Aufgaben:Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten das Signal $x(t)$, das durch die beiden Parameter $T_0$ und $T_1$ festgelegt ist, wobei stets $T_1 \leq T_0$ gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten | + | Wir betrachten das Signal $x(t)$, das durch die beiden Parameter $T_0$ und $T_1$ festgelegt ist, wobei stets $T_1 \leq T_0$ gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten |
− | $$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$ | + | :$$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$ |
dieses Signals erhält man nach mathematischen Umformungen: | dieses Signals erhält man nach mathematischen Umformungen: | ||
− | $$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot \ | + | :$$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot \big(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\big)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$ |
− | *Der in den Teilaufgaben (1) und (3) behandelte Parametersatz (mit $T_1 = T_0/2$ | + | *Der in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''' behandelte Parametersatz $($mit $T_1 = T_0/2)$ ist als das Signal $x(t)$ dargestellt. |
− | *Für $T_1 = T_0$ ( | + | *Für $T_1 = T_0$ ⇒ Teilaufgabe '''(2)''' ergibt sich die Funktion $y(t)$. |
− | *In der Teilaufgabe (4) wird das Signal $z(t)$ betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten: | + | *In der Teilaufgabe '''(4)''' wird das Signal $z(t)$ betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten: |
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+ | A_n=\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle-2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\; \it n \rm ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n,} \end{array}\right. $$ | ||
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− | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D_0$ und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für $T_1 = T_0/2$, also für das Signal $x(t)$? | + | {Berechnen Sie den Koeffizienten $D_0$ und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für $T_1 = T_0/2$, also für das Signal $x(t)$? |
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− | + | $D_0^{(x)}\ = \ $ { 0.25 3% } | |
− | {Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n$ für $n \neq 0$. Wie lauten die Koeffizienten $A_n$ und $B_n$, insbesondere für $n = 1$? | + | {Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n^{(y)}$ für $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten $A_n^{(y)}$ und $B_n^{(y)}$, insbesondere für $n = 1$? |
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− | $B_1$ | + | $B_1^{(y)}\ = \ $ { 0.318 3% } |
− | {Berechnen Sie nun für das Signal $x(t)$ mit $T_1 = T_0/2$ die Koeffizienten $A_n$ und $B_n$ für $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich | + | {Berechnen Sie nun für das Signal $x(t)$ mit $T_1 = T_0/2$ die Koeffizienten $A_n^{(x)}$ und $B_n^{(x)}$ für $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich für $A_1^{(x)}$ und $B_1^{(x)}$? |
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− | {Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich x(t), y(t) und z(t) zu? | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich $x(t)$, $y(t)$ und $z(t)$ zu? |
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− | - Es gilt $x(t) = y(t) + z(t)$. | + | - Es gilt $x(t) = y(t) + z(t)$. |
− | + Es gilt $x(t) = y(t) | + | + Es gilt $x(t) = y(t) - z(t)$. |
− | - Die Cosinuskoeffizienten $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind identisch. | + | - Die Cosinuskoeffizienten $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind identisch. |
− | + Die | + | + Die Cosinuskoeffizienten $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind betragsgleich. |
− | + Die Sinuskoeffizienten $B_n$ von $y(t)$ und $z(t)$ sind identisch. | + | + Die Sinuskoeffizienten $B_n$ von $y(t)$ und $z(t)$ sind identisch. |
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− | '''1 | + | '''(1)''' Mit dem Eulerschen Satz ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_n$ wie folgt darstellbar: |
− | $${\rm Re} [D_n] =\frac{T_0/T_1} | + | :$${\rm Re} [D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi nT_1/T_0)),$$ |
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− | Mit der für kleine $\alpha$ -Werte gültigen Näherung $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$ erhält man für den Imaginärteil: | + | *Mit der für kleine $\alpha$-Werte gültigen Näherung $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$ erhält man für den Imaginärteil: |
− | $${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}=0.$$ | + | :$${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}=0.$$ |
