[[Datei:P_ID1126__Sig_A_5_1.png|right|frame|Zur Abtastung eines analogen Signals $x(t)$]]
Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate fA) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal xA(t).
Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze:
Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang
*Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.
*Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal $x_{\rm A}(t)$.
*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt.
|f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\
\end{array}$$
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet: [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen f1 und f2 > f1 ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
Die Eckfrequenzen f1 und f2 sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal y(t) des Tiefpasses mit dem Signal x(t) exakt übereinstimmt.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:
Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion
===Fragebogen===
===Fragebogen===
Zeile 25:
Zeile 35:
{Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.
{Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.
|type="{}"}
|type="{}"}
$f_A=$ { 10 } kHz
$f_{\rm A}\ = \ $ { 10 3% } $\text{kHz}$
{Bei welchen Frequenzen besitzt XA(f) mit Sicherheit keine Anteile?
{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?
|type="[]"}
|type="[]"}
- $f= $ { 2.5 } kHz
- $f = 2.5 \ \text{kHz},$
+ $f= $ { 5.5 } kHz
+ $f= 5.5 \ \text{kHz},$
- $f= $ { 6.5 } kHz
- $f= 6.5 \ \text{kHz},$
+ $f= $ { 34.5 } kHz
+ $f= 34.5 \ \text{kHz}.$
{Bis zu welcher Eckfrequenz f1 wird das Signal perfekt rekonstruiert?
{Wie groß muss die untere Eckfrequenz $f_1$ mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
'''1.''' a) Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt TA = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate fA = 1/TA = 10 kHz.
'''(1)''' Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.
b) Das Spektrum XA(f) des abgetasteten Signals erhält man aus X(f) durch periodische Fortsetzung im Abstand fA = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass XA(f) durchaus Anteile bei f = 2.5 kHz und f = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei f = 5.5 kHz. Auch bei f = 34.5 kHz wird XA(f) = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.
[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|450px|right|frame|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (schematische Darstellung)]]
'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
*Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png|250px|right|Zum Abtasttheorem (ML zu Aufgabe A5.1)]]
'''(4)''' Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden.
*Entsprechend der Skizze muss also gelten:
c) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit H(f) = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): f1, min = BNF = 4 kHz.
d) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von XA(f), die in X(f) nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt f2, max = fA – BNF = 6 kHz.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
__NOEDITSECTION__
__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
(1) Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.
Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (schematische Darstellung)
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.
Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird auf jeden Fall $X_{\rm A}(f) = 0$ gelten.
(3) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden.
(4) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden.
