Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Nichtlinearitäten: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr

Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus.

Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal

$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$

Eine andere Nichtlinearität liefert das Signal

$$z(t)=x^2(t).$$

Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält:

$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$

(2) In der Hälfte der Zeit ist ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1\, \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \,\text{V}$ ⇒ $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$.

(3) Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von $0$ bis $T_0/2$.

Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:

$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID322__Sig_Z_2_2.png|right|Gleichanteil bei Nichtlinearitäten]]
+[[Datei:P_ID322__Sig_Z_2_2.png|right|frame|Gleichanteil nach Nichtlinearitäten]]
-Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal ${x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal
+Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; gemäß der oberen Abbildung aus.
+*Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal
 :$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$
-Eine zweite Nichtlinearität liefert das Signal
+*Eine andere Nichtlinearität liefert das Signal
 :$$z(t)=x^2(t).$$
-Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet.
+Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit&nbsp; $x_0$,&nbsp; $y_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $z_0$&nbsp; bezeichnet.
+''Hinweis:''
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]].
-<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich ebenfalls auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals Kapitel 2.2].
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $x_0$ des Signals $\text{x(t)}$.
+{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil&nbsp; $x_0$&nbsp; des Signals&nbsp; ${x(t)}$.
 |type="{}"}
-$x_0$ = { 1 3% } $\text{V}$
+$x_0\ = \ $  { 1 3% } &nbsp; $\text{V}$
-{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $y_0$ des Signals $\text{y(t)}$.
+{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil&nbsp; $y_0$&nbsp; des Signals&nbsp; ${y(t)}$.
 |type="{}"}
-$y_0$ = { 0.75 3% } $\text{V}$
+$y_0\ = \ $ { 0.75 3% } &nbsp; $\text{V}$
-{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $z_0$ des Signals $\text{z(t)}$.
+{Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil&nbsp; $z_0$&nbsp; des Signals&nbsp; ${z(t)}$.
 |type="{}"}
-$z_0$ = { 1.333 3% } $\text{V}^2$
+$z_0\ = \ $ { 1.333 3% }&nbsp;  $\text{V}^2$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals $\text{x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \text{ms}$, und man erhält:
+'''(1)'''&nbsp;  Der Gleichsignalanteil&nbsp; $x_0$&nbsp; ist der Mittelwert des Signals&nbsp; ${x(t)}$.&nbsp; Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1 \, \text{ms}$,&nbsp; und man erhält:
-:$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\rm V}.$$
+:$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$
+'''(2)'''&nbsp;  In der Hälfte der Zeit ist&nbsp; ${y(t)} = 1\, \text{V}$,&nbsp; in der anderen Hälfte liegt es zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\, \text{V}$&nbsp; mit dem Mittelwert bei&nbsp; $0.5 \,\text{V}$&nbsp; &rArr; &nbsp;  $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$.
-'''2.'''  In der Hälfte der Zeit ist $\text{y(t)} = 1 \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1 \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \text{V}$. Daraus folgt $y_0 \underline{= 0.75 \text{V}}$.
-'''3.'''Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich von $0$ bis $T_0/2$. Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:
+'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_0/2$.
-:$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2
+* Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:
-\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$
+:$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2\hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$
 {{ML-Fuß}}
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 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_2.2Z:_Non-Linearities]]