ndash;Fading auch negative Werte annehmen kann&nbsp; (rote Hinterlegung in obiger Grafik), was der Vorstellung von Abschattung eigentlich widerspricht.&nbsp; In der Praxis hat sich dieses Modell allerdings als sehr gut erwiesen.  
  
Beachten Sie, dass $V_{\rm S}$ beim Lognormal&ndash;Fading auch negative Werte annehmen kann (rote Hinterlegung in obiger Grafik), was der Vorstellung von Abschattung eigentlich widerspricht. In der Praxis hat sich dieses Modell allerdings als sehr gut erwiesen. Den &bdquo;Gewinn durch Abschattung&rdquo; könnte man wie folgt interpretieren:
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Den &bdquo;Gewinn durch Abschattung&rdquo; könnte man wie folgt interpretieren:
 
*In Häuserschluchten kann durch Reflexionen an Gebäuden mehr Energie ankommen, als es nach dem Pfadverlust zu erwarten wäre.<br>
 
*In Häuserschluchten kann durch Reflexionen an Gebäuden mehr Energie ankommen, als es nach dem Pfadverlust zu erwarten wäre.<br>
  
*Der Pfadverlustexponent $\gamma$ wird stets fest vorgegeben. Im städtischen Gebiet wird häufig  von $\gamma = 3.76$ ausgegangen. Aber es gibt Positionen in der Stadt, bei denen $\gamma$ kleiner ist.<br>
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*Der Pfadverlustexponent&nbsp; $\gamma$&nbsp; wird stets fest vorgegeben, zum Beispiel&nbsp; $\gamma = 3.76$&nbsp; im städtischen Gebiet. &nbsp; Aber es gibt Positionen in der Stadt, bei denen&nbsp; $\gamma$&nbsp; kleiner ist.<br>
  
*Zu bedenken ist auch, dass ein solch einfaches Modell nicht alle Details exakt abbildet. Man sollte daher nicht versuchen, alle Modelleigenschaften physikalisch zu interpretieren.<br><br>
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*Ein solch einfaches Modell kann nicht alle Details exakt abbilden.&nbsp; Man sollte daher nicht versuchen, alle Modelleigenschaften physikalisch zu interpretieren.<br><br>
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
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::<math>V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} V_{\rm 1} =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ m_{\rm S}\hspace{0.05cm}.</math>
 
::<math>V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} V_{\rm 1} =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ m_{\rm S}\hspace{0.05cm}.</math>
  
Der zweite Anteil $V_{\rm 2}(t)$ beschreibt nun eine Lognormal&ndash;WDF mit Mittelwert $0$:
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Der zweite Anteil&nbsp; $V_{\rm 2}(t)$&nbsp; beschreibt nun eine Lognormal&ndash;WDF mit Mittelwert Null:
  
::<math>f_{V_2}(V_2) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S} }  \cdot {\rm e }^{  -  V_2 ^2/(2 \cdot \sigma_{\rm S}^2)  }\hspace{0.05cm}.</math>
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::<math>f_{V_2}(V_2) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S} }  \cdot {\rm e }^{  -  V_2 ^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2)  }\hspace{0.05cm}.</math>
  
Die Entfernungabhängigkeit von  $V_1$ spielt keine große Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet.}}<br>
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Die Entfernungsabhängigkeit von&nbsp; $V_1$&nbsp; spielt keine große Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet.}}<br>
  
 
== Zeitbereichsmodell für das Lognormal–Fading==
 
== Zeitbereichsmodell für das Lognormal–Fading==
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[[Datei:P ID2099 Mob T 1 1 S6b v2.png|right|frame|Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading]]
 
[[Datei:P ID2099 Mob T 1 1 S6b v2.png|right|frame|Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading]]
  
Die Grafik zeigt ein Zeitbereichsmodell, mit dessen Hilfe der Pfadverlust  $V_{\rm P}$ gemäß obiger Gleichung simulativ nachgebildet werden kann.
+
Die Grafik zeigt ein Zeitbereichsmodell, mit dessen Hilfe der Pfadverlust&nbsp; $V_{\rm P}$&nbsp; gemäß obiger Gleichung simulativ nachgebildet werden kann.&nbsp; Hierzu ist anzumerken:
 
+
*Das Eingangssignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; besitze die Leistung&nbsp; $P_{\rm S}$.&nbsp; In logarithmischer Darstellung wird die Leistung auf&nbsp; $1\ \rm  mW$&nbsp; bezogen  und es wird die Pseudoeinheit&nbsp; &bdquo;dBm&rdquo;&nbsp; hinzugefügt.
Dazu ist anzumerken:
 
*Das Eingangssignal $s(t)$ besitze die Leistung $P_{\rm S}$. In logarithmischer Darstellung wird die Leistung auf $1\ \rm  mW$ bezogen  und es wird die Pseudoeinheit &bdquo;dBm&rdquo; hinzugefügt.
 
