Aufgaben:Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2905__Inf_A_4_7_neu.png|right|frame|Signalraumpunkte bei digitaler Modulation]]  
Die Kanalkapazität des AWGN&ndash;Kanals &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>Y</i> = <i>X</i> + <i>N</i> wurde im [http://www.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Kanals '''Theorieteil'''] wie folgt angegeben (mit Zusatz&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;)
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Die Kanalkapazität des AWGN&ndash;Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$&nbsp; wurde im&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Kanals|Theorieteil]]&nbsp; wie folgt angegeben <br>(mit der Zusatz&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;):
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:$$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 
 
Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:
 
Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:
:* <i>P<sub>X</sb></i> ist die Sendeleistung &nbsp;&#8658;&nbsp; Varianz der Zufallsgröße <i>X</i>,
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* $P_X$&nbsp; ist die Sendeleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße&nbsp; $X$,
:*<i>P<sub>N</sb></i> ist die Störleistung &nbsp;&#8658;&nbsp; Varianz der Zufallsgröße <i>N</i>.
+
* $P_N$&nbsp; ist die Störleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße&nbsp; $N$.
  
Werden <i>K</i> identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:
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$$C_K(P_X)  = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$
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Werden&nbsp; $K$&nbsp; identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:
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:$$C_K(P_X,\ P_N)  = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass
:* in jedem Kanal die gleiche Störleistung <i>P<sub>N</sub></i> vorliegt,
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* in jedem Kanal die gleiche Störleistung&nbsp; $P_N$&nbsp; vorliegt,
:* somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
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* somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung&nbsp; $(P_X/K)$&nbsp; erhält,
:* die Gesamtleistung genau wie im Fall <i>K</i> = 1 gleich <i>P<sub>X</sub></i> ist.
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* die Gesamtleistung genau wie im Fall&nbsp; $K = 1$&nbsp; gleich&nbsp; $P_X$ ist.
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In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:
 
In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:
:* [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying '''Amplitude Shift Keying'''] (ASK)
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* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; (ASK),
:*[http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying '''Binary Phase Shift Keying'''] (BPSK)
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* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK),
:*[http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation '''Quadratur-Amplitudenmodulation'''] (hier: 4-QAM)
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* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
:*[http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying '''Phase Shift Keying'''] (hier: 8&ndash;PSK &nbsp;&#8658;&nbsp; DVB&ndash;2)
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*[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]]&nbsp; (hier: &nbsp; 8&ndash;PSK für GSM Evolution),
:* [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen '''Kombinierte ASK/PSK-Modulation'''] (hier: 16-ASK/PSK)
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* [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 16-ASK/PSK).
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Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher&nbsp; $K$&ndash;Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le|Parallele Gaußkanäle]].
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*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird  &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
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Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher <i>K</i>&ndash;Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.
 
  
<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe gehört zu [http://www.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang '''Kapitel 4.2.''']
 
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
+
 
|type="[]"}
+
{Welche Parameter&nbsp; $K$&nbsp; gelten für die folgenden Modulationsverfahren?
- Falsch
+
|type="{}"}
+ Richtig
+
$K \ = \ $ { 1 3% } $\text{ (bei ASK)}$
 +
$K \ = \ $ { 1 3% } $\text{ (bei BPSK)}$
 +
$K \ = \ $ { 2 3% } $\text{ (bei 4-QAM)}$
 +
$K \ = \ $ { 2 3% } $\text{ (bei 8-PSK)}$
 +
$K \ = \ $ { 2 3% } $\text{ (16-ASK/PSK)}$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $K$&nbsp; gleich gute Kanäle,&nbsp; jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
 +
|type="()"}
 +
- Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot  \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
 +
+ Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/(K \cdot P_N) \big]$.
 +
- Es gilt &nbsp; $C_K = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
 +
 
 +
 
  
  
{Input-Box Frage
+
{Welche Kapazitäten ergeben sich für &nbsp;$P_X/P_N = 15$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$K = 1\text{:} \ \  C_K \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm bit$
 +
$K = 2\text{:} \ \  C_K \ = \ $ { 3.087 3% } $\ \rm bit$
 +
$K = 4\text{:} \ \  C_K \ = \ $ { 4.496 3% } $\ \rm bit$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{Gibt es bezüglich der Kanalzahl&nbsp; $K$&nbsp; ein (theoretisches) Optimum?
 +
|type="[]"}
 +
- Ja: &nbsp; Die größte Kanalkapazität ergibt sich für &nbsp;$K = 2$.
 +
- Ja: &nbsp; Die größte Kanalkapazität ergibt sich für &nbsp;$K = 4$.
 +
+ Nein: &nbsp;  Je größer&nbsp; $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
 +
+ Der Grenzwert für&nbsp; $K \to \infty$&nbsp; (in bit)&nbsp; ist &nbsp;$C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$&nbsp; in &bdquo;bit&rdquo;.
 +
 
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
+
'''(1)'''&nbsp; Der Parameter&nbsp; $K$&nbsp; ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:
'''2.'''
+
* Für&nbsp; <u>ASK und BPSK</u> &nbsp;ist&nbsp; $\underline{K=1}$.
'''3.'''
+
* Für die&nbsp; <u> Konstellationen 3 bis 5</u>&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $\underline{K=2}$&nbsp; (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
'''4.'''
+
 
'''5.'''
+
 
'''6.'''
+
 
'''7.'''
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 +
*Für jeden der Kanäle&nbsp; $(1 &#8804; k &#8804; K)$&nbsp; beträgt die Kanalkapazität&nbsp; $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$.&nbsp; Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor&nbsp; $K$&nbsp; größer:
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:$$C_K(P_X)  = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv.&nbsp; Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf&nbsp; $K &middot; P_X$&nbsp;  gelten.
 +
*Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.
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 +
 
