Aufgaben:Aufgabe 5.2: Fehlerkorrelationsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter | Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter anderem | ||
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Hierbei bezeichnen | Hierbei bezeichnen: | ||
* $〈e_{\rm \nu}〉$ die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$ | * $〈e_{\rm \nu}〉$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$. | ||
* $a$ den Fehlerabstand. | * $a$ gibt den Fehlerabstand an. | ||
Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet. | Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet. | ||
Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden. | Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. | ||
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:$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | :$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot(e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm Pr}(e_{\nu} = 1)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot | |||
(e_{\nu + 1}=1)]= | |||
\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm | |||
Pr}(e_{\nu} = 1) | |||
Die erste | *Die erste Wahrscheinlichkeit ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$: | ||
:$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309} | :$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
'''(4)''' Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden: | '''(4)''' Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden: | ||
:$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 | :$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k= 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus | Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf” sowie „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler”: | ||
:$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = | :$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} =1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2) | |||
Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet. Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert ( | Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. | ||
*Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet. | |||
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*Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert $(0.1715)$ geringfügig ab. | |||
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]] | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]] | ||
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Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:38 Uhr
Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter anderem
- die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
- $$\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu +k}\big]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$
- die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}( a =k) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge1\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnen:
- $〈e_{\rm \nu}〉$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$.
- $a$ gibt den Fehlerabstand an.
Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet.
Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$.
- Einige Angaben fehlen in der Tabelle.
- Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.
Hinweis:
- Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF–Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$ gilt nämlich:
- $$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]=p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt:
- $${\rm E}\big[a\big] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}.$$
(3) Nach der Definitionsgleichung und dem Satz von Bayes erhält man folgendes Ergebnis:
- $$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot(e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm Pr}(e_{\nu} = 1)\hspace{0.05cm}.$$
- Die erste Wahrscheinlichkeit ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:
- $$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:
- $$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k= 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$
Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf” sowie „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler”:
- $${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} =1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$
Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind.
- Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet.
- Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht.
- Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert $(0.1715)$ geringfügig ab.
