Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Einfacher Phasenmodulator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr

Modell des betrachteten Phasenmodulators

Die Grafik zeigt eine recht einfache Anordnung zur Approximation eines Phasenmodulators. Alle Signale seien hierbei dimensionslose Größen.

Das sinusförmige Nachrichtensignal $q(t)$ der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$ wird mit dem Signal $m(t)$ multipliziert, das sich aus dem cosinusförmigen Trägersignal $z(t)$ durch Phasenverschiebung um $\phi = 90^\circ$ ergibt:

$$m(t) = {\cos} ( \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$

Anschließend wird das Signal $z(t)$ mit der Frequenz $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$ noch direkt addiert.

Zur Abkürzung werden in dieser Aufgabe auch verwendet:

die Differenzfrequenz $f_{\rm \Delta} = f_{\rm T} - f_{\rm N} = 0.99 \ \text{MHz}$,
die Summenfrequenz $f_{\rm \Sigma} = f_{\rm T} + f_{\rm N} = 1.01\ \text{MHz}$,
die beiden Kreisfrequenzen $\omega_{\rm \Delta} = 2\pi \cdot f_{\rm \Delta}$ und $\omega_{\rm \Sigma} = 2\pi \cdot f_{\rm \Sigma}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.

Berücksichtigen Sie die trigonomischen Umformungen

$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \sin(\alpha - \beta) + {1}/{2} \cdot \sin(\alpha + \beta),$$

$$\sin(\alpha) \cdot \sin (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos(\alpha - \beta) - {1}/{2} \cdot \cos(\alpha + \beta).$$

Fragebogen

	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) - q(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) - 0.5 \cos(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \cos(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.

$s_{\rm I}(t = 0)\ = \ $

$s_{\rm Q}(t = 0)\ = \ $

	Die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
	Die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
	Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade.

$a_{\rm max}\ = \ $

$a_{\rm min}\ = \ $

$\phi_{\rm max}\ = \ $ $\text{Grad}$

Musterlösung

(1) Richtig sind der erste und der letzte Vorschlag:

Durch die Phasenverschiebung um $\phi = 90^\circ$ wird aus der Cosinusfunktion die Minus–Sinusfunktion.
Mit $q(t) = \sin(\omega_{\rm N} t)$ gilt:

$${s(t)} = \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) - \sin({\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) \cdot \sin({ \omega_{\rm N}\hspace{0.05cm} t }) = \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) - 0.5 \cdot \cos(({\omega_{\rm T}-\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }) + 0.5 \cdot\cos(({ \omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }).$$

(2) Das Spektrum des analytischen Signals lautet:

$$S_{\rm +}(f) = \delta (f - f_{\rm T}) - 0.5 \cdot \delta (f -f_{\rm \Delta})+ 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm \Sigma}) .$$

Durch Verschiebung um $f_{\rm T}$ kommt man zum Spektrum des äquivalenten Tiefpass-Signals:

$$S_{\rm TP}(f) = \delta (f ) - 0.5 \cdot \delta (f + f_{\rm N})+0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm N}) .$$

Dies führt zu der Zeitfunktion

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - 0.5 \cdot {\rm e}^{{-\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }+ 0.5 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }= 1 + {\rm j} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t ).$$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $s_{\rm TP}(t) = 1$, also reell. Somit gilt:

$s_{\rm I}(t = 0) = \text{Re}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 1}$,

$s_{\rm Q}(t = 0) = \text{Ime}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 0}$.

Ortskurve eines einfachen Phasenmodulators

(3) Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade ⇒ Vorschlag 3 mit folgenden Werten:

$$s_{\rm TP}(t = 0) = s_{\rm TP}(t = {\rm 50 \hspace{0.05cm} µ s})= \text{ ...} = 1,$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} µ s}) = s_{\rm TP}(t ={\rm 125 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 + {\rm j},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} µ s}) = s_{\rm TP}(t ={\rm 175 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 - {\rm j}.$$

(4) Der Betrag (die Zeigerlänge) schwankt zwischen $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$ und $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. Es gilt:

$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$

Bei idealer Phasenmodulation müsste dagegen die Hüllkurve $a(t)$ konstant sein.

(5) Der Realteil ist stets $1$, der Imaginärteil gleich $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t) $. Daraus folgt die Phasenfunktion:

$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}{\left(\sin(\omega_{\rm N}\hspace{0.05cm} t )\right)}.$$

Der Maximalwert der Sinusfunktion ist $1$. Daraus folgt:

