:$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
:$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ \mu \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ \mu \text{s}$ analysiert werden sollen.
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Ausgangssignal $y(t)$ formt. Es gelte:
Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn $y(t) = x(t)$ gilt.
Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn $y(t) = x(t)$ gilt.
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''Hinweise:''
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet: [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet: [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$?
{Wie groß sind entsprechend der Grafik die Amplitude und die Frequenz der Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$?
{Wie lautet das rekonstruierte Signal $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$ mit dem Abtastabstand $T_{\rm A} = 100 \ \mu \text{s}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
{Wie lautet das rekonstruierte Signal $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$ mit dem Abtastabstand $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
{Welche Amplitude $A_2$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_2(t)$, wenn das Sinussignal $x_2(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $T_{\rm A} = 100 \ \mu \text{s}$.
{Welche Amplitude $A_2$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_2(t)$, wenn das Sinussignal $x_2(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$A_2$ = { 0. } $\text{V}$
$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. } $\text{V}$
{Welche Amplitude $A_3$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_3(t)$, wenn das Sinussignal $x_3(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $T_{\rm A} = 100 \ \mu \text{s}$.
{Welche Amplitude $A_3$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_3(t)$, wenn das Signal $x_3(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
'''1.''' Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
'''(1)''' Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$.
*Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
'''2.''' Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$. Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$ ⇒ Richtig sind somit <u>alle Löungsvorschläge</u>.
'''3.''' Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist das Abtasttheorem erfüllt und es gilt $y_1(t) = x_1(t)$ ⇒ $A_1 \; \underline{2 \ \text{V}}$ und $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.
'''(2)''' Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:
*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.
[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png|Spektrum des abgetasteten Signals]]
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png|right|frame|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]
:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)
'''(3)''' Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
\hspace{0.05cm}.$$
*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist jetzt das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht. Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$. Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
\hspace{0.05cm}.$$
Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf. Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)\hspace{0.05cm}.$$
*Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
:*Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.
:*Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.
:*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png|right|Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals]]
*Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
'''4.''' Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$ ⇒ Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.
[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png|right|frame|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]
Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet. Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
:$$Y(f) = R \cdot \delta(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
*Die Fourierrücktransformation führt auf
:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png|right|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit Phase]]
*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
'''5.''' Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ ⇒ das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist ebenfalls cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
*Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
'''(4)''' Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$.
[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png|right|frame|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind Null, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
'''(5)''' Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$ ⇒ auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
*Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
*Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.
{{ML-Fuß}}
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__NOEDITSECTION__
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.
Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.
Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Ausgangssignal $y(t)$ formt. Es gelte:
Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)\hspace{0.05cm}.$$
Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.
Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.
Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.
Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals
$$Y(f) = R \cdot \delta(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
Die Fourierrücktransformation führt auf
$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.
Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
