Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte ''Walsh–Funktionen'', die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix
Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte "Walsh–Funktionen", die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix
für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]] (PKKF) zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]] $\rm (PKKF)$ zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:
* Ist $φ_{ij} \equiv 0$ $($das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
* Ist $φ_{ij} \equiv 0$ $($das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
* Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$ zu keinen Interferenzen.
* Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$ zu keinen Interferenzen.
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Autokorrelationsfunktion]] (PAKF) der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Autokorrelationsfunktion]] $\rm (PAKF)$ der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh–Funktionen]] im Theorieteil.
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh–Funktionen]] im Theorieteil.
* Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]] hinweisen.
* Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]] hinweisen.
*Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.
*Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:
'''(1)''' <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:
*Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$.
*Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$.
*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u>:
'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u>:
*Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:
*Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:
*Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
*Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
'''(4)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
'''(4)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
* Da die Walsh–Funktion Nr. $1$ periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
* Da die Walsh–Funktion Nr. $1$ periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. $2$ und $3$ nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. $2$ und $3$ nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
*Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
*Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte "Walsh–Funktionen", die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix
für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
Die periodische Kreuzkorrelationsfunktion $\rm (PKKF)$ zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:
Ist $φ_{ij} \equiv 0$ $($das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$ zu keinen Interferenzen.
Die periodische Autokorrelationsfunktion $\rm (PAKF)$ der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:
Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.
Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
(4) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:
Da die Walsh–Funktion Nr. $1$ periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. $2$ und $3$ nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