− | Für den Realteil erhält man mit $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$: | + | *Für den Realteil erhält man mit $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$: |
− | $${\rm Re}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\frac{(2\pi nT_1/T_0)^2}{2}=\frac{T_1/T_0}{2}.$$ | + | :$${\rm Re}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\frac{(2\pi nT_1/T_0)^2}{2}=\frac{T_1/T_0}{2}.$$ |
− | *Für $T_1 = T_0/2$ folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient $D_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$. | + | *Für $T_1 = T_0/2$ folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient $D_0^{(x)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$. |
− | *Mit $T_1 = T_0$ ergibt sich $D_0 = 0.5$. | + | *Mit $T_1 = T_0$ ergibt sich $D_0^{(y)} = 0.5$. |
− | *Ein Vergleich mit den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse. | + | *Ein Vergleich mit den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse. |
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− | $${\rm Re}[D_n] =\frac{1}{(2\pi n)^2}(1-\cos(2\pi n))=0.$$ | + | |
+ | '''(2)''' Es wird nun $n \neq 0$ vorausgesetzt. Mit $T_1 = T_0$ erhält man für den Realteil wegen $\text{cos}(2\pi n) = 1$: | ||
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+ | :$${\rm Re}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi n))=0.$$ | ||
− | Der Imagnärteil lautet: | + | *Der Imagnärteil lautet: |
− | $${\rm Im}[D_n] =\frac{1}{(2\pi n)^2}(\sin(2\pi n))-\frac{1}{2\pi n}.$$ | + | :$${\rm Im}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(\sin(2\pi n))-\frac{1}{2\pi n}.$$ |
− | Wegen $\text{sin}(2\pi n) = 0$ folgt daraus | + | *Wegen $\text{sin}(2\pi n) = 0$ folgt daraus ${\rm Im}[D_n] =-{1}/({2\pi n}).$ Somit ist |
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− | + | *Der Koeffizientenvergleich liefert $A_n^{(y)} = 0$ und $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$. Insbesondere sind $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$ und $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$. | |
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+ | *Wie zu erwarten war, gilt stets $B_{-n}^{(y)} = -B_n^{(y)}$. | ||
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+ | '''(3)''' Aus der in der Teilaufgabe '''(1)''' berechneten allgemeinen Gleichung folgt mit $T_1/T_0 = 1/2$: | ||
− | $$D_n=\frac{-\rm j}{2\pi n} | + | :$$D_n^{(x)}=\frac{2}{(2\pi n)^2}(1-\cos(\pi n))+{\rm j}\cdot \left[\frac{2\sin(\pi n)}{(2\pi n)^2}-\frac{1}{(2\pi n)}\right].$$ |
− | + | *Daraus erhält man die Cosinuskoeffizienten | |
− | + | :$$A_n^{(x)}={2}\cdot{\rm Re}[D_n] =\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\;\it n.} \end{array}\right. $$ | |
− | + | *Die Sinuskoeffizienten lauten: | |
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+ | :$$B_n^{(x)}=-2\cdot{\rm Im}[D_n] =\frac{1}{\pi n}.$$ | ||
− | + | *Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von $n$ die Funktion $\text{sin}(n\pi ) = 0$ ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten: | |
− | + | :$$A_1^{(x)} = 2/\pi^{2} \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.203},$$ | |
− | Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von n die Funktion $\text{sin}(n\pi ) = 0$ ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten $A_1 = 2/\ | + | :$$B_1 = 1/\pi \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.318}.$$ |
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− | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 5</u>: |
+ | *Das Signal $x(t)$ ist gleich der Differenz zwischen $y(t)$ und $z(t)$. Da $z(t)$ eine gerade und $y(t)$ eine ungerade Funktion ist, werden die Cosinuskoeffizienten $A_n$ allein durch die Koeffizienten des Signals $z(t)$ bestimmt, allerdings mit negativen Vorzeichen. | ||
+ | *Die Sinuskoeffizienten $B_n$ stimmen vollständig mit denen von $y(t)$ überein. | ||
+ | *Der Gleichsignalanteil von $x(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Gleichanteile von $y(t)$ und $z(t)$: | ||
+ | :$$A_0 = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | ||
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] |
Aktuelle Version vom 16. April 2021, 10:22 Uhr
Wir betrachten das Signal $x(t)$, das durch die beiden Parameter $T_0$ und $T_1$ festgelegt ist, wobei stets $T_1 \leq T_0$ gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten
- $$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$
dieses Signals erhält man nach mathematischen Umformungen:
- $$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot \big(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\big)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$
- Der in den Teilaufgaben (1) und (3) behandelte Parametersatz $($mit $T_1 = T_0/2)$ ist als das Signal $x(t)$ dargestellt.
