Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID518__Sig_Z_3_6_neu.png|right|Komplexe Exponentialfunktion]]
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[[Datei:P_ID518__Sig_Z_3_6_neu.png|right|frame|Darstellung im Spektralbereich: <br>komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung]]
In Zusammenhang mit Bandpass-Systemen (Kapitel 4) wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion $\text{X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal $\text{x(t)}$ zur Folge hat.
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In Zusammenhang mit den&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]]&nbsp; wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet.&nbsp; In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; zur Folge hat.
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In der unteren Skizze ist&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil&nbsp; ${G(f)}$&nbsp; sowie einen ungeraden Anteil&nbsp; ${U(f)}$&nbsp; aufgespaltet.
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In der unteren Skizze ist $\text{X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil $\text{G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil $\text{U(f)}$ aufgespaltet.
 
  
Verwenden Sie für die Aufgabe die Parameterwerte
 
  
:* $A = 1 \text{V}$,
 
  
:* $f_0 = 125 \text{kHz}.$
 
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (Dauer Teil 1: 5:57 – Teil 2: 5:55)]] an Beispielen verdeutlicht.
 
*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]].
 
*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A_u = 1\,\text{ V}$ und $T = 1\,\text{ ms}$.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
  
<br><br><b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf den Zuordnungssatz und den Verschiebungssatz im [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation Kapitel 3.3]. Alle im Kapitel 3.3 dargelegten Gesetzmäßigkeiten - unter Anderem auch der Verschiebungssatz und der Integrationssatz - werden in einem Lernvideo an Beispielen verdeutlicht:
 
  
Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
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*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
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*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]]&nbsp; und des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
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*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter&nbsp; $A = 1\, \text{V}$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$
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<quiz display=simple>
 
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{Wie lautet die zu $\text{G(f)}$ passende Zeitfunktion $\text{g(t)}$? Wie groß ist $g(t = 1 \mu s)$?
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{Wie lautet die zu&nbsp; $G(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $g(t)$?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 
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$\text{Re}[g(t = 1 \mu s)]$ = { 0.707 3% } $\text{V}$
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$\text{Re}\big[g(t = 1 \, &micro; \text {s})\big] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[g(t = 1 \mu s)]$ = { 0 3% } $\text{V}$
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{Wie lautet die zu $\text{U(f)}$ passende Zeitfunktion $\text{u(t)}$? Wie groß ist $u(t = 1 \mu s)$?
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{Wie lautet die zu&nbsp; $U(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 
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$\text{Im}\big[u(t = 1 \, &micro; \text {s})\big]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals $\text{x(t)}$ zutreffend?
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{Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; zutreffend?
 
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+ Das Signal lautet $\text{x(t)} = A \cdot exp(j2\pi f_0 t)$.
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+ Das Signal lautet&nbsp; $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$.
- In der komplexen Ebene dreht $\text{x(t)}$ im Uhrzeigersinn.
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- In der komplexen Ebene dreht&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Uhrzeigersinn.
+ $\text{x(t)}$ dreht stattdessen entgegen dem Uhrzeigersinn.
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+ In der komplexen Ebene dreht&nbsp; $x(t)$&nbsp; entgegen dem Uhrzeigersinn.
 
- Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.
 
- Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.
  
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===Musterlösung===
 
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'''1.'''  $\text{G(f)}$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \text{$\mu$s}$:
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'''(1)'''&nbsp; $G(f)$&nbsp; ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$:
 
:$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Bei $t = 1 \text{$\mu$s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot cos(\pi /4)$, also <u>$0.707 \text{V}$ (Realteil) und $0$ (Imaginärteil)</u>.
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Bei&nbsp; $t = 1 \, &micro;\text {s}$&nbsp; ist der Signalwert gleich&nbsp; $A \cdot \cos(\pi /4)$:
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*Der Realteil ist&nbsp; $\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
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*der Imaginärteil ist&nbsp; $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.}$
  
'''2.''' Ausgehend von der Fourierkorrespondenz
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:$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, A$$
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'''(2)'''&nbsp; Ausgehend von der Fourierkorrespondenz
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:$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$
 
erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
 
erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
:$$U( f ) = \frac{A}{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - \frac{A}{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, u( t ) = \frac{A}{2}\left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$
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:$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} } \right).$$
Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
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*Nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Der <u>Realteil dieses Signals ist stets $0$. Der Imaginärteil hat zur Zeit $t = 1 \text{$\mu$s}$ den Wert $0.707 \text{V}$</u>.
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:*Der <u>Realteil dieses Signals ist stets Null</u>.  
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:*Bei&nbsp; $t = 1 \, &micro;\text {s}$&nbsp; gilt für den Imaginärteil:&nbsp; $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
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'''3.'''  Wegen $\text{X(f)} = \text{G(f)} + \text{U(f)}$ gilt auch:
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'''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $X(f) = G(f) + U(f)$&nbsp; gilt auch:
 
:$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 
:$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:
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Dieses Ergebnis kann mit dem&nbsp; Satz von Euler&nbsp;  wie folgt zusammengefasst werden:
:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$
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:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} .$$
Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn. Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \text{$\mu$s}$. Richtig sind also die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>.
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Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>:
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*Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.  
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*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$.  
 
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Aktuelle Version vom 27. April 2021, 14:56 Uhr

Darstellung im Spektralbereich:
komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung

In Zusammenhang mit den  Bandpass-Systemen  wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet.  In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion  ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal  ${x(t)}$  zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist  ${X(f)}$  in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil  ${G(f)}$  sowie einen ungeraden Anteil  ${U(f)}$  aufgespaltet.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die zu  $G(f)$  passende Zeitfunktion  $g(t)$?  Wie groß ist  $g(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big] \ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$

2

Wie lautet die zu  $U(f)$  passende Zeitfunktion  $u(t)$?  Wie groß ist  $u(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals  $x(t)$  zutreffend?

Das Signal lautet  $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$.
In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  im Uhrzeigersinn.
In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  entgegen dem Uhrzeigersinn.
Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.


Musterlösung

(1)  $G(f)$  ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer  $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$:

$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Bei  $t = 1 \, µ\text {s}$  ist der Signalwert gleich  $A \cdot \cos(\pi /4)$:

  • Der Realteil ist  $\text{Re}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
  • der Imaginärteil ist  $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.}$


(2)  Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} } \right).$$
$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
  • Der Realteil dieses Signals ist stets Null.
  • Bei  $t = 1 \, µ\text {s}$  gilt für den Imaginärteil:  $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.


(3)  Wegen  $X(f) = G(f) + U(f)$  gilt auch:

$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Dieses Ergebnis kann mit dem  Satz von Euler  wie folgt zusammengefasst werden:

$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} .$$

Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3:

  • Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer  $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$.