Aufgaben:Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals | + | Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$ wurde im [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Kanals|Theorieteil]] wie folgt angegeben <br>(mit der Zusatz–Einheit „bit”): |
− | : | + | :$$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$ |
− | $$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + | ||
Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung: | Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung: | ||
− | + | * $P_X$ ist die Sendeleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $X$, | |
− | + | * $P_N$ ist die Störleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $N$. | |
− | Werden | + | |
− | $$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$ | + | Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität: |
+ | :$$C_K(P_X,\ P_N) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Hierbei ist berücksichtigt, dass | Hierbei ist berücksichtigt, dass | ||
− | + | * in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt, | |
− | + | * somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung $(P_X/K)$ erhält, | |
− | + | * die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist. | |
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In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben: | In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben: | ||
− | + | * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]] (ASK), | |
− | + | * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]] (BPSK), | |
− | + | * [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation]] (hier: 4-QAM), | |
− | + | *[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]] (hier: 8–PSK für GSM Evolution), | |
− | + | * [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]] (hier: 16-ASK/PSK). | |
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le|Parallele Gaußkanäle]]. | ||
+ | *Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird „log<sub>2</sub>” verwendet. | ||
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+ | $K \ = \ $ { 2 3% } $\text{ (16-ASK/PSK)}$ | ||
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+ | - Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$. | ||
+ | + Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/(K \cdot P_N) \big]$. | ||
+ | - Es gilt $C_K = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$. | ||
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+ | $K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $ { 4.496 3% } $\ \rm bit$ | ||
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+ | {Gibt es bezüglich der Kanalzahl $K$ ein (theoretisches) Optimum? | ||
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+ | - Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 2$. | ||
+ | - Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 4$. | ||
+ | + Nein: Je größer $K$, desto größer ist die Kanalkapazität. | ||
+ | + Der Grenzwert für $K \to \infty$ (in bit) ist $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$ in „bit”. | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Der Parameter $K$ ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung: |
− | '''2 | + | * Für <u>ASK und BPSK</u> ist $\underline{K=1}$. |
− | + | * Für die <u> Konstellationen 3 bis 5</u> gilt dagegen $\underline{K=2}$ (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus). | |
− | '''4. | + | |
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− | + | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | |
+ | *Für jeden der Kanäle $(1 ≤ k ≤ K)$ beträgt die Kanalkapazität $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$. Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor $K$ größer: | ||
+ | :$$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf $K · P_X$ gelten. | ||
+ | *Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft. | ||
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+ | [[Datei:P_ID2902__Inf_A_4_7c.png|right|frame|Kanalkapazität $C_K$ von $K$ parallelen Gaußkanälen für verschiedene $\xi = P_X/P_N$]] | ||
+ | '''(3)''' Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für $K = 1$, $K = 2$ und $K = 4$ und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse $\xi = P_X/P_N$. Für $\xi = P_X/P_N = 15$ (markierte Spalte) ergibt sich: | ||
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+ | * $K=1$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit, | ||
+ | * $K=2$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit, | ||
+ | * $K=4$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit. | ||
+ | <br clear=all> | ||
+ | '''(4)''' Richtig sind die <u>Vorschläge 3 und 4</u>, wie die folgenden Rechnungen zeigen: | ||
+ | *Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss. | ||
+ | * Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung $\xi = P_X/P_N$: | ||
+ | :$$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | * Für große $K$–Werte, also für kleine Werte des Quotienten $\varepsilon =\xi/K$ gilt dann: | ||
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+ | * Für $K → ∞$ ergibt sich der vorgeschlagene Wert: | ||
+ | :$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = | ||
+ | \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | * Für kleinere Werte von $K$ ergibt sich stets ein kleinerer $C$–Wert, da | ||
+ | :$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} | ||
+ | \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$ | ||
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+ | Die letzte Tabellenzeile zeigt: Mit $K = 4$ ist man für große $\xi$–Werte noch weit vom theoretischen Maximum $($für $K → ∞)$ entfernt. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.2 | + | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.2 AWGN & kontinuierlicher Eingang^]] |
Aktuelle Version vom 4. Oktober 2021, 13:16 Uhr
Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$ wurde im Theorieteil wie folgt angegeben
(mit der Zusatz–Einheit „bit”):
- $$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:
- $P_X$ ist die Sendeleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $X$,
- $P_N$ ist die Störleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $N$.
Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:
- $$C_K(P_X,\ P_N) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist berücksichtigt, dass
- in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
- somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung $(P_X/K)$ erhält,
- die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.
In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:
- Amplitude Shift Keying (ASK),
- Binary Phase Shift Keying (BPSK),
- Quadratur-Amplitudenmodulation (hier: 4-QAM),
- Phase Shift Keying (hier: 8–PSK für GSM Evolution),
- Kombinierte ASK/PSK-Modulation (hier: 16-ASK/PSK).
Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Parallele Gaußkanäle.
- Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird „log2” verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
- Für ASK und BPSK ist $\underline{K=1}$.
- Für die Konstellationen 3 bis 5 gilt dagegen $\underline{K=2}$ (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Für jeden der Kanäle $(1 ≤ k ≤ K)$ beträgt die Kanalkapazität $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$. Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor $K$ größer:
- $$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
- Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf $K · P_X$ gelten.
- Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.
(3) Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für $K = 1$, $K = 2$ und $K = 4$ und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse $\xi = P_X/P_N$. Für $\xi = P_X/P_N = 15$ (markierte Spalte) ergibt sich:
- $K=1$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
- $K=2$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
- $K=4$: $C_K = 1/2 · \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.
(4) Richtig sind die Vorschläge 3 und 4, wie die folgenden Rechnungen zeigen:
- Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
- Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung $\xi = P_X/P_N$:
- $$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
- Für große $K$–Werte, also für kleine Werte des Quotienten $\varepsilon =\xi/K$ gilt dann:
- $${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - \text{...} \right ]$$
- $$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - \text{...} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Für $K → ∞$ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
- $$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$
- Für kleinere Werte von $K$ ergibt sich stets ein kleinerer $C$–Wert, da
- $$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$
Die letzte Tabellenzeile zeigt: Mit $K = 4$ ist man für große $\xi$–Werte noch weit vom theoretischen Maximum $($für $K → ∞)$ entfernt.