Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. August 2016, 15:34 Uhr
An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems mit Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$ wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve): $$x_1(t) = 4\,{\rm V} \cdot \gamma(t).$$ Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den in der unteren Grafik dargestellten Verlauf. Mit $T =$ 2 ms kann dieses Signal im Bereich von 0 bis $T$ wie folgt beschrieben werden: $$y_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot\left[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\right].$$
Ab $t = T =$ 2 ms ist $y_1(t)$ konstant gleich 1 V.
In der letzten Teilaufgabe (e) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T =$ 2 ms anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.2. Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A =$ 2 V auch geschrieben werden: $$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\right].$$ Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu Aufgabe A3.8 im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen. Zur Lösung dieser Aufgabe A1.3 wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.
Fragebogen
Musterlösung
Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t >> 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen 0 gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar. Richtig sind die $\rm \underline{Lösungsvorschläge \: 2 \: und \: 3}$.
2. Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus den Signalen $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
3. Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) =$ 4V · $γ(t)$ gilt somit im Bereich von 0 bis $T =$ 2 ms:
$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\left( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\right).$$
Zum Zeitpunkt $t = T =$ 2 ms erreicht die Sprungantwort ihren Endwert 0.25. Für $t = T/2 =$ 1 ms ergibt sich der Zahlenwert 3/16 $\rm \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.
4. Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:
$$\begin{align*}h(t) & = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= \\ & = 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})\end{align*}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$ $$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist $h(t)$ stets 0. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden: $$h(t=0) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + \frac{0.5}{T}\right] = \frac{0.25}{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$
5. Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:
$$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + \frac{T}{2}) - \gamma(t - \frac{T}{2})\right].$$ Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten: $$y_2(t) = A \cdot \left[\sigma(t + \frac{T}{2}) - \sigma(t - \frac{T}{2})\right].$$ Für $t = \: –T/2 =$ –1ms gilt $y_2(t) =$ 0. Für die weiteren Zeitpunkte $t =$ 0, $t = T/2 =$ 1 ms sowie $t = T =$ 2 ms erhält man (siehe Grafik): $$y_2(t = 0) = A \cdot \left[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\right] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$ $$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \left[\sigma( T) - \sigma(0)\right] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$ $$y_2(t = T) = A \cdot \left[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\right] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0.1875\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$