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[[Datei:P_ID2902__Inf_A_4_7c.png|right|frame|Kanalkapazität&nbsp; $C_K$&nbsp; von&nbsp; $K$&nbsp; parallelen Gaußkanälen für verschiedene&nbsp; $\xi = P_X/P_N$]]
 +
'''(3)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für&nbsp; $K = 1$,&nbsp; $K = 2$&nbsp; und&nbsp; $K = 4$&nbsp; und verschiedene Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnisse&nbsp; $\xi = P_X/P_N$. Für&nbsp; $\xi = P_X/P_N = 15$&nbsp; (markierte Spalte) ergibt sich:
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 +
*  $K=1$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
 +
* $K=2$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
 +
* $K=4$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.
 +
<br clear=all>
 +
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Vorschläge 3 und 4</u>, wie die folgenden Rechnungen  zeigen:
 +
*Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.  
 +
* Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung &nbsp; $\xi = P_X/P_N$:
 +
:$$C_{\rm nat}(\xi, K)  ={K}/{2} \cdot  {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 +
* Für große&nbsp; $K$&ndash;Werte, also für kleine Werte des Quotienten&nbsp; $\varepsilon =\xi/K$&nbsp; gilt dann:
 +
:$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )=
 +
\varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ...
 +
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
C_{\rm nat}(\xi, K)  = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} +
 +
\frac{\xi^3}{3K^3}  - \text{...} \right ]$$
 +
:$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
C_{\rm bit}(\xi, K)  = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} +
 +
\frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} +
 +
\frac{\xi^4}{5K^4}  - \text{...}  \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 +
* Für&nbsp; $K &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
 +
:$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty)  = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} =
 +
\frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$
 +
* Für kleinere Werte von&nbsp; $K$&nbsp; ergibt sich stets ein kleinerer&nbsp; $C$&ndash;Wert, da
 +
:$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} 
 +
\frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}  {\rm usw.}$$
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Die letzte Tabellenzeile zeigt: &nbsp; Mit&nbsp;  $K = 4$&nbsp; ist man für große&nbsp; $\xi$&ndash;Werte noch weit vom theoretischen Maximum&nbsp; $($für $K &#8594; &#8734;)$&nbsp; entfernt.
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{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.2 AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.2 AWGN & kontinuierlicher Eingang^]]

Aktuelle Version vom 4. Oktober 2021, 13:16 Uhr

Signalraumpunkte bei digitaler Modulation

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$  wurde im  Theorieteil  wie folgt angegeben
(mit der Zusatz–Einheit „bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

  • $P_X$  ist die Sendeleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße  $X$,
  • $P_N$  ist die Störleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße  $N$.


Werden  $K$  identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X,\ P_N) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

  • in jedem Kanal die gleiche Störleistung  $P_N$  vorliegt,
  • somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung  $(P_X/K)$  erhält,
  • die Gesamtleistung genau wie im Fall  $K = 1$  gleich  $P_X$ ist.


In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:


Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher  $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Parameter  $K$  gelten für die folgenden Modulationsverfahren?

$K \ = \ $

$\text{ (bei ASK)}$
$K \ = \ $

$\text{ (bei BPSK)}$
$K \ = \ $

$\text{ (bei 4-QAM)}$
$K \ = \ $

$\text{ (bei 8-PSK)}$
$K \ = \ $

$\text{ (16-ASK/PSK)}$

2

Welche Kanalkapazität  $C_K$  ergibt sich für  $K$  gleich gute Kanäle,  jeweils mit der Störleistung  $P_N$  und der Sendeleistung  $P_X(K)$?

Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/(K \cdot P_N) \big]$.
Es gilt   $C_K = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.

3

Welche Kapazitäten ergeben sich für  $P_X/P_N = 15$?

$K = 1\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$
$K = 2\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$
$K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$

4

Gibt es bezüglich der Kanalzahl  $K$  ein (theoretisches) Optimum?

Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für  $K = 2$.
Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für  $K = 4$.
Nein:   Je größer  $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
Der Grenzwert für  $K \to \infty$  (in bit)  ist  $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$  in „bit”.


Musterlösung

(1)  Der Parameter  $K$  ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

  • Für  ASK und BPSK  ist  $\underline{K=1}$.
  • Für die  Konstellationen 3 bis 5  gilt dagegen  $\underline{K=2}$  (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Für jeden der Kanäle  $(1 ≤ k ≤ K)$  beträgt die Kanalkapazität  $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$.  Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor  $K$  größer:
$$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv.  Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf  $K · P_X$  gelten.
  • Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.


Kanalkapazität  $C_K$  von  $K$  parallelen Gaußkanälen für verschiedene  $\xi = P_X/P_N$

(3)  Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für  $K = 1$,  $K = 2$  und  $K = 4$  und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse  $\xi = P_X/P_N$. Für  $\xi = P_X/P_N = 15$  (markierte Spalte) ergibt sich:

  • $K=1$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
  • $K=2$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
  • $K=4$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.


(4)  Richtig sind die Vorschläge 3 und 4, wie die folgenden Rechnungen zeigen:

  • Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
  • Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung   $\xi = P_X/P_N$:
$$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
  • Für große  $K$–Werte, also für kleine Werte des Quotienten  $\varepsilon =\xi/K$  gilt dann:
$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - \text{...} \right ]$$
$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - \text{...} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Für  $K → ∞$  ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Für kleinere Werte von  $K$  ergibt sich stets ein kleinerer  $C$–Wert, da
$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$

Die letzte Tabellenzeile zeigt:   Mit  $K = 4$  ist man für große  $\xi$–Werte noch weit vom theoretischen Maximum  $($für $K → ∞)$  entfernt.