Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
(6 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Prinzip der Nachrichtenübertragung}} | {{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Prinzip der Nachrichtenübertragung}} | ||
− | [[Datei:P_ID802__Sig_Z_1_3.png|right|Zahlen in der komplexen Ebene]] | + | [[Datei:P_ID802__Sig_Z_1_3.png|right|frame|Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene]] |
Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind: | Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind: | ||
− | : $$z_1 = 4 + 3{\rm j},$$ | + | : $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$ |
: $$ z_2 = -2 ,$$ | : $$ z_2 = -2 ,$$ | ||
− | : $$z_3 = 6{\rm j} .$$ | + | : $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$ |
Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden: | Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden: | ||
: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$ | : $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$ | ||
Zeile 12: | Zeile 12: | ||
: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$ | : $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$ | ||
: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$ | : $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen| | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]]. |
− | *Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt. | + | *Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt. |
− | *Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein. | + | *Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein. |
− | + | ||
Zeile 24: | Zeile 29: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an. | + | {Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $|z_1|$ | + | $|z_1|\ = \ ${ 5 3% } |
− | $\phi_1$ | + | $\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$ |
− | {Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$? | + | {Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $x_4$ | + | $x_4\ = \ $ { 25 3% } |
− | $y_4$ | + | $y_4\ = \ $ { 0. } |
− | {Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite. | + | {Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $x_5$ | + | $x_5\ = \ $ { 0. } |
− | $y_5$ | + | $y_5\ = \ $ { 0. } |
− | {Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$ | + | {Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase an $($im Bereich $\pm 180^{\circ})$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $|z_6|$ | + | $|z_6|\ = \ $ { 10 3% } |
− | $\phi_6$ | + | $\phi_6\ = \ $ { -145--140 } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$ |
− | {Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$? | + | {Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\phi_3$ | + | $\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$ |
− | {Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$ | + | {Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase $($im Bereich $\pm 180^{\circ})$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $|z_7|$ | + | $|z_7| \ = \ $ { 1.2 3% } |
− | $\phi_7$ | + | $\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$ |
</quiz> | </quiz> | ||
Zeile 62: | Zeile 67: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''1 | + | '''(1)''' Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden: |
:$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$ | :$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$ | ||
− | Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] : | + | *Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] : |
:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$ | :$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$ | ||
− | '''2 | + | |
+ | |||
+ | '''(2)''' Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen: | ||
:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 + | :$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 + | ||
y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$ | y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$ | ||
− | :$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25 | + | :$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ | |
− | '''3 | + | |
+ | |||
+ | '''(3)''' Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden: | ||
:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$ | :$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$ | ||
:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$ | :$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$ | ||
− | '''4 | + | |
+ | |||
+ | '''(4)''' Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase ⇒ $|z_2| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt: | ||
:$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$ | :$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$ | ||
:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} = | :$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} = | ||
216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$ | 216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$ | ||
− | '''5 | + | |
+ | |||
+ | '''(5)''' Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann: | ||
:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty) | :$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty) | ||
\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{ | \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{ | ||
\circ}}.$$ | \circ}}.$$ | ||
− | '''6 | + | |
+ | |||
+ | '''(6)''' Zunächst die umständlichere Lösung: | ||
:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} = | :$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} = | ||
− | \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$ | + | \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$ |
− | Ein anderer Lösungsweg lautet: | + | *Ein anderer Lösungsweg lautet: |
:$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ} | :$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ} | ||
\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$ | \hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$ |
Aktuelle Version vom 9. April 2021, 16:14 Uhr
Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:
- $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
- $$ z_2 = -2 ,$$
- $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$
Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:
- $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
- $$z_5 = z_1 + 2 \cdot z_2 - {z_3}/{2},$$
- $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
- $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
- Die Thematik wird auch im Lernvideo Rechnen mit komplexen Zahlen behandelt.
- Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Betrag kann nach dem Satz von Pythagoras berechnet werden:
- $$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
- Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite Darstellung nach Betrag und Phase :
- $$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
(2) Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:
- $$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 + y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
- $$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
(3) Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
- $$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
- $$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
(4) Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase ⇒ $|z_2| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
- $$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
- $$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} = 216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
(5) Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
- $$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{ \circ}}.$$
(6) Zunächst die umständlichere Lösung:
- $$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} = \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
- Ein anderer Lösungsweg lautet:
- $$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ} \hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$