Aufgaben:Aufgabe 4.11: C-Programm „akf1”: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID391__Sto_A_4_11.png|right|C-Programm 1 zur AKF-Berechnung]]
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[[Datei:P_ID391__Sto_A_4_11.png|right|frame|C-Programm  $1$  zur AKF–Berechnung]]
Sie sehen nebenstehend das C-Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit dem Index $k = 0$, ... , $l$. Hierzu ist Folgendes zu bemerken:
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Sie sehen nebenstehend das C–Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte  $\varphi_x(k)$  mit dem Index  $k = 0$, ... , $l$.  Hierzu ist Folgendes zu bemerken:
  
* Der an das Programm übergebene Long-Wert sei $l = 10$. Die AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \  ]$ an das aufrufende Programm zurückgegeben. In den  Zeilen 7 und  8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
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* Der an das Programm übergebene Long–Wert sei  $l = 10$.  Die AKF-Werte  $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$  werden mit dem Float-Feld  $\rm AKF\big[ \  \big]$  an das aufrufende Programm zurückgegeben.  In den  Zeilen 7 und  8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
  
* Die zu analysierenden Zufallsgrößen $x_\nu$ werden mit der Float-Funktion $x( \  )$ erzeugt (siehe Zeile 4). Diese Funktion wird insgesamt $N + l + 1 = 10011$ mal aufgerufen (Zeile 9 und 18).
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* Die zu analysierenden Zufallsgrößen  $x_\nu$  werden mit der Float-Funktion  $x( \  )$  erzeugt (siehe Zeile 4).  Diese Funktion wird insgesamt  $N + l + 1 = 10011$  mal aufgerufen  (Zeile 9 und 18).
  
* Im Gegensatz zu dem im [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Theoriteil]] angegebenen Algorithmus, der im Programm „akf2” von [[Aufgaben:4.11Z_C-Programm_„akf2”|Zusatzaufgabe 4.11]] direkt umgesetzt ist, benötigt man hier ein Hilfsfeld $H[ \  ]$ mit nur $l + 1 = 11$ Speicherelementen.
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* Im Gegensatz zu dem im  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Theorieteil]]  angegebenen Algorithmus,  der im Programm  „akf2”  von  [[Aufgaben:4.11Z_C-Programm_„akf2”|Aufgabe 4.11Z]]  direkt umgesetzt ist,  benötigt man hier ein Hilfsfeld  ${\rm H}\big[ \  \big]$  mit nur  $l + 1 = 11$  Speicherelementen.
  
* Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus (Zeile 11 bis 21) stehen in den 11 Speicherzellen die Zufallswerte $x_1$, ... , $x_{11}$.
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* Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus  (Zeile 11 bis 21)  stehen in den elf Speicherzellen von  ${\rm H}\big[ \  \big]$  die Zufallswerte  $x_1$, ... ,  $x_{11}$.  Die äußere Schleife mit der Laufvariablen  $z$  (rot markiert) wird  $N$-mal durchlaufen.
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*In der inneren Schleife  (weiß markiert)  werden mit dem Laufindex  $k = 0$, ... ,  $l$  alle Speicherzellen des Feldes  ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm} k \hspace{0.03cm} \big]$  um den Beitrag  $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$  erhöht.
  
* Die äußere Schleife mit der Laufvariablen $z$ (rot markiert) wird $N$-mal durchlaufen. In der inneren Schleife (weiß markiert) werden mit dem Laufindex $k = 0$, ... , $l$ alle Speicherzellen des Feldes ${\rm AKF}[ k ]$ um den Betrag $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$ erhöht.
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* In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF–Werte durch die Anzahl  $N$  der analysierten Daten  dividiert.  
  
* In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF-Werte durch die Anzahl $N$ dividiert.
 
  
  
''Hinweise:''  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Numerische AKF-Ermittlung]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Numerische_AKF-Ermittlung|Numerische AKF-Ermittlung]].
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{Welche Elemente $i$ und $j$  des Hilfsfeldes $H[ \  ]$ werden beim ersten Durchlauf $(z=0)$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte $x_\nu$ stehen in diesen Speicherzellen?
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{Welche Elemente&nbsp; $i$&nbsp; und&nbsp; $j$&nbsp; des Hilfsfeldes&nbsp; ${\rm H}\big[ \  \big]$&nbsp; werden&nbsp; <u>beim ersten Durchlauf</u> &nbsp; $(z=0)$&nbsp; zur Berechnung des AKF&ndash;Wertes&nbsp; $\varphi(k=6)$&nbsp; verwendet? <br>Welche Zufallswerte&nbsp; $x_\nu$&nbsp; stehen in diesen Speicherzellen?
 
