Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID802__Sig_Z_1_3.png|right|Zahlen in der komplexen Ebene]]
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Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:
 
Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:
  
: $$z_1 = 4 + 3{\rm j},$$
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: $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
 
: $$ z_2 = -2 ,$$
 
: $$ z_2 = -2 ,$$
: $$z_3 = 6{\rm j} .$$
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: $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$
 
Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:
 
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: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
 
: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
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: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
 
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: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$
 
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
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*Die Thematik wird auch im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]]  behandelt.
*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
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*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich&nbsp; $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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{Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.
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{Geben Sie&nbsp; $z_1$&nbsp; nach Betrag und Phase an.
 
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{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl&nbsp; $z_3$?
 
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{Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$).
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{Berechnen Sie&nbsp; $z_7 = z_3/z_1$&nbsp; nach Betrag und Phase&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $\pm 180^{\circ})$.
 
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
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'''(1)'''&nbsp; Der Betrag kann nach dem Satz von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras]&nbsp; berechnet werden:
 
:$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
 
:$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
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*Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
 
:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
 
:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
'''2.''' Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
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'''(2)'''&nbsp; Die Multiplikation von&nbsp; $z_1$&nbsp; mit deren Konjugiert-Komplexen&nbsp; $z_1^{\star}$&nbsp; ergibt die rein reelle Größe&nbsp; $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:
 
:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
 
:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
 
y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
 
y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
:$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25$$
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:$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
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\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
'''3.''' Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
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'''(3)'''&nbsp; Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
 
:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 
:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 
:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
 
:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
'''4.''' Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_2| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
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'''(4)'''&nbsp; Schreibt man&nbsp; $z_2$&nbsp; nach Betrag und Phase &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_2| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
 
:$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
 
:$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
 
:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
 
:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
 
216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
 
216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
'''5.''' Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
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'''(5)'''&nbsp; Die Phase ist&nbsp; $\phi_3 = 90^{\circ}$&nbsp; (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
 
:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
 
:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
 
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
 
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
 
  \circ}}.$$
 
  \circ}}.$$
'''6.''' Zunächst die umständlichere Lösung:
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'''(6)'''&nbsp; Zunächst die umständlichere Lösung:
 
:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
 
:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
   \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$
+
   \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
Ein anderer Lösungsweg lautet:
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*Ein anderer Lösungsweg lautet:
 
:$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}
 
:$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}
 
\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$

Aktuelle Version vom 9. April 2021, 16:14 Uhr

Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:

$$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
$$ z_2 = -2 ,$$
$$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$

Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:

$$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
$$z_5 = z_1 + 2 \cdot z_2 - {z_3}/{2},$$
$$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
$$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$




Hinweise:



Fragebogen

1

Geben Sie  $z_1$  nach Betrag und Phase an.

$|z_1|\ = \ $

$\phi_1\ = \ $

$\hspace{0.2cm}\text{Grad}$

2

Wie lautet  $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?

$x_4\ = \ $

$y_4\ = \ $

3

Berechnen Sie  $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$  entsprechend der Angabenseite.

$x_5\ = \ $

$y_5\ = \ $

4

Geben Sie  $z_6 = z_1 \cdot z_2$  nach Betrag und Phase an   $($im Bereich  $\pm 180^{\circ})$.

$|z_6|\ = \ $

$\phi_6\ = \ $

$\hspace{0.2cm}\text{Grad}$

5

Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl  $z_3$?

$\phi_3 \ = \ $

$\hspace{0.2cm}\text{Grad}$

6

Berechnen Sie  $z_7 = z_3/z_1$  nach Betrag und Phase  $($im Bereich  $\pm 180^{\circ})$.

$|z_7| \ = \ $

$\phi_7 \ = \ $

$\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


Musterlösung

(1)  Der Betrag kann nach dem Satz von  Pythagoras  berechnet werden:

$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$


(2)  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:

$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 + y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


(3)  Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:

$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$


(4)  Schreibt man  $z_2$  nach Betrag und Phase   ⇒   $|z_2| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:

$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} = 216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$


(5)  Die Phase ist  $\phi_3 = 90^{\circ}$  (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:

$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{ \circ}}.$$


(6)  Zunächst die umständlichere Lösung:

$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} = \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
  • Ein anderer Lösungsweg lautet:
$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ} \hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$