  
*Der Pfadverlust $V_1$ wird durch die Multiplikation mit $k_1$ erzeugt. Das Ausgangssignal $r'(t)$ hat dann eine um $V_1$ (in dB) kleinere Leistung:
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*Der Pfadverlust&nbsp; $V_1$&nbsp; wird durch die Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; erzeugt.&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $r'(t)$&nbsp; hat dann eine um&nbsp; $V_1$&nbsp; (in dB)&nbsp; kleinere Leistung:
  
 
::<math>k_1 = 10^{-V_{\rm 1}/20} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}
 
::<math>k_1 = 10^{-V_{\rm 1}/20} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}
Zeile 211: Zeile 217:
 
  10  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} - V_1
 
  10  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} - V_1
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
 +
[[Datei:P ID2102 Mob T 1 1 S6c v3.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Gauß&nbsp; $(V_2)$&nbsp; und Lognormal&nbsp; $(z_2)$]]
 +
*Das&nbsp; (mittelwertfreie)&nbsp; Lognormal&ndash;Fading wird durch Multiplikation mit der Zufallsgröße&nbsp; $z_2(t)$&nbsp; nachgebildet.&nbsp;
 +
*Die WDF ergibt sich aus der Gaußschen Zufallsgröße&nbsp;  $V_2$&nbsp; durch eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]]&nbsp; an der Kennlinie&nbsp;
 +
:$$z_2 = g(V_2) = 10^{-V_{\rm 2}/20}.$$
  
*Das (mittelwertfreie) Lognormal&ndash;Fading wird durch Multiplikation mit der Zufallsgröße $z_2(t)$ nachgebildet. Die WDF ergibt sich aus der Gaußschen Zufallsgröße  $V_2$ durch eine [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]] an der Kennlinie $z_2 = g(V_2) = 10^{-V_{\rm 2}/20}$.
+
*Für&nbsp; $z_2< 0$&nbsp; ist diese WDF gleich Null, und für&nbsp; $z_2\ge 0$&nbsp; gilt mit der Abkürzung&nbsp; $C = \rm ln(10)/20 dB$:
 
 
*Für $z_2< 0$ ist diese WDF gleich Null, und für $z_2\ge 0$ gilt mit der Abkürzung  $C = \rm ln(10)/20 dB$:
 
[[Datei:P ID2102 Mob T 1 1 S6c v3.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Gauß (<i>V</i><sub>2</sub>) und Lognormal (<i>z</i><sub>2</sub>)]]
 
::<math>f_{z_{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2}  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  
Die Grafik verdeutlicht diese Transformation.  
+
:$$f_{z_{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2})
 +
/({2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} C^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2})
 +
} } }{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2}  \hspace{0.05cm}.$$
  
Man erkennt  
+
Die Grafik verdeutlicht die Transformation.&nbsp; Man erkennt  
*die Gauß&ndash;WDF von $V_2$ (blau) mit Streuung $\sigma_{\rm S} = 6 \ \rm  dB$,  
+
*die Gauß&ndash;WDF von&nbsp; $V_2$&nbsp; (blau) mit Streuung&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 6 \ \rm  dB$,  
 
*die negativ&ndash;logarithmische Kennlinie (grün), sowie
 
*die negativ&ndash;logarithmische Kennlinie (grün), sowie
*die unsymmetrische WDF (rot) der zu multiplizierenden Größe $z_2(t)$.  
+
*die unsymmetrische WDF (rot) der zu multiplizierenden Größe&nbsp; $z_2(t)$.  
  
  
Wir verweisen hierzu auch auf die [[Aufgabe 1.2Z]].
+
Wir verweisen hier auf die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.2Z:_Nochmals_Lognormal–Fading|Aufgabe 1.2Z]].
 
<br clear = all>
 
<br clear = all>
  
 
== Voraussetzungen für die folgenden Kapitel ==
 
== Voraussetzungen für die folgenden Kapitel ==
 
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Die mittlere Leistung aller am Empfänger ankommenden Signalanteile können mit Hilfe von Pfadverlust&ndash; und Abschattungsmodell berechnet werden. Das Lognormal&ndash;Abschattungsmodell berücksichtigt langsame Änderungen der Reflektoren aufgrund der Topologie, wobei sich die Empfangsbedingungen in Städten nur alle fünf bis zehn Meter ändern und auf dem Land nur alle 30 bis 100 Meter. Im Folgenden wird der Pfadverlust und der Einfluss von Abschattungen nicht weiter betrachtet, sondern auf $1$ normiert.<br>
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Die mittlere Leistung aller am Empfänger ankommenden Signalanteile können mit Hilfe von Pfadverlust&ndash; und Abschattungsmodell berechnet werden.  
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*Das Lognormal&ndash;Abschattungsmodell berücksichtigt langsame Änderungen der Reflektoren aufgrund der Topologie, wobei sich die Empfangsbedingungen in Städten nur alle fünf bis zehn Meter ändern und auf dem Land nur alle 30 bis 100 Meter.  
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*Im Folgenden wird der Pfadverlust und der Einfluss von Abschattungen nicht weiter betrachtet, sondern auf&nbsp; $1$&nbsp; normiert.<br>
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Pfade können sich konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die damit zusammenhängenden Änderungen ergeben sich örtlich im Bereich der halben Wellenlänge.&nbsp; Beim Mobilfunk genügen dabei schon einige wenige Zentimeter, um völlig andere Empfangsbedingungen vorzufinden.&nbsp; Man spricht von&nbsp; '''Fast Fading'''.&nbsp; Ein solcher Kanal ist grundsätzlich frequenz&ndash; und zeitabhängig.
  