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{Welche Speicherzelle  $H[ i ]$ wird nach dem ersten Schleifendurchgang $(z=0)$ mit einer neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x_\nu$ belegt? Welcher Index $\nu$ wird dabei eingetragen?
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{Welche Speicherzelle&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$&nbsp; wird&nbsp; <u>nach dem ersten Schleifendurchgang</u> &nbsp; $(z=0)$&nbsp; mit einer neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x_\nu$&nbsp; belegt? <br>Welcher Index&nbsp; $\nu$&nbsp; wird dabei eingetragen?
 
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{Welche Speicherelemente $H[ i ]$ und $H[ j ]$ werden beim Schleifendurchlauf $z=83$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?
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{Welche Speicherelemente&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$&nbsp; und&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} j \hspace{0.03cm} \big]$&nbsp; werden beim Schleifendurchlauf&nbsp; $z=83$&nbsp; zur Berechnung des AKF-Wertes&nbsp; $\varphi(k=6)$&nbsp; verwendet? <br>Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?
 
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$i \ = \ $  { 6 }
$j \ = $ { 11 }
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Aus <i>z</i> = 0 und <i>k</i> = 6 ergibt sich gem&auml;&szlig; dem Programm: <u><i>i</i> = 0</u> und <u><i>j</i> = 6</u>. Die entsprechenden Speicherinhalte sind <i>H</i>[0] = <i>x</i><sub>1</sub> und <i>H</i>[6] = <i>x</i><sub>7</sub>.
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[[Datei:P_ID417__Sto_A_4_11_b.png|right|frame|Zur numerischen AKF-Berechnung]]
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'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $z= 0$&nbsp; und&nbsp; $k=6$&nbsp; ergibt sich gem&auml;&szlig; dem Programm: &nbsp; $\underline{i= 0}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{j= 6}$.
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*Die entsprechenden Speicherinhalte sind&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big] = x_1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big] = x_7$.
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'''(2)'''&nbsp; In das Feld&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; wird nun die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x_{12}$&nbsp; eingetragen:
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:$$\text{Speicherzelle  }\underline{i= 0},\hspace{1cm}\text{Folgenindex  }\underline{\nu= 12}.$$
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:<b>2.</b>&nbsp; &nbsp;In das Feld <i>H</i>[0] wird die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i><sub>12</sub> eingetragen: <u><i>i</i> = 0, Index <i>&nu;</i> = 12</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Das nachfolgende Bild zeigt die Belegung des Hilfsfeldes <i>H</i>[0] ... <i>H</i>[10] mit den Zufallswerten <i>x<sub>&nu;</sub></i>. Jeweils gr&uuml;n hinterlegt ist die Speicherzelle <i>H</i>[<i>i</i>]. In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife (Zeile 18) die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e eingetragen.
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'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Belegung des Hilfsfeldes mit den Zufallswerten&nbsp; $x_\nu$.  
[[Datei:P_ID417__Sto_A_4_11_b.png|center|]]
 
  
:F&uuml;r <i>z</i> = 83 und <i>k</i> = 6 ergibt sich <u><i>i</i> = 83 mod 11 = 6</u> und <u><i>j</i> = (<i>i</i> + <i>k</i>) mod 11 = 1</u>. In diesen Speicherzellen liegen die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>x</i><sub>84</sub> und <i>x</i><sub>90</sub>. Am Ende des Schleifendurchlaufs <i>z</i> = 83 wird in <i>H</i>[6] der Wert <i>x</i><sub>84</sub> durch <i>x</i><sub>95</sub> ersetzt.
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*Jeweils gr&uuml;n hinterlegt ist die Speicherzelle&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm}\big]$.&nbsp; In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife&nbsp; (Zeile 18)&nbsp; die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e eingetragen.
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*F&uuml;r&nbsp; $z= 83$&nbsp; und&nbsp; $K=6$&nbsp; ergibt sich  
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:$$\underline{i= 83 \hspace{-0.2cm}\mod \hspace{-0.15cm} \ 11 = 6},\hspace{1cm} \underline{j= (i+k)\hspace{-0.2cm}\mod \hspace{-0.15cm} \ 11 = 1}.$$
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*Schleifendurchlauf&nbsp; $z= 83$: &nbsp; In der Speicherzelle&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; steht die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x_{84}$&nbsp; und in der Speicherzelle&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 1 \hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x_{90}$.  
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*Am Ende des Schleifendurchlaufs&nbsp; $z= 83$&nbsp; wird in&nbsp; ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$&nbsp; der Inhalt&nbsp; $x_{84}$&nbsp; durch&nbsp; $x_{95}$&nbsp; ersetzt.
 
