Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: Zur PN–Modulation

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Modelle von PN–Modulation (oben) und BPSK (unten)

Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der  $\rm PN$–Modulation  $($englisch:   "Direct-Sequence Spread Spectrum", abgekürzt  $\rm DS–SS)$  im äquivalenten Tiefpassbereich,  wobei AWGN–Rauschen  $n(t)$  zugrunde liegt. 

Darunter dargestellt ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation  $\rm (BPSK)$.  Das Tiefpass–Sendesignal  $s(t)$  ist hier aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal  $q(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit Rechteckdauer  $T$  gesetzt.

Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger,  wobei von  $c(t)$  lediglich der Spreizgrad  $J$  bekannt ist.

Zu untersuchen ist,  ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist,  bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  PN–Modulation.
• Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge  $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$  nicht von Bedeutung.

Fragebogen

1 Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK  (im rauschfreien Fall)  möglich?

	$d(νT)$  kann gaußverteilt sein.
	$d(νT)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
	Es sind nur die Werte  $d(νT) = +1$  und  $d(νT) = -1$  möglich.

2 Welche Werte sind bei PN–Modulation  (im rauschfreien)  Fall möglich?

	$d(νT)$  kann gaußverteilt sein.
	$d(νT)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
	Es sind nur die Werte  $d(νT) = +1$  und  $d(νT) = -1$  möglich.

3 Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden,  damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?

	Das Rauschen  $n(t)$  muss durch  $n'(t) = n(t) · c(t)$  ersetzt werden.
	Die Integration muss nun über  $J · T$  erfolgen.
	Die Rauschleistung  $σ_n^2$  muss um den Faktor  $J$  vermindert werden.

4 Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich für  $10 \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm dB$  bei PN–Modulation? 
Hinweis:   Bei BPSK gilt in diesem Fall:   $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.

	Je größer  $J$  gewählt wird, desto kleiner ist  $p_{\rm B}$.
	Je größer  $J$  gewählt wird, desto größer ist  $p_{\rm B}$.
	Es ergibt sich unabhängig von  $J$  stets der Wert  $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist der  letzte Lösungsvorschlag:

• Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
• Ohne Rauschen ist das Signal  $b(t)$  innerhalb eines jeden Bits konstant gleich  $+1$  oder  $-1$.
• Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$

folgt, dass  $d(νT)$  nur die Werte  $+1$  und  $-1$  annehmen kann.

(2)  Richtig ist wieder der  letzte Lösungsvorschlag:

• Im rausch– und störungsfreien Fall   ⇒   $n(t) = 0$  kann auf die zweifache Multiplikation mit  $c(t) ∈ \{+1, –1\}$  verzichtet werden,
• so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.

(3)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

• Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind,  muss nur das Rauschsignal angepasst werden:   $n'(t) = n(t) · c(t)$.
• Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend:
• Die Integration muss weiterhin über  $T = J · T_c$  erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.

(4)  Richtig ist der  letzte Lösungsvorschlag:

• Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten  $±1$–Signal  $c(t)$,  so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.
• Wegen  ${\rm E}\big[c^2(t)\big] = 1$  wird auch die Rauschvarianz nicht verändert.
• Die BPSK–Gleichung  $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$  ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar,  unabhängig vom Spreizfaktor  $J$  und der spezifischen Spreizfolge.
• Ergo:  Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.