Pfade können sich konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die damit zusammenhängenden Änderungen ergeben sich örtlich im Bereich der halben Wellenlänge. Beim Mobilfunk genügen dabei schon einige wenige Zentimeter, um völlig andere Empfangsbedingungen vorzufinden. Man spricht von '''Fast Fading'''. Ein solcher Kanal ist grundsätzlich frequenz&ndash; und zeitabhängig.
+
Für den Rest dieses ersten  Hauptkapitel wird die Frequenzabhängigkeit dadurch eliminiert, dass wir von einer einzigen festen Frequenz ausgehen (siehe Grafik).  
  
Für den Rest dieses ersten  Hauptkapitel wird die Frequenzabhängigkeit dadurch eliminiert, dass wir von einer einzigen festen Frequenz ausgehen. Es gelten somit ab sofort folgende Voraussetzungen:
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[[Datei:P ID2100 Mob T 1 1 S7 v1.png|right|frame|Signale&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$&nbsp; zur Beschreibung des Mobilfunkkanals im Bandpass&ndash;Bereich (rot) und im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich (blau); für die Skizze gilt&nbsp; $&varphi;(t)\equiv 0$ ]]
[[Datei:P ID2100 Mob T 1 1 S7 v1.png|right|frame|Signale <i>s</i>(<i>t</i>) und <i>r</i>(<i>t</i>) zur Beschreibung des Mobilfunkkanals im Bandpass&ndash;Bereich (rot) und im äquivalenten Tiefpassbereich (blau); für die Skizze gilt <i>&phi;</i>(<i>t</i>) = 0. ]]
 
*Das Eingangssignal des Mobilfunkkanals sei eine Cosinusschwingung mit der Amplitude $A = 1$ und der Frequenz $f_{\rm T}$. Wir bezeichnen diese Schwingung als <i>Sendesignal</i>  $s_{\rm BP}(t)$. Dieses Bandpass&ndash;Signal ist in der oberen Grafik rot dargestellt.<br>
 
  
 +
Es gelten somit ab sofort folgende Voraussetzungen:
  
*Das Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ des Mobilfunkkanals &ndash; im Folgenden <i>Empfangssignal</i> genannt &ndash; kann sich von $s_{\rm BP}(t)$ sowohl in der Amplitude (Hüllkurve) als auch in der Phase unterscheiden &nbsp; &rArr; &nbsp; untere Grafik, rot.<br>
+
*Das Eingangssignal des Mobilfunkkanals sei eine Cosinusschwingung mit der Amplitude&nbsp; $A = 1$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T}$.&nbsp; Wir bezeichnen diese harmonische Schwingung als das&nbsp;  &bdquo;Sendesignal&rdquo;&nbsp; $s_{\rm BP}(t)$.&nbsp; Dieses Bandpass&ndash;Signal ist in der oberen Grafik rot dargestellt.<br>
  
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*Das Ausgangssignal&nbsp; $r_{\rm BP}(t)$&nbsp; des Mobilfunkkanals &ndash; im Folgenden&nbsp;  &bdquo;Empfangssignal&rdquo;&nbsp; genannt &ndash; kann sich von&nbsp; $s_{\rm BP}(t)$&nbsp; sowohl in der Amplitude&nbsp; (Hüllkurve)&nbsp; als auch in der Phase unterscheiden &nbsp; &rArr; &nbsp; untere Grafik, rot.<br>
  
*Wir betrachten des Weiteren den Mobilfunkkanal stets im [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion#Motivation| äquivalenten Tiefpassbereich.]] Das Sendesignal ist dann $s_{\rm TP}(t) = 1$ und somit reell  &nbsp; &rArr; &nbsp; blaue Gerade.<br>
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*Wir betrachten des Weiteren den Mobilfunkkanal meist im&nbsp; [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion#Motivation| äquivalenten Tiefpassbereich.]]&nbsp; Das&nbsp;  &bdquo;Sendesignal&rdquo;&nbsp; ist dann&nbsp; $s_{\rm TP}(t) = 1$&nbsp; und somit reell  &nbsp; &rArr; &nbsp; blaue Horizontale in der oberen Grafik.<br>
  
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*Das TP&ndash;Ausgangssignal&nbsp; $r_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist im Allgemeinen komplex, wobei die Hüllkurve durch&nbsp; $a(t)$&nbsp; gegeben ist und sich die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; durch Verschiebungen der Nulldurchgänge bemerkbar macht  &nbsp; &rArr; &nbsp; blaue Hüllkurve in der unteren Grafik.<br><br>
  
*Das TP&ndash;Ausgangssignal $r_{\rm TP}(t)$ ist im Allgemeinen komplex, wobei die Hüllkurve durch $a(t)$ gegeben ist und sich die Phase $\phi(t)$ durch Verschiebungen der Nulldurchgänge bemerkbar macht  &nbsp; &rArr; &nbsp; blaue Hüllkurve.<br><br>
 
  
 
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Für das '''physikalische (Bandpass&ndash;)Signal am Ausgang des Mobilfunkkanals''' gelte im Folgenden stets:
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Für das&nbsp; '''physikalische (Bandpass&ndash;)Signal am Ausgang des Mobilfunkkanals'''&nbsp; gelte im Folgenden stets:
  
::<math>r_{\rm BP}(t) = a(t) \cdot \cos[2\pi f_{\rm T} t + \phi(t)]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t) = \vert r_{\rm BP}(t)\vert\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  \phi(t) = {\rm arc}\hspace{0.15cm} r_{\rm BP}(t)\hspace{0.05cm}.</math>}}
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::<math>r_{\rm BP}(t) = a(t) \cdot \cos \big [2\pi f_{\rm T} t + \phi(t)\big ]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t) = \vert r_{\rm BP}(t)\vert\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  \phi(t) = {\rm arc}\hspace{0.15cm} r_{\rm BP}(t)\hspace{0.05cm}.</math>}}
  