- Für $T_1 = T_0$ ⇒ Teilaufgabe (2) ergibt sich die Funktion $y(t)$.
- In der Teilaufgabe (4) wird das Signal $z(t)$ betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten:
- $$A_0=1/4,\hspace{1cm} A_n=\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle-2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\; \it n \rm ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n,} \end{array}\right. $$
- $$B_n=0\; \;\; \rm{ f\ddot{u}r\; alle\; \it n.}$$
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Komplexe Fourierreihe.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit dem Eulerschen Satz ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_n$ wie folgt darstellbar:
- $${\rm Re} [D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi nT_1/T_0)),$$
- $${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2} \cdot \sin(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}.$$
- Mit der für kleine $\alpha$-Werte gültigen Näherung $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$ erhält man für den Imaginärteil:
- $${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}=0.$$
- Für den Realteil erhält man mit $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$:
- $${\rm Re}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\frac{(2\pi nT_1/T_0)^2}{2}=\frac{T_1/T_0}{2}.$$
- Für $T_1 = T_0/2$ folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient $D_0^{(x)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$.
- Mit $T_1 = T_0$ ergibt sich $D_0^{(y)} = 0.5$.
- Ein Vergleich mit den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse.
(2) Es wird nun $n \neq 0$ vorausgesetzt. Mit $T_1 = T_0$ erhält man für den Realteil wegen $\text{cos}(2\pi n) = 1$:
- $${\rm Re}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi n))=0.$$
- Der Imagnärteil lautet:
- $${\rm Im}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(\sin(2\pi n))-\frac{1}{2\pi n}.$$
- Wegen $\text{sin}(2\pi n) = 0$ folgt daraus ${\rm Im}[D_n] =-{1}/({2\pi n}).$ Somit ist
- $$D_n^{(y)}=\frac{-\rm j}{2\pi n}={1}/{2} \cdot (A_n- {\rm j} \cdot B_n).$$
- Der Koeffizientenvergleich liefert $A_n^{(y)} = 0$ und $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$. Insbesondere sind $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$ und $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$.
- Wie zu erwarten war, gilt stets $B_{-n}^{(y)} = -B_n^{(y)}$.
(3) Aus der in der Teilaufgabe (1) berechneten allgemeinen Gleichung folgt mit $T_1/T_0 = 1/2$:
- $$D_n^{(x)}=\frac{2}{(2\pi n)^2}(1-\cos(\pi n))+{\rm j}\cdot \left[\frac{2\sin(\pi n)}{(2\pi n)^2}-\frac{1}{(2\pi n)}\right].$$
- Daraus erhält man die Cosinuskoeffizienten
- $$A_n^{(x)}={2}\cdot{\rm Re}[D_n] =\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\;\it n.} \end{array}\right. $$
- Die Sinuskoeffizienten lauten:
- $$B_n^{(x)}=-2\cdot{\rm Im}[D_n] =\frac{1}{\pi n}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von $n$ die Funktion $\text{sin}(n\pi ) = 0$ ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten:
- $$A_1^{(x)} = 2/\pi^{2} \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.203},$$
- $$B_1 = 1/\pi \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.318}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 4 und 5:
- Das Signal $x(t)$ ist gleich der Differenz zwischen $y(t)$ und $z(t)$. Da $z(t)$ eine gerade und $y(t)$ eine ungerade Funktion ist, werden die Cosinuskoeffizienten $A_n$ allein durch die Koeffizienten des Signals $z(t)$ bestimmt, allerdings mit negativen Vorzeichen.
- Die Sinuskoeffizienten $B_n$ stimmen vollständig mit denen von $y(t)$ überein.
- Der Gleichsignalanteil von $x(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Gleichanteile von $y(t)$ und $z(t)$:
- $$A_0 = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$