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Aktuelle Version vom 21. März 2022, 16:56 Uhr

C-Programm  $1$  zur AKF–Berechnung

Sie sehen nebenstehend das C–Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte  $\varphi_x(k)$  mit dem Index  $k = 0$, ... , $l$.  Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

  • Der an das Programm übergebene Long–Wert sei  $l = 10$.  Die AKF-Werte  $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$  werden mit dem Float-Feld  $\rm AKF\big[ \ \big]$  an das aufrufende Programm zurückgegeben.  In den Zeilen 7 und 8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
  • Die zu analysierenden Zufallsgrößen  $x_\nu$  werden mit der Float-Funktion  $x( \ )$  erzeugt (siehe Zeile 4).  Diese Funktion wird insgesamt  $N + l + 1 = 10011$  mal aufgerufen  (Zeile 9 und 18).
  • Im Gegensatz zu dem im  Theorieteil  angegebenen Algorithmus,  der im Programm  „akf2”  von  Aufgabe 4.11Z  direkt umgesetzt ist,  benötigt man hier ein Hilfsfeld  ${\rm H}\big[ \ \big]$  mit nur  $l + 1 = 11$  Speicherelementen.
  • Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus  (Zeile 11 bis 21)  stehen in den elf Speicherzellen von  ${\rm H}\big[ \ \big]$  die Zufallswerte  $x_1$, ... ,  $x_{11}$.  Die äußere Schleife mit der Laufvariablen  $z$  (rot markiert) wird  $N$-mal durchlaufen.
  • In der inneren Schleife  (weiß markiert)  werden mit dem Laufindex  $k = 0$, ... ,  $l$  alle Speicherzellen des Feldes  ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm} k \hspace{0.03cm} \big]$  um den Beitrag  $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$  erhöht.
  • In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF–Werte durch die Anzahl  $N$  der analysierten Daten dividiert.




Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Elemente  $i$  und  $j$  des Hilfsfeldes  ${\rm H}\big[ \ \big]$  werden  beim ersten Durchlauf   $(z=0)$  zur Berechnung des AKF–Wertes  $\varphi(k=6)$  verwendet?
Welche Zufallswerte  $x_\nu$  stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = \ $

$j \ = \ $

2

Welche Speicherzelle  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$  wird  nach dem ersten Schleifendurchgang   $(z=0)$  mit einer neuen Zufallsgröße  $x_\nu$  belegt?
Welcher Index  $\nu$  wird dabei eingetragen?

$i \ = \ $

$\nu\ =\ $

3

Welche Speicherelemente  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$  und  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} j \hspace{0.03cm} \big]$  werden beim Schleifendurchlauf  $z=83$  zur Berechnung des AKF-Wertes  $\varphi(k=6)$  verwendet?
Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = \ $

$j \ = \ $


Musterlösung

Zur numerischen AKF-Berechnung


(1)  Mit  $z= 0$  und  $k=6$  ergibt sich gemäß dem Programm:   $\underline{i= 0}$  und  $\underline{j= 6}$.

  • Die entsprechenden Speicherinhalte sind  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big] = x_1$  und  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big] = x_7$.


(2)  In das Feld  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big]$  wird nun die Zufallsgröße  $x_{12}$  eingetragen:

$$\text{Speicherzelle }\underline{i= 0},\hspace{1cm}\text{Folgenindex }\underline{\nu= 12}.$$


(3)  Die Grafik zeigt die Belegung des Hilfsfeldes mit den Zufallswerten  $x_\nu$.

  • Jeweils grün hinterlegt ist die Speicherzelle  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm}\big]$.  In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife  (Zeile 18)  die neue Zufallsgröße eingetragen.
  • Für  $z= 83$  und  $K=6$  ergibt sich
$$\underline{i= 83 \hspace{-0.2cm}\mod \hspace{-0.15cm} \ 11 = 6},\hspace{1cm} \underline{j= (i+k)\hspace{-0.2cm}\mod \hspace{-0.15cm} \ 11 = 1}.$$
  • Schleifendurchlauf  $z= 83$:   In der Speicherzelle  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$  steht die Zufallsgröße  $x_{84}$  und in der Speicherzelle  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 1 \hspace{0.03cm}\big]$  die Zufallsgröße  $x_{90}$.
  • Am Ende des Schleifendurchlaufs  $z= 83$  wird in  ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$  der Inhalt  $x_{84}$  durch  $x_{95}$  ersetzt.