Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Frequenzgang des Koaxialkabels

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Einige Koaxialkabeltypen

Ein so genanntes  "Normalkoaxialkabel"  mit

• dem Kerndurchmesser  $2.6 \ \rm mm$,
• dem Außendurchmesser  $9.5 \ \rm mm$,  und
• der Länge  $l$ 

besitzt den folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot{\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$  und  $\alpha_2$  sind in Neper  $(\rm Np)$  und die Phasenparameter  $\beta_1$  und  $\beta_2$  in Radian  $(\rm rad)$  einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot{\rm MHz}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km\cdot\sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines  "linearen zeitinvarianten Systems"  $\rm (LZI)$

• die Dämpfungsfunktion  $($in  $\rm Np$  bzw.  $\rm dB)$:

$$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|\hspace{0.05cm},$$

• die Phasenfunktion  $($in  $\rm rad$ bzw.  $\rm Grad)$:

$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)\hspace{0.05cm}.$$

In der Praxis benutzt man häufig die Näherung

$$H_{\rm K}(f) ={\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot\sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot\frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten. 

Mit der Definition der  charakteristischen Kabeldämpfung  (in Neper bzw. Dezibel)

$$a_{\rm * (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\rm * (dB)}$$

lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R_{\rm B}$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen".
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume".

Fragebogen

1 Welche Terme von  $H_{\rm K}(f)$  führen nicht zu Verzerrungen? Der

	$\alpha_0$–Term,
	$\alpha_1$–Term,
	$\alpha_2$–Term,
	$\beta_1$–Term,
	$\beta_2$–Term.

2 Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?

$l_{\rm max} \ = \ $ $\ {\rm km} $

3 Welche Dämpfung  $($in  $\rm Np)$  ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70\,{\rm MHz}$,  wenn die Kabellänge  $l = 2\,{\rm km}$  beträgt?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ $\ {\rm Np} $

4 Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Vorraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ $\ {\rm Np} $

5 Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  (4)  berechnete Dämpfung?

$a_{\rm K}(f = 70\,{\rm MHz})\ = \ $ $\ {\rm dB} $

6 Welche der Aussagen sind unter der Voraussetzung zutreffend,  dass man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den  $\alpha_2$–Wert beschränkt?

	Man kann auch auf den Phasenterm  $\beta_1$  verzichten.
	Mann kann auch auf den Phasenterm  $\beta_2$  verzichten.
	$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 70\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$.
	$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$.
	$a_* ≈ 40\,{\rm dB}$  gilt für ein System mit  $R_{\rm B} = 560\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 1\,{\rm km}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der  $\beta_1$–Term  (lineare Phase)  eine frequenzunabhängige Laufzeit.
• Alle anderen Terme tragen zu den  (linearen)  Verzerrungen bei.

(2)  Mit  $a_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{- a_0 } \ge 0.99\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_0 < {\rm ln}\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}\hspace{0.05cm}.$$

• Damit erhält man für die maximale Kabellänge

$$l_{\rm max} = \frac{a_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.173\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:

$$a_{\rm K}(f) \ = \ \big[\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot\sqrt{f}\hspace{0.05cm}\big] \cdot l = \big [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \hspace{0.15cm}\underline {= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Entsprechend der Berechnung bei Punkt  (3)  erhält man hier den Dämpfungswert  $\underline {4.555\,{\rm Np}}$.

(5)  Für eine jede positive Größe  $x$  gilt:

$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.686 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

• Der Dämpfungswert  $4.555\,{\rm Np}$  ist somit identisch mit  $\underline{39.57\,{\rm dB} }$.

(6)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 4 und 5:

• Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:

$$H_{\rm K}(f) ={\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$

• Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich der Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/2\pi$  kleiner.
• Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term,  so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:

1. Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;  bei einem solchen muss  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
2. Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um  $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.

• Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:

$$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot\sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot\frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

• Das heißt:  $a_{\rm K}(f)$  und  $b_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
• Bei einem Digitalsystem mit Bitrate  $R_{\rm B} = 140\,{\rm Mbit/s}$   ⇒   $R_{\rm B}/2 = 70\,{\rm Mbit/s}$  und Kabellänge  $l = 2\,{\rm km}$  gilt tatsächlich  $a_* ≈ 40\,{\rm dB}$ – siehe Lösung zu  (5).
• Ein System mit vierfacher Bitrate  $(R_{\rm B}/2 = 280\,{\rm Mbit/s})$  und halber Länge  $(l = 1\,{\rm km})$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
• Dagegen gilt für ein System mit  $R_{\rm B}/2 = 35\,{\rm Mbit/s}$  und  $l = 2\,{\rm km}$:

$$a_{\rm dB} = 0.2722 \frac{\rm Np}{\rm km\cdot \sqrt{\rm MHz}} \cdot 2 \ \rm km \cdot \sqrt{35 \ \rm MHz} \cdot 8.6859 \frac{\rm dB}{\rm Np} ≈ 28 \ \rm dB.$$