  
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==Aufgaben zum Kapitel ==
 
==Aufgaben zum Kapitel ==
 
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[[Zusatzaufgaben:1.1 Einfaches Pfadverlustmodell]]
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[[Aufgaben:1.1Z_Einfaches_Pfadverlustmodell|Aufgabe 1.1Z: Einfaches Pfadverlustmodell]]
  
[[Aufgaben:1.2 Lognormal – Kanalmodell|A1.2 Lognormal – Kanalmodell]]
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[[Aufgaben:1.2 Lognormal – Kanalmodell|Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell]]
  
[[Zusatzaufgaben:1.2 Nochmals Lognormal–Fading]]
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[[Aufgaben:1.2Z_Nochmals_Lognormal–Fading|Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading]]
  
 
==Quellenverzeichnis==
 
==Quellenverzeichnis==

Aktuelle Version vom 12. Februar 2021, 12:11 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL #


Das erste Hauptkapitel beschäftigt sich mit zeitvarianten Übertragungskanälen, eine Eigenschaft, die für die mobile Kommunikation von großer Bedeutung ist.  Die Beschreibung erfolgt durchgehend im äquivalenten Tiefpassbereich.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • die distanzabhängige Dämpfung eines Funksignals und verschiedene Pfadverlustmodelle,
  • der durch das  Lognormal–Fading  modellierbare Einfluss von Abschattung  („Shadowing”),
  • das nichtfrequenzselektive  Rayleigh–Fading   für Kanäle ohne „Line of Sight  (LoS)”,
  • die Berücksichtigung des Dopplereffekts durch das so genannte  Jakes–Spektrum,
  • das nichtfrequenzselektive  Rice–Fading   für Kanäle mit Direktpfad  (Line of Sight).


Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf


Physikalische Beschreibung des Mobilfunkkanals


Beispiel für ein Mobilfunkszenario

Die Grafik zeigt ein typisches Mobilfunkszenario mit fester Basisstation und einem mobilen Teilnehmer, der sich mit der Geschwindigkeit  $v$  auf die Basisstation zu bewegt.

Bei dieser Darstellung erreicht das Funksignal die Mobilstation über einen direkten Pfad.

Die Antenne des mobilen Teilnehmers empfängt aber auch noch weitere Signalanteile, die auf Umwegen zum Empfänger gelangen, zum Beispiel

  • aufgrund von Reflexionen an Häusern,
  • einem Gebirge,
  • einem Flugzeug,
  • der Ionosphäre,
  • dem Erdboden.


Anhand dieses Szenarios lassen sich wichtige Probleme bei der Mobilkommunikation erklären:

  • Pfadverlust  (englisch:  Path Loss):   Dieser erfasst die Dämpfung der elektromagnetischen Welle, die in starkem Maße von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger abhängt.
  • Abschattung  (englisch:  Shadowing, Long Term Fading):   Diese beschreibt eine langsame Veränderung der Empfangsbedingungen aufgrund der sich ändernden Umgebung, zum Beispiel, wenn man an einem Gebäude vorbeifährt oder wenn man ein Waldstück verlässt.
  • Mehrwegeausbreitung  (englisch:  Multipath Propagation):   Gelangt das Signal auf mehreren Wegen mit Laufzeitunterschieden zum Empfänger, so kommt es – je nach Signalfrequenz – zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung.  Für bestimmte Frequenzen ist die Topologie günstig, für andere ungünstig.  Deshalb wird dieser Effekt auch als frequenzselektives Fading  bezeichnet.
  • Zeitvarianz  (englisch:  Time Variation):   Der Effekt entsteht durch die Bewegung des Senders und/oder des Empfängers, da zu jeder Zeit ein anderer Kanal vorliegt.  Die Übertragungsqualität sinkt rapide, wenn der direkte Pfad durch ein Hindernis abgeschattet ist.  Das Empfangssignal setzt sich dann nur aus den auf Umwegen eintreffenden Teilsignalen zusammen, die aufgrund von Streuungen an Bäumen und Sträuchern sowie eventuell Brechungs– und Beugungserscheinungen gegenüber dem direkten Pfad abgeschwächt sind und sich vektoriell zum Gesamtsignal addieren.
  • Dopplereffekt  (englisch:  Doppler Spread):   Je nachdem, ob  (und auch in welchem Winkel)  sich die Mobilstation auf den Sender zu bewegt oder sich von diesem entfernt, kommt es zu (leichten) Frequenzverschiebungen und damit zu statistischen Bindungen innerhalb des empfangenen Signals, die  Impulsinterferenzen  bewirken.

In diesem Kapitel betrachten wir Pfadverlust und Abschattungseffekte genauer.  Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit der Zeitvarianz, auch unter Berücksichtigung des Dopplereffektes.  Das zweite Hauptkapitel beschreibt die Mehrwegeausbreitung, die beim Mobilfunk Echos zur Folge hat.


