Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
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[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
  
Wir gehen von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit der Amplitude $A_N$ = 0.8 V und der Frequenz $f_N$ = 10 kHz aus. Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger, abgekürzt ZSB–AM.
+
Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit  
Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega T \dot t)$ und dem Gleichanteil $q_0$ = 1 V:
+
*der Amplitude  $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$   und  
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*der Frequenz  $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.  
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Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
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Das modulierte Signal  $s(t)$  lautet mit dem (normierten) Träger  $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$  und dem Gleichanteil  $q_0 = 1 \ \text{V}$:
 
   
 
   
$$\begin{align*} s(t) & =  \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}
+
:$$\begin{align*} s(t) & =  \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}
 
  V}  + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot  t)\right)
 
  V}  + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot  t)\right)
 
  \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot  t) = \\ & =  q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) +
 
  \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot  t) = \\ & =  q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) +
\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t)
+
{A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t)
  +  \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$
+
  +  {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$
  
 
Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
 
Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_T = 50$ kHz. Man erkennt den Träger (rot), das obere Seitenband (blau) und das untere Seitenband (grün).
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In der Teilaufgabe 5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
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Die Skizze zeigt das Spektrum  $S_+(f)$  des dazugehörigen analytischen Signals für  $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt  
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*den Träger (rot),  
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*das obere Seitenband (blau) und  
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*das untere Seitenband (grün).
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In der Teilaufgabe  '''(5)'''  ist nach dem Betrag von  $s_+(t)$  gefragt.  Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
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*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]   überprüfen.
:$$ X_{\rm +}(f)= \left[1 + {\rm sign}(f)\right] \cdot  X(f).$$
+
 
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.2.
 
Sie können Ihre Lösung mit dem folgenden Interaktionsmodul überprüfen:
 
Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie lautet das analytische Signal $s_+(t)$. Wie groß ist dieses zur Zeit $t$ = 0?
+
{Wie lautet das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$.&nbsp; Wie groß ist dieses zur Zeit&nbsp; $t = 0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Re}[s_+(t=0)] =$ { 1.8 } V
+
$\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $ { 1.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=0)] =$ { 0 } V
+
$\text{Im}[s_+(t=0)]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $s_+(t)$ ergibt sich aus $s(t)$, wenn man cos(...) durch ej(...) ersetzt.
+
+ $s_+(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $s(t)$, wenn man&nbsp; $\cos(\text{...})$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$&nbsp; ersetzt.
- Ist $s(t)$ eine gerade Zeitfunktion, so ist $s_+(t)$ rein reell.
+
- Ist&nbsp; $s(t)$&nbsp; eine gerade Zeitfunktion, so ist&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; rein reell.
- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von $s_+(t)$.
+
- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von&nbsp; $s_+(t)$.
  
  
{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit $t$ = 5 μs?
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{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Re}[s_+(t=5 \mu \text{s})] =$ { 0 } V
+
$\text{Re}[s_+(t=5 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=5 \mu \text{s})] =$ { 1.761 3% } V
+
$\text{Im}[s_+(t=5 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.761 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
{Welchen Wert besitzt $s_+(t)$ zum Zeitpunkt $t$ = 20 μs?
+
{Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 20 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Re}[s_+(t=20 \mu \text{s})] =$ { 1.237 3% } V
+
$\text{Re}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.236 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=20 \mu \text{s})] =$ { 0 } V
+
$\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
  
{Was ist die kleinstmögliche Zeigerlänge? Zu welchem Zeitpunkt $t_{\text{min}}$ tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
+
{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge?&nbsp; Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_{\text{min}}$&nbsp; tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$|s_+(t)|_{\text{min}} =$ { 0.2 3% } V
+
$|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $ { 0.2 3% } &nbsp;$\text{V}$
$t_{\text{min}} =$ { 50 } μs
+
$t_{\text{min}}\ = \ $ { 50 3% } &nbsp;${\rm &micro;} \text{s}$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des Verschiebungssatzes gilt:
+
'''(1)'''&nbsp; Durch Fourierrücktransformation von&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; gilt:
 
   
 
   
$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
+
:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
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40}\hspace{0.05cm} t }.$$
 
40}\hspace{0.05cm} t }.$$
  
Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. In obiger Gleichung bedeutet z. B. $\omega_{60} = 2\pi (f_T + f_N) = 2\pi \cdot 60$ kHz. Zum Zeitpunkt $t$ = 0 zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik), und man erhält den rein reellen Wert $s_+(t = 0) =$ 1.8 V.
+
Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.  
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*In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise&nbsp;  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.  
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse&nbsp; (siehe linke Grafik).
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*Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert&nbsp; $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
  
[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|350px|right|Analytische Signale (ML zu Aufgabe A4.4)]]
+
[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|right|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
'''2.'''  Die erste Aussage ist richtig und ergibt sich aus der Hilbert-Transformation. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht: $s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t)$ = 0. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
+
<br clear=all>
Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
+
'''(2)'''&nbsp; Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]].&nbsp; Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:  
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*$s_+(t)$&nbsp; ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls&nbsp; $s(t) = 0$.  
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*Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
 +
*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung.  
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*Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; ist rein reell.
  
