Aufgaben:Aufgabe 5.2: Inverse Diskrete Fouriertransformation: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:38 Uhr

Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$

Bei der Diskreten Fouriertransformation $\rm (DFT)$ werden

aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ⇒ Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ –
die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$

berechnet. Mit $\nu = 0$, ... , $N – 1$ und $\mu = 0$, ... , $N – 1$ gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}= \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation $\rm (IDFT)$ ⇒ „Umkehrfunktion” der DFT gilt entsprechend:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1}D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ (die in der obigen Tabelle mit $\rm A$, ... , $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).

Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet Diskrete Fouriertransformation und Inverse behandelt.

Fragebogen

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

$d(0)\ = \ $

$d(1)\ = \ $

Musterlösung

(1) Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \ne 0$:

$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$

Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:

$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$

(2) Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ ν ≤ 7$:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}\hspace{0.05cm}.$$

Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_{\rm A}$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.

(3) Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Schwingungsfrequenz doppelt so groß, nämlich $2 f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

Damit beschreibt die Folge $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ ν ≤ 7$:

$$ d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4 f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)\hspace{0.05cm}$$

und damit zu den Zeitkoeffizienten

$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15 cm}\underline{= -1}\hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass hier die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
Die Koeffizienten $D (+4) = 0.5$ und $D (-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D (4) = 1$.

(5) Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:

Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte $\rm E$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\rm A$ und $\rm D$.
Deshalb wird aus der alternierenden Folge $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $ entsprechend Teilaufgabe (4) die um $1$ nach oben verschobene Folge:

$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0}\hspace{0.05cm}.$$

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-{{quiz-Header|Buchseite=*Buch*/*Kapitel*
+{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Diskrete Fouriertransformation (DFT)
 }}
-[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|Verwendete Spektralkoeffizienten (Aufgabe A5.2)]]
+[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$]]
-Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den N Koeffizienten d(ν) – also den Abtastwerten des Zeitsignals x(t) – die N Spektralbereichskoeffizienten D(μ) berechnet. Mit ν = 0, ... , N – 1 und μ = 0, ... , N – 1 gilt:
+Bei der&nbsp; '''Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden
+*aus den&nbsp; $N$&nbsp; Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$ –
+*die&nbsp; $N$&nbsp; Spektralbereichskoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$
+berechnet.&nbsp; Mit&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; gilt:
-$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
+:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-  d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet w den komplexen Drehfaktor:
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $w$&nbsp; den komplexen Drehfaktor:
-$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
+:$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}= \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)\hspace{0.05cm}.$$
- = \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
- \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) gilt entsprechend  ⇒  „Umkehrfunktion” der DFT:
+Für die&nbsp; '''Inverse Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; $\rm (IDFT)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
-$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
+:$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
- D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; (die in der obigen Tabelle mit&nbsp; $\rm A$, ... ,&nbsp; $\rm E$&nbsp; bezeichnet sind)&nbsp; die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Es gilt somit stets&nbsp; $N = 8$.
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
+*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]&nbsp; behandelt.
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen D(μ) – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten d(ν) ermittelt werden. Es gilt somit stets N = 8.
-Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:
-Diskrete Fouriertransformation
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte A?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm A$?
 |type="{}"}
-$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 1 }
+$d(0)\ = \ $  { 1 3% }
-$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$ { 1 }
+$d(1)\ = \ $ { 1 3% }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte B?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm B$?
 |type="{}"}
-$D(\mu )$ gemäß B: $d(0) =$ { 1 }
+$d(0)\ = \ $ { 1 3% }
-$D(\mu )$ gemäß B: $d(1) =$ { 0.707 3% }
+$d(1)\ = \ $ { 0.707 3% }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte C?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm C$?
 |type="{}"}
-$D(\mu )$ gemäß C: $d(0) =$ { 1 }
+$d(0)\ = \ $ { 1 3% }
-$D(\mu )$ gemäß C: $d(1) =$ { 0 }
+$d(1)\ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte D?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm D$?
 |type="{}"}
-$D(\mu )$ gemäß D: $d(0) =$ { 1 }
+$d(0)\ = \ ${ 1 3% }
-$D(\mu )$ gemäß D: $d(1) =$ { -1 }
+$d(1)\ = \ $ { -1.03--0.97 }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Wertevon Spalte E?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm E$?
 |type="{}"}
-$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 2 }
+$d(0)\ = \ $ { 2 3% }
-$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$ { 0 }
+$d(1)\ = \ $ { 0. }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  a)  Aus der IDFT–Gleichung wird mit D(μ) = 0 für μ ≠ 0:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit&nbsp; $D(\mu) = 0$&nbsp; für&nbsp; $\mu \ne 0$:
-$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$
+:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
-$$\Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
+*Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
+:$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
+'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = D_7 = 0.5$.&nbsp; Daraus folgt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
-$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
+:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}\hspace{0.05cm}.$$
- X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
-b)  Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von D1 = D7 = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ ν ≤ 7:
+*Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
-$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
+:$$d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)  \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}\hspace{0.05cm}.$$
-  \hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
+*Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
-$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}
+:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) =  {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) +  {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
- \hspace{0.05cm}.$$
+:wobei&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
-Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
+'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ist nun die Schwingungsfrequenz doppelt so groß, nämlich&nbsp; $2 f_{\rm A}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{\rm A}$:
-$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
+:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
- X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
-wobei fA die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
+*Damit beschreibt die Folge&nbsp;  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
-c)  Gegenüber Aufgabe b) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · fA anstelle von fA:
-$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
+:$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}\hspace{0.05cm}.$$
- X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
-Damit beschreibt die Folge 〈d(ν)〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ ν ≤ 7:
+'''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf&nbsp; $4 f_{\rm A}$&nbsp; kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
-$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
+:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)\hspace{0.05cm}$$
- \hspace{0.05cm}.$$
-d)  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4fA kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
+:und damit zu den Zeitkoeffizienten
-$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
+:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  \hspace{0.15 cm}\underline{= -1}\hspace{0.05cm}.$$
- \hspace{0.05cm}$$
+*Zu beachten ist, dass hier die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
+*Die Koeffizienten&nbsp; $D (+4) = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $D (-4) = 0.5$&nbsp; ergeben zusammen&nbsp; $D (4) = 1$.
-und damit zu den Zeitkoeffizienten
-$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  \hspace{0.15 cm}\underline{= -1}
- \hspace{0.05cm}.$$
-Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten D(4) = 0.5 und D(-4) = 0.5 ergeben zusammen D(4) = 1.
+'''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear.&nbsp; Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:
-e)  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten D(μ) aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈d(ν)〉 entsprechend Teilaufgabe d) die um 1 nach oben verschobene Folge:
+*Die Koeffizienten&nbsp; $D(\mu )$&nbsp; aus Spalte&nbsp; $\rm E$&nbsp; ergeben sich als die Summen der Spalten&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm D$.
+*Deshalb wird aus der alternierenden Folge&nbsp;  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die um&nbsp; $1$&nbsp; nach oben verschobene Folge:
-$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}
+:$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}\hspace{0.05cm}.$$
- \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
-[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdisktrete Signaldarstellung^]]
+[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
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