Freiraumausbreitung


Man spricht von „Freiraumausbreitung”, wenn zwischen Sender und dem im Abstand  $d$  positionierten Empfänger eine Sichtverbindung besteht wie bei der Satellitenkommunikation oder im Weltraum.  Die Radiowellen breiten sich im „leeren Raum” ungehindert kugelförmig um die Sendeantenne aus, werden aber aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit zunehmender Entfernung abgeschwächt.

Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass der Radius  $R$  der Kugel und damit auch die Kugelfläche immer größer werden und bei konstanter Gesamtenergie der Energieanteil pro Flächeneinheit proportional zu  $1/R^2$  immer kleiner wird.

Wir gehen von einer unmodulierten Schwingung der Frequenz  $f_{\rm S}$  bzw. der Wellenlänge  $\lambda= c/f_{\rm S}$  aus, wobei  $c = 3 \cdot 10^8\ \rm m/s$  die Lichtgeschwindigkeit  angibt.  Die Signalleistung sei  $P_{\rm S}$.

Harald Friis  hat 1944 eine Gleichung für die Empfangsleistung  $P_{\rm E}(d)$  im Abstand  $d$  angegeben, die allerdings nur im Vakuum gültig ist:

\[P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} \cdot \lambda^2}{16 \cdot \pi^2 \cdot d^2 \cdot V_{\rm zus}} = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm FR}(d)} \hspace{0.05cm}.\]
  • $G_{\rm S}$  bzw.  $G_{\rm E}$  bezeichnen die Antennengewinne von Sender und Empfänger.
  • $V_{\rm zus} > 1$  fasst alle zusätzlichen, von der Wellenausbreitung unabhängigen Verluste zusammen, z. B. durch die Antennen–Kabelzuführungen.
  • Die  Freiraumdämpfung  $K_{\rm FR}(d)$  hängt von der Distanz  $d$  ab:
\[K_{\rm FR}(d) = K_{\rm FR}(d_0) \cdot (d/d_0)^2 \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} K_{\rm FR}(d_0) = ({4 \pi d_0}/{\lambda} )^2 \hspace{0.05cm}.\]

Meist wird die Freiraumdämpfung logarithmisch mit der Pseudoeinheit „dB” angegeben.  Dann gilt für den Leistungsverlust durch die Freiraumdämpfung („V” steht für „Verlust” in dB):

\[V_{\rm FR}(d) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} K_{\rm FR}(d) = V_{\rm 0} + 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} V_{\rm 0} = V_{\rm FR}(d_0) = 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.2cm} ({4 \pi d_0}/{\lambda}) \hspace{0.05cm}.\]

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:

  • Die Gleichung gilt nur im Fernfeld der Antenne  $(d > d_{\rm F})$.  Hierbei ist  $d_{\rm F} = 2 D^2/\lambda$  die so genannte  Fraunhofer–Distanz.  Für  $D$  ist die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne einzusetzen.
  • Die Gleichung gilt nicht für  $d \to 0$.  Hierfür ergäbe sich der Grenzwert  $K_{\rm FR} \to 0$, und es ergäbe sich unabhängig von  $P_{\rm S}$  stets eine unendliche Empfangsleistung  $P_{\rm E}(d \to 0)$.
  • Die Freiraumdämpfung  $K_{\rm FR}(d)$  nimmt mit zunehmender Entfernung  $d$  quadratisch zu und ebenfalls quadratisch mit zunehmender Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, das heißt, mit kleiner werdender Wellenlänge  $\lambda$.
  • Beispielsweise gilt beim  GSM/E–Netz  $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz$   ⇒   $\lambda \approx 17 \ \rm cm)$:   $K_{\rm FR}(d = 1\ \rm km) = 1.6 \cdot 10^9$.  Beim Empfänger im Abstand von einem Kilometer kommt also nicht mal ein Milliardstel der Sendeleistung an.

In der  Aufgabe 1.1Z  soll die obige Friis–Gleichung numerisch ausgewertet und interpretiert werden.  Oft setzt man die Freiraumdämpfung in Bezug zu einer geeignet zu definierenden Normierungsdistanz  $d_0$   ⇒   $K_{\rm FR}(d/d_0)$, wobei man häufig  $d_0 = 1\ \rm m$  verwendet.

Gebräuchliches Pfadverlustmodell


Im Gegensatz zu Satelliten– und Richtfunk–Übertragungsstrecken sind beim Landmobilfunk neben der Freiraumdämpfung noch weitere störende Effekte zu berücksichtigen, die ebenfalls zu einer Verminderung der Empfangsleistung beitragen, nämlich:

  • Reflexionen:   Durch Überlagerung des Sendesignals mit einer am Erdboden oder an anderen großen glatten Oberflächen reflektierten Signalkomponente können Auslöschungen entstehen, die eine Abnahme der Empfangsleistung bis zur vierten Potenz des Abstandes  $d$  zwischen Sender und Empfänger bewirken.  Mehr hierzu finden Sie in  [Zan05][1]  und  [PA95][2].
  • Beugung:   Hiervon spricht man, wenn das Signal nicht reflektiert, sondern – zum Beispiel an einer Gebäudekante – von seiner Ausbreitungsrichtung abgelenkt wird.  Eine physikalische Erklärung findet man wieder in  [Zan05][1].
  • Streuung:   Ist die Verbindung  Sender – Empfänger  durch mehrere Objekte mit unregelmäßiger Oberfläche  (zum Beispiel Bäume oder Sträucher)  unterbrochen, so trifft das Signal am Empfänger in Form vieler Streusignale mit leicht unterschiedlichen Laufzeiten ein.  Die Größe des Hindernisses bestimmt dabei, ob dieses als reflektierendes oder als streuendes Objekt aufzufassen ist.

