Aufgaben:Aufgabe 5.1: Fehlerabstandsverteilung

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Fehlerabstandsverteilungen

Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch

• die Fehlerfolge  $〈e_{\rm \nu}〉$,  und

• die Fehlerabstandsfolge  $〈a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}〉$.

Beispielhaft betrachten wir die Folgen:

$$<\hspace{-0.1cm}e_{\nu} \hspace{-0.1cm}> \ = \ <\hspace{-0.1cm}0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, \text{...}\hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm},$$

$$< \hspace{-0.1cm}a_{\nu\hspace{0.05cm} '} \hspace{-0.15cm}> \ = \ <\hspace{-0.1cm}2, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 1, 3, 4, 1, 2, \text{...}\hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt daraus beispielsweise:

• Der Fehlerabstand  $a_2 = 3$  bedeutet,  dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.

• Dagegen deutet  $a_3 = 1$  darauf hin,  dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.

Die unterschiedlichen Indizes  $(\nu$  und  $\nu\hspace{0.05cm} '$,  jeweils beginnend mit  $1)$  sind erforderlich,  da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.

In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle  $M_1$  und  $M_2$  die Fehlerabstandsverteilung  $\rm (FAV)$

$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$

angegeben.  Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.

Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle".

Fragebogen

1 Wie lauten die folgenden Fehlerwerte  $(0$  oder  $1)$?

$e_{\rm 16} \ = \ $

$e_{\rm 17} \ = \ $

$e_{\rm 18} \ = \ $

2 Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert  $V_a(k = 1)$?

$V_a(k = 1) \ = \ $

3 Bestimmen Sie für das Modell  $M_1$  die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.

${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 3) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 4) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 5) \ = \ $

4 Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim Modell  $M_1$?

$k_{\rm max} \ = \ $

5 Berechnen Sie für das Modell  $M_1$  den mittleren Fehlerabstand.

${\rm E}\big[a \big] \ = \ $

6 Wie groß ist beim Modell  $M_1$  die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?

$p_{\rm M} \ = \ $

7 Welche Aussagen stimmen für das Modell  $M_2$  mit Sicherheit?

	Zwei Fehler können nicht direkt aufeinander folgen.
	Der häufigste Fehlerabstand ist  $a = 6$.
	Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt  $p_{\rm M} = 0.25$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei   $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$  und  $29$  hin.

• Daraus folgt:   $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$,     $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$,     $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.

(2)  Aus der Definitionsgleichung folgt bereits

$$V_a(k = 1) = {\rm Pr}(a \ge 1)\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Es gilt  ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$.  Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 3)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(3) - V_a(4) = 0.45 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.2}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 4)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(4) - V_a(5) = 0.25 - 0.10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 5)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(5) -V_a(6) = 0.10 - 0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.10}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus   $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$   folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt

$$k_{\rm max} \ \underline {= 5}.$$

(5)  Mit den unter  (3)  berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:

$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands:  

$$p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}.$$

(7)  Mit Sicherheit stimmt nur die  Aussage 1:

• Die erste Aussage stimmt,  weil  ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$  ist.

• Die zweite Aussage ist nicht sicher,  da $V_a(6)$  nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a ≥ 6)$  angibt,  aber nicht  ${\rm Pr}(a = 6)$  allein. 
  Nur mit der zusätzlichen Angabe  $V_a(7) = 0$  würde die Aussage 2 zutreffen.

• Ebenso ist für den Erwartungswert  ${\rm E}[a]$  augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich.  Mit $V_a(7) = 0$  würde sich ergeben:

$${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3=4.4.$$

• Ohne diese Angabe ist nur die Aussage  ${\rm E}[a] ≥ 4.4$  möglich.  Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung  $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.

• Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.