Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben: | Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben: | ||
$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$ | :$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$ | ||
Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen. | Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen. | ||
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{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ betragsmäßig kleiner als $2$? | {Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ betragsmäßig kleiner als $2$? | ||
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+ Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz. | + Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz. | ||
+ Die Tschebyscheff | + Die Tschebyscheff–Ungleichung macht hier keinen Sinn. | ||
+ Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt. | + Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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'''(1)''' Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist. | |||
*Daraus folgt (nach Integration über die WDF): | |||
:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$ | :$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$ | ||
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:$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$ | :$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$ | ||
*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu | |||
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'''(2)''' Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$. | |||
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*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß: | |||
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„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße | '''(3)''' <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu: | ||
*Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich: | |||
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$ | |||
*Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. | |||
*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke. | |||
*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. | |||
*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße nicht dieser Beschränkung. Beispiel: Der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen. | |||
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Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:
- $$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
- Insbesondere wird auf die Seite "Cauchyverteilung" Bezug genommen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.
- Daraus folgt (nach Integration über die WDF):
- $$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
- Insbesondere sind
- $$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
- $$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
- Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
- $${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
(2) Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
- Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
- Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
- $${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$
(3) Alle Lösungsvorschläge treffen zu:
- Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
- Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.
- Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
- „Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
- Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße nicht dieser Beschränkung. Beispiel: Der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen.