Die hier genannten Effekte sind dafür verantwortlich, dass man Mobilfunk auch ohne direkte Sichtverbindung betreiben kann, und damit eine der Grundlagen für den wirtschaftlichen Erfolg der Mobilfunksysteme.  Negativ wirken sich diese Effekte durch eine geringere Empfangsleistung aus, was durch einen größeren Exponenten als  $\gamma = 2$  berücksichtigt werden muss.  Wir sprechen dann nicht mehr von Freiraumdämpfung, sondern allgemein vom  „Pfaddämpfungsfaktor”:

\[K_{\rm P}(d) = K_{\rm P}(d_0) \cdot (d/d_0)^\gamma \hspace{0.05cm}.\]

Die entsprechende dB–Größe nennen wir den  Pfadverlust  $(\rm lg$ ist der Logarithmus zur Basis $10)$:

\[V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d_0) = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda}\hspace{0.05cm}. \]

Aus diesen Gleichungen ist zu ersehen, dass die Freiraumdämpfung  $V_{\rm FR}(d)$  ein Sonderfall von  $V_{\rm P}(d)$  mit  $\gamma = 2$  ist.  In  [Zan05][1] werden Zahlenwerte für den Exponenten  $\gamma$  angegeben, die als Mittelwerte über eine Vielzahl von Messungen bestimmt wurden.  Unter anderem gilt

  • bei freier Sichtverbindung (Satelliten, Richtfunk):   $\gamma \approx 2$,
  • in städtischer Umgebung:   $\gamma = 2.7 \ \text{...} \ 3.5$,
  • in abgeschatteter städtischer Umgebung:   $\gamma = 3.0\ \text{...} \ 5.0$,
  • innerhalb von Gebäuden ohne Sichtverbindung:   $\gamma = 4.0 \ \text{...} \ 6.0$.

Weitere, exaktere Pfadverlustmodelle


Das relativ einfache Pfadverlustmodell entsprechend der letzten Seite ist gut geeignet für Makrozellen, setzt allerdings hohe Antennen der Basisstationen voraus.  Es wurde beispielsweise als Referenz–Szenario bei der Standardisierung von  Long Term Evolution  $\rm (LTE)$  eingesetzt.

Natürlich kann dieses sehr einfache Zweiparameter–Modell  $(V_0, \ \gamma)$  nicht alle Anwendungsfälle mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben.  Vielmehr findet man in der Literatur eine Vielzahl weiterer Modelle für die Leistungsdämpfung, die genauer an spezifische Randbedingungen  (Umgebungen)  angepasst sind und auch unterschiedliche Zellgrößen berücksichtigen.  Bekannt sind zum Beispiel – siehe  [Gol06][3]:

  • das Pfadverlustmodell gemäß  COST 231,
Dual-Slope-Pfadverlustmodell

$\text{Beispiel 1:}$  Das Dual–Slope–Modell wird oft für Simulationen von Mikrozellen im städtischen Bereich eingesetzt.  Es lautet mit den Kenngrößen  $d_0 = 1\ \rm m$  und  $d_{\rm BP}$  $($Breakpoint, beispielsweise  $d_{\rm BP} = 100\ \rm m)$:

\[V_{\rm P}(d) \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} V_{\rm 0} \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \gamma_0 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 10\,{\rm dB} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}{\rm lg} \hspace{0.01cm} \left ( {d}/{d_0} \right ) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}(\gamma_1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}\gamma_0) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}10\,{\rm dB} \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm lg} \hspace{0.01cm} \left (1+ {d}/{d_{\rm BP} } \right )\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt diesen Verlauf für  $V_{\rm 0} = 10 \ {\rm dB}$,  $\gamma_0 = 2$  und  $\gamma_1 = 4$  im Bereich von einem Meter bis zu mehreren Kilometern  (dünner grauer Kurvenzug).

Häufig wird zur Vereinfachung die in der Grafik rot eingezeichnete asymptotische Näherung

\[V_{\rm P}(d) = \left\{ \begin{array}{c} V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\\ V_{\rm BP} + \gamma_1 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_{\rm BP})\hspace{0.05cm}, \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}d < d_{\rm BP}\hspace{0.05cm}, \\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} d \ge d_{\rm BP}\hspace{0.05cm} \\ \end{array}\]

verwendet.  Der Wert  $V_{\rm BP} = 50 \ {\rm dB}$  ergibt sich aus der Gleichung für den ersten Abschnitt an der Grenze  $d = 100\ \rm m$  des Gültigkeitsbereiches.

Hinweis:   In der  Aufgabe 1.1  wird dieses Modell noch eingehend untersucht.


Zusätzlicher Verlust durch Abschattungen (Shadowing)


Der störende Einfluss von Abschattungen wird anhand einer Grafik erläutert, die dem Vorlesungsmanuskript   [Hin08][4]   entnommen ist:

Pfadverlust ohne und mit Berücksichtigung von Abschattung
  • Die bisherigen Pfadverlustmodelle berücksichtigen jeweils nur die distanzabhängige Signaldämpfung gemäß der linken Grafik und lassen topologische Gegebenheiten wie den Einfluss von Abschattungen außer Acht.
  • Im Landmobilfunk führen Abschattungen  (englisch:  Shadowing)  dazu, dass der Signalpegel auch dann variiert, wenn man sich im gleichen Abstand von der Basisstation  (auf einem Kreisbogen)  bewegt.
  • Diesen Sachverhalt zeigt die rechte Grafik, wobei dunklere Bereiche einen größeren Pfadverlust kennzeichnen.  Der Unterschied zwischen linkem und rechtem Bild ist auf „Shadowing” zurückzuführen.