'''3.'''  Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T =$ 20 μs. Nach $t$ = 5 μs hat sich der Träger somit um 90° gedreht (siehe mittlere Grafik). Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+
 
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'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt&nbsp; $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$.  
 +
*Nach&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp;  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um&nbsp; $90^{\circ}$&nbsp; gedreht.  
 +
*Der blaue Zeiger (OSB) dreht um&nbsp; $20\%$&nbsp; schneller, der grüne (USB) um&nbsp; $20\%$&nbsp; langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
 
   
 
   
$$\begin{align*}s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s}) & =  {\rm 1
+
:$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s}) =  {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi
 
\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot
 
\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot
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}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40
 
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40
\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =\\ & =  {\rm 1
+
\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =  {\rm 1
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ
 
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ
 
}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot
 
j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot
{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.\end{align*}$$
+
{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
  
Somit sind die in 5 μs zurückgelegten Winkel von OSB und USB 108° bzw. 72°. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t =$ 5 μs) rein imaginär und man erhält:
+
*Somit sind die in&nbsp; $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; zurückgelegten Winkel von OSB und USB&nbsp; $108^{\circ}$&nbsp; bzw.&nbsp; $72^{\circ}$.  
 +
*Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist&nbsp; $s_+(t=5 \ {\rm &micro;}  \text{s})$&nbsp;  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
 
   
 
   
$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
+
:$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
 
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 
V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 
V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
  
'''4.'''  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0$ = 20 μs, hat der blaue Zeiger bereits 72° mehr zurückgelegt; der grüne Zeiger 72° weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder rein reell und ergibt (siehe rechte Grafik):
+
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger.&nbsp; Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
 
   
 
   
$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
+
:$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
 
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.237 \hspace{0.05cm} V}}.$$
+
V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 +
 
  
'''5.''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um 180° versetzt sind. Daraus folgt:
+
'''(5)'''&nbsp; Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um&nbsp; $180^{\circ}$&nbsp; versetzt sind. Daraus folgt:
 
   
 
   
$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
+
:$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
 
0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 
0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
  
Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von ±72° auf. Daraus folgt: $t_{\text{min}}$ = 2.5 $\cdot T_0$ = 50 μs.
+
Innerhalb einer Periode&nbsp; $T_0$&nbsp; des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von&nbsp; $\pm72^{\circ}$&nbsp; auf.&nbsp; Daraus folgt:  
 +
:$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
__NOEDITSECTION__
 
__NOEDITSECTION__
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

Aktuelle Version vom 7. Mai 2021, 14:38 Uhr

Spektrum des analytischen Signals

Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit

  • der Amplitude  $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$  und
  • der Frequenz  $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.


Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger, abgekürzt ZSB–AM.

Das modulierte Signal  $s(t)$  lautet mit dem (normierten) Träger  $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$  und dem Gleichanteil  $q_0 = 1 \ \text{V}$:

$$\begin{align*} s(t) & = \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot t)\right) \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) = \\ & = q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) + {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t) + {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$

Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).

Die Skizze zeigt das Spektrum  $S_+(f)$  des dazugehörigen analytischen Signals für  $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt

  • den Träger (rot),
  • das obere Seitenband (blau) und
  • das untere Seitenband (grün).


In der Teilaufgabe  (5)  ist nach dem Betrag von  $s_+(t)$  gefragt.  Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet das analytische Signal  $s_+(t)$.  Wie groß ist dieses zur Zeit  $t = 0$?

$\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=0)]\ = \ $

 $\text{V}$

2

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$s_+(t)$  ergibt sich aus  $s(t)$, wenn man  $\cos(\text{...})$  durch  ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$  ersetzt.
Ist  $s(t)$  eine gerade Zeitfunktion, so ist  $s_+(t)$  rein reell.
Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von  $s_+(t)$.

3

Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit  $t = 5 \ {\rm µ}\text{s}$?

$\text{Re}[s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

 $\text{V}$

4

Welchen Wert besitzt  $s_+(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 20 \ {\rm µ}\text{s}$?

$\text{Re}[s_+(t=20 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $

 $\text{V}$

5

Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge?  Zu welchem Zeitpunkt  $t_{\text{min}}$  tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?

$|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $

 $\text{V}$
$t_{\text{min}}\ = \ $

 ${\rm µ} \text{s}$


Musterlösung

(1)  Durch Fourierrücktransformation von  $S_+(f)$  unter Berücksichtigung des  Verschiebungssatzes  gilt:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 40}\hspace{0.05cm} t }.$$

Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.

  • In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse  (siehe linke Grafik).
  • Man erhält den rein reellen Wert  $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
Drei verschiedene analytische Signale


(2)  Die erste Aussage ist richtig und ergibt sich aus der  Hilbert-Transformation.  Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:

  • $s_+(t)$  ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls  $s(t) = 0$.
  • Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
  • Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung.
  • Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und  $s_+(t)$  ist rein reell.


(3)  Die Periodendauer des Trägersignals beträgt  $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.

  • Nach  $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um  $90^{\circ}$  gedreht.
  • Der blaue Zeiger (OSB) dreht um  $20\%$  schneller, der grüne (USB) um  $20\%$  langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
  • Somit sind die in  $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$  zurückgelegten Winkel von OSB und USB  $108^{\circ}$  bzw.  $72^{\circ}$.
  • Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist  $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$  rein imaginär und man erhält:
$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$


(4)  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger.  Die Summe der drei Zeiger ist wieder rein reell und ergibt entsprechend der rechten Grafik:

$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$


(5)  Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um  $180^{\circ}$  versetzt sind. Daraus folgt:

$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$

Innerhalb einer Periode  $T_0$  des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von  $\pm72^{\circ}$  auf.  Daraus folgt:

$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ {\rm µ} \text{s}}.$$