Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung: Unterschied zwischen den Versionen

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Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
 
Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
*Das Signal <math>x_1(t)</math> wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
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*Das blaue Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; eingeschaltet und besitzt für&nbsp; $t > 0$&nbsp; den Wert&nbsp; $1\,\text{V}$.
*Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:
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*Das rote Signal&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; ist für&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null, springt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; und fällt danach mit der Zeitkonstanten&nbsp; $1\,\text{ms}$&nbsp; ab. Für&nbsp; $t > 0$&nbsp; gilt:
  
:<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
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::<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
  
*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:
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*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten&nbsp; $t$:
  
:<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.</math>
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::<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.</math>
  
 
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
 
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
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*wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
 
*wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
 
*zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.
 
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* Die Aufgabe geört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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- <math>x_3(t)</math>.
 
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{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand $R = 1 Ω$ bezogene Energie <math>E_2</math> des Signals <math>x_2(t)</math>. Wie groß ist die Leistung <math>P_2</math> dieses Signals?
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{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand&nbsp; $R = 1Ω$&nbsp; bezogene Energie&nbsp; <math>E_2</math>&nbsp; des Signals&nbsp; <math>x_2(t)</math>. <br>Wie groß ist die Leistung&nbsp; <math>P_2</math>&nbsp; dieses Signals?
 
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<math>E_2 = </math>{ 0.5 5% }  $&nbsp; \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$
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{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
 
{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
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===Musterlösung===
 
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'''1.'''  Zutreffend sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
*Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.  
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*Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden;&nbsp; sie sind deshalb auch deterministisch.  
*Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
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*Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten.&nbsp; Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
*Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.  
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*Die Signalamplituden von&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; können alle beliebigen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; annehmen;&nbsp; sie sind deshalb wertkontinuierlich.  
*Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor.  
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*Dagegen sind beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; nur die zwei Signalwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; möglich;&nbsp; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.  
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'''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die <u>beiden ersten Signale</u> <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale.
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'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; nicht existiert bzw. identisch Null ist.&nbsp; Dies gilt für die Signale&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_2(t)</math>.  
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*Dagegen gehört&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; zur Klasse der akausalen Signale.
  
'''3.'''  Nach der allgemeinen Definition gilt:
 
  
<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math>
 
  
Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze $0$ und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält:
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'''(3)'''&nbsp;  Nach der allgemeinen Definition gilt:
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::<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math>
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Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze&nbsp; $+\infty$.&nbsp; Man erhält:
 
   
 
   
<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}.  </math>  
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::<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}.  </math>  
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Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
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Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2 = 0$.
 
  
'''4.'''  Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie:&nbsp;  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2}s.  $  
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*Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; eine endliche Energie:&nbsp;  
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:$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.  $$  
  
Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist $E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}$ &nbsp; ⇒  &nbsp; Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
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*Die Energie des Signals&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich&nbsp; $t < 0$&nbsp; den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich&nbsp; $t > 0$.&nbsp; Also ist  
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:$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$  
  
Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf &nbsp;&rArr;&nbsp;  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ und ist dementsprechend <u>leistungsbegrenzt</u>. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal <math>x_1(t)</math> in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.
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*Beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; divergiert das Energieintegral:&nbsp; $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
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*Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; in der Hälfte der Zeit&nbsp; $(t < 0)$&nbsp; identisch Null ist.
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* Das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; ist dementsprechend&nbsp;  <u>leistungsbegrenzt</u>.  
  
 
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Aktuelle Version vom 9. April 2021, 12:43 Uhr

Vorgegebene Signalverläufe

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

  • Das blaue Signal  \(x_1(t)\)  wird zum Zeitpunkt  $t = 0$  eingeschaltet und besitzt für  $t > 0$  den Wert  $1\,\text{V}$.
  • Das rote Signal  \(x_2(t)\)  ist für  $t < 0$  identisch Null, springt bei  $t = 0$  auf  $1\,\text{V}$  und fällt danach mit der Zeitkonstanten  $1\,\text{ms}$  ab. Für  $t > 0$  gilt:
\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]
  • Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten  $t$:
\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

  • deterministisch bzw. stochastisch,
  • kausal bzw. akausal,
  • energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
  • wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
  • zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.



Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

2

Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?

\(x_1(t)\),
\(x_2(t)\),
\(x_3(t)\).

3

Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand  $R = 1\ Ω$  bezogene Energie  \(E_2\)  des Signals  \(x_2(t)\).
Wie groß ist die Leistung  \(P_2\)  dieses Signals?

\(E_2 \ = \ \)

$\ \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$
\(P_2 \ = \ \)

$\ \cdot \text{Vs}$

4

Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?

\(x_1(t)\),
\(x_2(t)\),
\(x_3(t)\).


Musterlösung

(1)  Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden;  sie sind deshalb auch deterministisch.
  • Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten  $t$  eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten.  Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
  • Die Signalamplituden von  \(x_2(t)\)  und  \(x_3(t)\)  können alle beliebigen Werte zwischen  $0$  und  $1\,\text{V}$  annehmen;  sie sind deshalb wertkontinuierlich.
  • Dagegen sind beim Signal  \(x_1(t)\)  nur die zwei Signalwerte  $0$  und  $1\,\text{V}$  möglich;  es liegt ein wertdiskretes Signal vor.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten  $t < 0$  nicht existiert bzw. identisch Null ist.  Dies gilt für die Signale  \(x_1(t)\)  und  \(x_2(t)\).
  • Dagegen gehört  \(x_3(t)\)  zur Klasse der akausalen Signale.


(3)  Nach der allgemeinen Definition gilt:

\[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze  $+\infty$.  Man erhält:

\[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein.  Daraus folgt  $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt  \(x_2(t)\)  eine endliche Energie: 
$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$
  • Die Energie des Signals  \(x_3(t)\)  ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich  $t < 0$  den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich  $t > 0$.  Also ist
$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$
  • Beim Signal  \(x_1(t)\)  divergiert das Energieintegral:  $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf   ⇒   $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
  • Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal  \(x_1(t)\)  in der Hälfte der Zeit  $(t < 0)$  identisch Null ist.
  • Das Signal  \(x_1(t)\)  ist dementsprechend  leistungsbegrenzt.