Die Auswirkungen von Abschattungen  (Shadowing)  lassen sich wie folgt zusammenfassen:

  • Bei ruhenden Sender und Empfänger ist die Abschattung deterministisch zu betrachten.  Sie führt dazu, dass der Pfadverlust aufgrund der Abschattung um einen konstanten Wert  $V_{\rm S}$  (in dB) verändert wird:
\[V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ V_{\rm S}\hspace{0.05cm}. \]
  • Bewegt sich der Empfänger  (oder auch der Sender), so ändert sich der Shadowing–Verlust entsprechend den Koordinaten und demzufolge auch mit der Zeit. Das bedeutet:   $V_{\rm S}$   ⇒   $V_{\rm S}(x, y)$   bzw.   $V_{\rm S}$   ⇒   $V_{\rm S}(t)$.
  • Allerdings sind solche Kanaländerungen aufgrund von Abschattungen sehr langsam.  Oft bleiben die Bedingungen über mehrere Sekunden gleich und man spricht hier dann von  „Long Term Fading”  im Gegensatz zu schnellem Fading wie  Rayleigh–Fading  und  Rice–Fading.

Lognormal–Kanalmodell


Lognormal-WDF   ⇒   Shadowing-Verlust

Zur Berücksichtigung des Verlustes  $V_{\rm S}$  durch Shadowing muss man bei der Systemplanung auf statistische Modelle zurückgreifen, die sich aus empirischen Untersuchungen ergeben haben.

Am bekanntesten ist das  Lognormal–Kanalmodell, das für die Zufallsvariable  $V_{\rm S}$  eine  Gaußsche WDF  zugrundelegt:

\[f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) } \hspace{0.05cm}.\]

Der Name „Lognormal” ergibt sich aus der Tatsache, dass die dB–Größe  $V_{\rm S}$, die über den Logarithmus aus dem linearen Leistungsdämpfungsfaktor abgeleitet wird, normalverteilt (und damit gaußisch) ist.

Das Lognormal–Kanalmodell ist durch zwei Parameter bestimmt:

  • Der Mittelwert  $m_{\rm S} = {\rm E}\big [V_{\rm S}\big ]$  gibt den mittleren Shadowing–Verlust an.  Für ländliches Gebiet wird meist mit  $m_{\rm S} = 6 \ \rm dB$  gerechnet, für städtisches Gebiet geht man von  $14 \ \rm dB$ ... $20 \ \rm dB$  aus.
  • Auch die Standardabweichung  (oder Streuung)   $\sigma_{\rm S}$  ist für ländliches Gebiet  $(\approx 6 \ \rm dB)$  und städtische Bedingungen  $($zwischen  $8 \ \rm dB$  und  $12 \ \rm dB)$  unterschiedlich.

Beachten Sie, dass  $V_{\rm S}$  beim Lognormal–Fading auch negative Werte annehmen kann  (rote Hinterlegung in obiger Grafik), was der Vorstellung von Abschattung eigentlich widerspricht.  In der Praxis hat sich dieses Modell allerdings als sehr gut erwiesen.

Den „Gewinn durch Abschattung” könnte man wie folgt interpretieren:

  • In Häuserschluchten kann durch Reflexionen an Gebäuden mehr Energie ankommen, als es nach dem Pfadverlust zu erwarten wäre.
  • Der Pfadverlustexponent  $\gamma$  wird stets fest vorgegeben, zum Beispiel  $\gamma = 3.76$  im städtischen Gebiet.   Aber es gibt Positionen in der Stadt, bei denen  $\gamma$  kleiner ist.
  • Ein solch einfaches Modell kann nicht alle Details exakt abbilden.  Man sollte daher nicht versuchen, alle Modelleigenschaften physikalisch zu interpretieren.

$\text{Fazit:}$  Es ist zweckmäßig, die Pfadverlustanteile in folgender Weise zusammenzufassen:

\[V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ m_{\rm S}\hspace{0.05cm}.\]

Der zweite Anteil  $V_{\rm 2}(t)$  beschreibt nun eine Lognormal–WDF mit Mittelwert Null:

\[f_{V_2}(V_2) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S} } \cdot {\rm e }^{ - V_2 ^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2) }\hspace{0.05cm}.\]

Die Entfernungsabhängigkeit von  $V_1$  spielt keine große Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet.


