Aufgaben:Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm

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Impulsantwort der Kupfer-Doppelader

Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser  $d = 0.5 \ \rm mm$  soll analysiert werden.

• Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge  $l = 1.5 \ \rm km$  und der Bitrate  $R = 10 \rm Mbit/s$:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}\cdot {\rm e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\hspace{0.05cm}.$$

• Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:

$${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$

$$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\,\frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$

$$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot\sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form

$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$

darstellen, wobei

• die Teilimpulsantwort  $h_1(t)$  auf den dritten Term in obiger Gleichung  $H_{\rm K}(f)$  zurückgeht,  und
• $h_2(t)$  die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.

Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil  $h_2(t)$  der Impulsantwort und das Faltungsprodukt  $h_1(t) \star h_2(t)$  ⇒   blauer Kurvenverlauf.
Dabei ist  $h_2(t)$  gleich der Koaxialkabel–Impulsantwort mit der charakteristischen Kabeldämpfung  ${\rm a}_\star = {\rm a}_2$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.

• Die Parameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ wurden aus den  $k$–Parametern umgerechnet, wie in  Aufgabe 4.6  gezeigt.
• Der Phasenmaßparameter  $\beta_2$  wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter  $\alpha_2$  gesetzt.
• Der Dämpfungsanteil  ${\rm a}_2$  und der Phasenanteil  ${b}_2$  unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
• Auf der Seite  Diskussion der gefundenen Näherungslösung  wird dargelegt,  warum diese Maßnahme erforderlich ist.
• Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  benutzen.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Konstante  $K$  der Impulsantwort  $h_{\rm K}(t )$.

$K \ = \ $

2 Berechnen Sie die Phasenlaufzeit  $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer  $T$.

$\tau_{\rm P}/T \ = \ $

3 Wie groß ist die charakteristische Dämpfung  ${\rm a}_\star$  des vergleichbaren Koaxialkabels?

${\rm a}_\star \ = \ $ $\ \rm dB$

4 Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort  $h_{\rm 1}(t )$  auf?

	$h_{\rm 1}(t )$  ist eine gerade Funktion.
	Das Maximum von  $h_{\rm 1}(t )$  liegt bei  $t = 0$.
	Das Integral über  $h_{\rm 1}(t )$  ergibt den Wert  $2$.

5 Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion  $h_1(t ) \star h_2(t )$?

	$h_1(t ) \star h_2(t )$  gibt die Verzerrungen von  $h_{\rm K}(t )$  vollständig wieder.
	$h_1(t ) \star h_2(t )$  unterscheidet sich von  $h_{\rm K}(t )$  nur durch einen Faktor.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$  erhält man für die Konstante  $K$,  die den Einfluss des Koeffizienten  $ \alpha_0$  auf die Impulsantwort angibt:

$$K = {\rm e}^{-{\rm a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Für die Phasenlaufzeit gilt mit der angegebenen Gleichung:

$$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}= \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm µ s}\approx 7.31\, {\rm µs}\hspace{0.05cm},$$

und auf die Symboldauer  $T = 0.1 \ µ \rm s$  bezogen:  

$${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich  $h_2(t)$,  wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:

$${\rm a}_\star ={\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} =1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}}= 2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richig sind die Aussagen 1 und 2:

• Die Fouriertransformierte  $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$  mit  $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$  ist reell und gerade,  so dass  $h_1(t)$  ebenfalls reell und gerade ist.
• Aufgrund der Tiefpass–Charakteristik von  $H_1(f)$  liegt das Maximum bei  $t = 0$.
• Die letzte Aussage ist dagegen falsch:   Das Integral über  $h_1(t)$  ist im gesamten Zeitbereich  $ \pm \infty$  gleich  $H_1(f=0) = 1$.

(5)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

• Die Teilimpulsantwort  $h_1(t ) \star h_2(t )$  berücksichtigt den Einfluss von  $\alpha_1$,  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  und damit alle Terme,  die zu Verzerrungen führen.
• Dagegen führt  $\alpha_0$  nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und  $\beta_1$  lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
• Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu:   Zunächst  (bei kleinen  $t$–Werten)  ist  $h_1(t ) \star h_2(t )$  kleiner als  $h_2(t )$. 
• Bei großen  $t$–Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
• Das bedeutet:   $\alpha_1$  und damit auch  $h_1(t )$  bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen,  auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.