Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge

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Ergebnisse einer Systemsimulation

Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem so genannten Systemwirkungsgrad  $\eta$  und der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_*$  eines Koaxialkabels – beide in  $\rm dB$  aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist  $(a_* ≥ 40 \ \rm dB)$:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star}\hspace{0.05cm}.$$

In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten die empirisch gefundenen Koeffizienten  $A$  und  $B$  angegeben:

• für das impulsinterferenzbehaftete Binärsystem  $(M = 2)$  mit Gaußtiefpass  $\rm (GTP)$, siehe Kapitel 
  Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen,
• für das impulsinterferenzbehaftete Oktalsystem  $(M = 8)$  mit Gaußtiefpass  $\rm (GTP)$, siehe Kapitel 
  Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung,
• für optimale impulsinterferenzfreie Systeme  $\rm (ONE)$, siehe Kapitel  Lineare Nyquistentzerrung;  $M = 2$  und  $M = 8$.

Je größer der Systemwirkungsgrad  $\eta$  ist, um so besser ist ein System für einen gegebenen Wert  $a_*$  (und damit eine feste Kabellänge).

Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass

• die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als  $10^{-10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$

• das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca.  $100 \ \rm dB$  beträgt, zum Beispiel:

$$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\rm Gbit/s},\hspace{0.2cm}N_{\rm 0} = 9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{9\,{\rm V^2} } {9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}\cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}}= 100\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$

• ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen  $2.6 \ \rm mm$  (innen) und  $9.5 \ \rm mm$  (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist:

$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrtVorlage:\rm MHz} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $a_*$  die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei  $500 \ \rm MHz$  – und  $l$  die Kabellänge.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Linare Nyquistentzerrung.

Fragebogen

1 Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das System  $({\rm ONE}, \ M = 8)$  ist für jedes beliebiges  $a_*$  am besten.
	Das System  $({\rm GTP}, \ M = 2)$  ist für  $a_* ≥ 40 \ \rm dB$  am schlechtesten.

2 Ab welcher Kabeldämpfung ist  $({\rm GTP}, \ M = 8)$  besser als  $({\rm ONE}, \ M = 2)$?

$a_{\rm *, \ Grenz}\ = \ $ $\ \rm dB$

3 Welchen Minimalwert  $\eta_{\hspace{0.05cm}\rm min}$  darf der Systemwirkungsgrad auf keinen Fall unterschreiten?

$10 \cdot {\rm lg} \ \eta_{\hspace{0.05cm}\rm min} \ = \ $ $\ \rm dB$

4 Welche Länge darf das Koaxialkabel bei  $({\rm ONE}, \ M = 8)$  maximal besitzen?

$l_{\hspace{0.05cm}\rm max}\ = \ $ $\ \rm km$

5 Welche Länge darf das Koaxialkabel bei  $({\rm GTP}, \ M = 2)$  maximal besitzen?

$l_{\hspace{0.05cm}\rm max}\ = \ $ $\ \rm km$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Berechnet man den Systemwirkungsgrad unter der Vorraussetzung $a_* = 40 \ \rm dB$, so erhält man für die vier Systemvarianten:

$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta= +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta= -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta= +4.5\,{\rm dB} -0.96 \cdot 40 \,{\rm dB}= -33.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot 40\,{\rm dB} = -30.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergibt sich:

• Die erste Aussage ist zutreffend, da das System $({\rm ONE},\hspace{0.1cm} M = 8)$ bereits bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung am besten ist und den günstigsten $\rm B$–Koeffizienten aufweist.
• Dagegen trifft die zweite Aussage nicht zu, da zum Beispiel bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung das oktale $\rm GTP$–System schlechter ist als das binäre.

(2)  Als Bestimmungsgleichung benutzen wir hier:

$$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 0.05 \cdot a_{\star} = 5.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\star,\hspace{0.05cm}{\rm Grenz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 116\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt:

• Bis zur charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 116 \ \rm dB$ (Anmerkung: dies ist ein unrealistisch großer Wert für derzeit realisierte Systeme) ist das binäre Nyquistsystem dem System $({\rm GTP},\hspace{0.1cm} M = 8)$ überlegen.
• Erst für größere Werte als $a_{\rm *, \ Grenz} = 116 \ \rm dB$ überwiegt bei Letzterem der Vorteil $(M = 8$ und damit deutlich niedrigere Symbolrate$)$ gegenüber dem Nachteil $($oktale Entscheidung und dadurch größeres Gewicht der Impulsinterferenzen$)$.

(3)  Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ >\ 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} - 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} =\ 16.1- 100\hspace{0.15cm}\underline {= -83.9\,{\rm dB} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta_{\hspace{0.05cm} \rm min}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Beim hier betrachteten System gilt:   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}.$

• Aus der Bedingung für den Systemwirkungsgrad   ⇒   $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $ ergibt sich somit die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung:

$$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \approx138.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

• Mit der angegebenen Gleichung

$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrtVorlage:\rm MHz} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$

ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar:

$$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz})\cdot \sqrt{500\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge:

$$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{500}} = \frac{+(83.9+9.4)/1.10 } {2.36\cdot\sqrt{500}}\hspace{0.1cm}{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.61\, {\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$