Zeitbereichsmodell für das Lognormal–Fading


Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading

Die Grafik zeigt ein Zeitbereichsmodell, mit dessen Hilfe der Pfadverlust  $V_{\rm P}$  gemäß obiger Gleichung simulativ nachgebildet werden kann.  Hierzu ist anzumerken:

  • Das Eingangssignal  $s(t)$  besitze die Leistung  $P_{\rm S}$.  In logarithmischer Darstellung wird die Leistung auf  $1\ \rm mW$  bezogen und es wird die Pseudoeinheit  „dBm”  hinzugefügt.
  • Der Pfadverlust  $V_1$  wird durch die Multiplikation mit  $k_1$  erzeugt.  Das Ausgangssignal  $r'(t)$  hat dann eine um  $V_1$  (in dB)  kleinere Leistung:
\[k_1 = 10^{-V_{\rm 1}/20} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' }{\rm 1\,mW}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} + 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} k_1 = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} - V_1 \hspace{0.05cm}.\]
Zusammenhang zwischen Gauß  $(V_2)$  und Lognormal  $(z_2)$
  • Das  (mittelwertfreie)  Lognormal–Fading wird durch Multiplikation mit der Zufallsgröße  $z_2(t)$  nachgebildet. 
  • Die WDF ergibt sich aus der Gaußschen Zufallsgröße  $V_2$  durch eine  nichtlineare Transformation  an der Kennlinie 
$$z_2 = g(V_2) = 10^{-V_{\rm 2}/20}.$$
  • Für  $z_2< 0$  ist diese WDF gleich Null, und für  $z_2\ge 0$  gilt mit der Abkürzung  $C = \rm ln(10)/20 dB$:
$$f_{z_{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} C^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sigma_{\rm S}^2}) } } }{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik verdeutlicht die Transformation.  Man erkennt

  • die Gauß–WDF von  $V_2$  (blau) mit Streuung  $\sigma_{\rm S} = 6 \ \rm dB$,
  • die negativ–logarithmische Kennlinie (grün), sowie
  • die unsymmetrische WDF (rot) der zu multiplizierenden Größe  $z_2(t)$.


Wir verweisen hier auf die  Aufgabe 1.2Z.

Voraussetzungen für die folgenden Kapitel


Die mittlere Leistung aller am Empfänger ankommenden Signalanteile können mit Hilfe von Pfadverlust– und Abschattungsmodell berechnet werden.

  • Das Lognormal–Abschattungsmodell berücksichtigt langsame Änderungen der Reflektoren aufgrund der Topologie, wobei sich die Empfangsbedingungen in Städten nur alle fünf bis zehn Meter ändern und auf dem Land nur alle 30 bis 100 Meter.
  • Im Folgenden wird der Pfadverlust und der Einfluss von Abschattungen nicht weiter betrachtet, sondern auf  $1$  normiert.


Pfade können sich konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die damit zusammenhängenden Änderungen ergeben sich örtlich im Bereich der halben Wellenlänge.  Beim Mobilfunk genügen dabei schon einige wenige Zentimeter, um völlig andere Empfangsbedingungen vorzufinden.  Man spricht von  Fast Fading.  Ein solcher Kanal ist grundsätzlich frequenz– und zeitabhängig.

Für den Rest dieses ersten Hauptkapitel wird die Frequenzabhängigkeit dadurch eliminiert, dass wir von einer einzigen festen Frequenz ausgehen (siehe Grafik).

Signale  $s(t)$  und  $r(t)$  zur Beschreibung des Mobilfunkkanals im Bandpass–Bereich (rot) und im äquivalenten Tiefpass–Bereich (blau); für die Skizze gilt  $ϕ(t)\equiv 0$

Es gelten somit ab sofort folgende Voraussetzungen:

  • Das Eingangssignal des Mobilfunkkanals sei eine Cosinusschwingung mit der Amplitude  $A = 1$  und der Frequenz  $f_{\rm T}$.  Wir bezeichnen diese harmonische Schwingung als das  „Sendesignal”  $s_{\rm BP}(t)$.  Dieses Bandpass–Signal ist in der oberen Grafik rot dargestellt.
  • Das Ausgangssignal  $r_{\rm BP}(t)$  des Mobilfunkkanals – im Folgenden  „Empfangssignal”  genannt – kann sich von  $s_{\rm BP}(t)$  sowohl in der Amplitude  (Hüllkurve)  als auch in der Phase unterscheiden   ⇒   untere Grafik, rot.
  • Wir betrachten des Weiteren den Mobilfunkkanal meist im  äquivalenten Tiefpassbereich.  Das  „Sendesignal”  ist dann  $s_{\rm TP}(t) = 1$  und somit reell   ⇒   blaue Horizontale in der oberen Grafik.
  • Das TP–Ausgangssignal  $r_{\rm TP}(t)$  ist im Allgemeinen komplex, wobei die Hüllkurve durch  $a(t)$  gegeben ist und sich die Phase  $\phi(t)$  durch Verschiebungen der Nulldurchgänge bemerkbar macht   ⇒   blaue Hüllkurve in der unteren Grafik.


$\text{Fazit:}$  Für das  physikalische (Bandpass–)Signal am Ausgang des Mobilfunkkanals  gelte im Folgenden stets:

\[r_{\rm BP}(t) = a(t) \cdot \cos \big [2\pi f_{\rm T} t + \phi(t)\big ]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t) = \vert r_{\rm BP}(t)\vert\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \phi(t) = {\rm arc}\hspace{0.15cm} r_{\rm BP}(t)\hspace{0.05cm}.\]



Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 1.1: Dual-Slope–Verlustmodell

Aufgabe 1.1Z: Einfaches Pfadverlustmodell

Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell

Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading

Quellenverzeichnis

  1. 1,0 1,1 1,2 Zangl, J.: Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC). Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.
  2. Pahlavan, K.; Allen, L.: Wireless Information Networks. New York: John Wiley & Sons, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.
  3. Goldsmith, A.: Wireless Communications. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2006.
  4. Hindelang, T.: Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.