Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche

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Zu den Kreisringflächen

Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:

• Der Radius  $r$  und die Fläche  $A$  lassen sich als voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
• Es wird vorausgesetzt,  dass der Radius auf den Bereich  $6 \le r \le 8$  beschränkt ist.

In der oberen Skizze ist der Bereich,  in dem solche Kreise  $($alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung$)$  liegen können, gelb markiert.  Weiterhin kann davon ausgegangen werden,  dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:

$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

Ab der Teilaufgabe  (5)  werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius  $r$  und der Breite  $b$  betrachtet  $($untere Skizze$)$:

• Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit  $R$  bezeichnet.
• Die möglichen Mittenradien  $r$  seien auch hier gleichverteilt zwischen  $6$  und  $8$.
• Die Kreisringbreite beträgt  $b = 0.1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Exponentialverteilte Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Transformation von Zufallsgrößen.

Fragebogen

1 Geben Sie die Transformationskennlinie  $A = g(r)$  analytisch an.  Wie groß ist der Minimalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{min} \ = \ $

2 Wie groß ist der Maximalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{max} \ = \ $

3 Welcher Wert  $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$  ergibt sich für die „mittlere” Kreisfläche?

$m_{ A} \ = \ $

4 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße  $A$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche  $A> 150$  ist?

${\rm Pr}(A > 150) \ = \ $ $\ \%$

5 Welche WDF besitzt die Zufallsgröße  $R$  $($Fläche der Kreisringe gemäß der unteren Skizze$)$?  Wie groß ist deren Minimalwert?  Es gelte  $b = 0.1$.

$R_\text{min} \ = \ $

6 Es gelte weiter  $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgröße  $R$?

$R_\text{max} \ = \ $

7 Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße  $R$  für  $b = 0.1$?

${\rm E}\big[R\big] \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Gleichung der Kreisfläche ist gleichzeitig die Transformationskennlinie:   $A = \pi \cdot r^2$.

• Daraus ergibt sich mit  $r = 6$  für den Minimalwert:  

$$A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}.$$

(2)  Entsprechend gilt mit  $r = 8$  für den Maximalwert:  

$$A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}.$$

(3)  Am einfachsten löst man diese Aufgabe wie folgt:

$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$

• Mit  $g(r) = \pi \cdot r^2$  und  $f_r(r) = 1/2$  im Bereich von  $6$ ... $8$  erhält man:

$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$

(4)  Die WDF der transformierten Zufallsgröße  $A$  lautet:

$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$

• Im Bereich zwischen  $A_\text{min} {= 113.09}$  und  $A_\text{max} {= 201.06}$  gilt dann:

$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$

• Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man durch Integration:

$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$

• Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert  $4$  und die untere Grenze  $3.455$.  Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=54.5\%}.$$

(5)  Für die Kreisringfläche  $R$  gilt bei gegebenem Radius  $r$:

$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$

• Zwischen  $R$  und  $r$  besteht also ein linearer Zusammenhang.
• Das heißt:  $R$  ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabhängig von der Breite  $b$,  solange  $b \ll r$  ist.
• Für den Minimalwert gilt:

$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

(6)  Entsprechend ist der Maximalwert:

$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$

(7)  Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen  $R$  und  $r$  führt der mittlere Radius  $r = 7$  auch zur mittleren Kreisringfläche:

$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$