Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr

Summe $S$ zweier
Ternärsignale $X$ und $Y$

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
Bei der Quelle $Y$ ist der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition.
Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit zusammengefasst.

Fragebogen

${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $

$ I \ = \ $

$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $

	Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
	Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wenn JA: Wie ändern sie sich?

Musterlösung

(1) Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:

$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$

(2) $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.

Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen

(3) Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.

Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
Man erhält dann:

$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$

$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$

$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$

(4) Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen}}
-[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|Summe zweier Ternärsignale]]
+[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier <br>Ternärsignale&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$]]
-Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
+Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
+*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal&nbsp; $S = X + Y$.
+*Bei der Signalquelle&nbsp; $X$&nbsp; treten die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
+*Bei der Quelle&nbsp; $Y$&nbsp; ist der Signalwert&nbsp; $0$&nbsp; doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte&nbsp; $-1$&nbsp; bzw.&nbsp; $+1$.
-*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
-Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
-*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+*Lösen Sie die Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; nach der klassischen Definition.
-*Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
+*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals&nbsp; $Y$.
-*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
+*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo&nbsp; [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]&nbsp; zusammengefasst.
-:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
+{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von&nbsp; $Y$?&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
-$Pr(Y=0) \ = $ { 0.5 3% }
+${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
+{Wieviele unterschiedliche Signalwerte&nbsp; $(I)$&nbsp; kann das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; annehmen?&nbsp; Welche sind dies?
 |type="{}"}
-$ I \ = $ { 5 3% }
+$ I \ = \ $ { 5 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ermittelten Werte auf?&nbsp; Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert&nbsp; $S_{\rm max}$?
 |type="{}"}
-$ Pr(S = S_{\rm max} ) \ = $ { 0.0833 3% }
+$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
-{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
+{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
 |type="[]"}
 + Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
-- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
+- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wenn JA:&nbsp; Wie ändern sie sich?
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:'''1.'''Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $ \pm 1$&nbsp; gleich sind und&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$&nbsp; gilt, erhält man:
-$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$
-$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$
-$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $
+:$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
-:'''2.''' $S$ kann insgesamt <u>5 Werte</u> annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
-:'''3.'''[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|frame|]]Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
-Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
-$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
+'''(2)'''&nbsp; $S$&nbsp; kann insgesamt&nbsp; $\underline {I =5}$&nbsp; Werte annehmen, nämlich&nbsp; $0$,&nbsp; $\pm 1$&nbsp; und&nbsp; $\pm 2$.
-$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
+[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
+'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $Y$&nbsp; nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
-$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
+*Teilt man&nbsp; $Y$&nbsp; jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis&nbsp; $Y = 0$&nbsp; zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
+*Man erhält dann:
-$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$
+:$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
+:$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
+:$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$
-$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal&nbsp; $D$&nbsp; und das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
-:'''4.''' Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist  ⇒  <u>Lösungsvorschlag 1.</u>
+*Dies war zu erwarten, da&nbsp; ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$&nbsp; vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}
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 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen
 ^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_1.1Z:_Sum_of_Two_Ternary_Signals]]