$$\phi_{\rm max} = \arctan (1) \; \underline{= \pi /4 } \; \Rightarrow \; \underline{45^\circ}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID757__Sig_Z_4_5.png|right|Einfacher Phasenmodulator]]
+[[Datei:P_ID757__Sig_Z_4_5.png|right|frame|Modell des betrachteten Phasenmodulators]]
-Die Grafik zeigt eine recht einfache Anordnung zur Approximation eines Phasenmodulators. Alle Signale seien hierbei dimensionslose Größen.
+Die Grafik zeigt eine recht einfache Anordnung zur Approximation eines Phasenmodulators.&nbsp; Alle Signale seien hierbei dimensionslose Größen.
-*Das sinusförmige Nachrichtensignal $q(t)$ der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$ wird mit dem Signal $m(t)$ multipliziert, das sich aus dem cosinusförmigen Trägersignal $z(t)$ durch Phasenverschiebung um $\phi = 90^\circ$ ergibt:
+Das sinusförmige Nachrichtensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$&nbsp; wird mit dem Signal&nbsp; $m(t)$&nbsp; multipliziert, das sich aus dem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; durch Phasenverschiebung um&nbsp; $\phi = 90^\circ$&nbsp; ergibt:
 :$$m(t) =   {\cos} (  \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$
-Anschließend wird das Signal $z(t)$ mit der Frequenz $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$ noch direkt addiert.
-Zur Abkürzung werden in dieser Aufgabe auch die
+Anschließend wird das Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; mit der Frequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$&nbsp; noch direkt addiert.
-*Differenzfrequenz $f_{\rm D} = f_{\rm T} – f_{\rm N} = 0.99 \text{MHz}$,
-*die Summenfrequenz $f_{\rm S} = f_{\rm T} + f_{\rm N} = 1.01 \text{MHz}$ sowie
+Zur Abkürzung werden in dieser Aufgabe auch verwendet:
-*die beiden Kreisfrequenzen $\omega_{\rm D} = 2\pi \cdot f_{\rm D}$ und $\omega_{\rm S} = 2\pi \cdot f_{\rm S}$ verwendet.
+*die Differenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm \Delta} = f_{\rm T} - f_{\rm N} = 0.99 \ \text{MHz}$,
+*die Summenfrequenz&nbsp; $f_{\rm \Sigma} = f_{\rm T} + f_{\rm N} = 1.01\  \text{MHz}$,
+*die beiden Kreisfrequenzen&nbsp; $\omega_{\rm \Delta} = 2\pi \cdot f_{\rm \Delta}$&nbsp; und&nbsp; $\omega_{\rm \Sigma} = 2\pi \cdot f_{\rm \Sigma}$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Berücksichtigen Sie die trigonomischen Umformungen
 :$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \sin(\alpha - \beta) + {1}/{2} \cdot \sin(\alpha + \beta),$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Gleichungen beschreiben $s(t)$ in richtiger Weise?
+{Welche der folgenden Gleichungen beschreiben&nbsp; $s(t)$&nbsp; in richtiger Weise?
 |type="[]"}
-+ $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) – q(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
++ $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) - q(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
 - $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
-- $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot  t) + 0.5 sin(\omega_{\rm D} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm S} \cdot t)$.
+- $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot  t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.
-+ $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot  t) - 0.5 cos(\omega_{\rm D} \cdot t) + 0.5 \cos(\omega_{\rm S} \cdot t)$.
++ $s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot  t) - 0.5 \cos(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \cos(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$. Welche Inphase– und Quadtraturkomponente ergeben sich zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$.&nbsp; Welche Inphase– und Quadtraturkomponente ergeben sich zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
-$s_{\rm I}(t = 0)$  &nbsp;= { 1 3% }
+$s_{\rm I}(t = 0)\ = \ $  { 1 3% }
-$s_{\rm Q}(t = 0)$  &nbsp;= { 0. }
+$s_{\rm Q}(t = 0)\ = \ $ { 0. }
-{Welche der folgenden Aussagen treffen für die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen für die Ortskurve&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$ zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
 - Die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
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-{Berechnen Sie den Betrag $a(t)$, insbesondere dessen Maximal– und Minimalwert.
+{Berechnen Sie den Betrag&nbsp; $a(t)$, insbesondere dessen Maximal– und Minimalwert.
 |type="{}"}
-$a_{\rm max}$ &nbsp;= { 1.414 3% }
+$a_{\rm max}\ = \ $ { 1.414 3% }
-$a_{\rm min}$ &nbsp;= { 1 3% }
+$a_{\rm min}\ = \ $ { 1 3% }
-{Wie lautet die Phasenfunktion $\phi(t)$. Wie groß ist der Maximalwert?
+{Wie lautet die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$.&nbsp; Wie groß ist deren Maximalwert?
 |type="{}"}
-$\phi_{\rm max}$ &nbsp;= { 45 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
+$\phi_{\rm max}\ = \ $ { 45 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Durch die Phasenverschiebung um $\phi = 90°$ wird aus der Cosinus– die Minus–Sinusfunktion. Richtig sind <u>also der erste und der letzte Vorschlag</u>, da mit $q(t) = \sin(\omega_N t)$ gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind <u>der erste und der letzte Vorschlag</u>:
-:$${s(t)}  =   \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) -  \sin({
+*Durch die Phasenverschiebung um&nbsp; $\phi = 90^\circ$&nbsp; wird aus der Cosinusfunktion die Minus–Sinusfunktion.
-\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) \cdot \sin({ \omega_{\rm
+*Mit&nbsp; $q(t) = \sin(\omega_{\rm N} t)$&nbsp; gilt:
-N}\hspace{0.05cm} t })=
+:$${s(t)}  =   \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) -  \sin({\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) \cdot \sin({ \omega_{\rm N}\hspace{0.05cm} t })  =  \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) -  0.5 \cdot \cos(({\omega_{\rm T}-\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }) + 0.5 \cdot\cos(({ \omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }).$$
-\\  =  \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) -  0.5 \cdot \cos(({
-\omega_{\rm T}-\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }) + 0.5 \cdot
-\cos(({ \omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }).$$
-'''2.'''  Das Spektrum des analytischen Signals lautet:
+'''(2)'''&nbsp;  Das Spektrum des analytischen Signals lautet:
-:$$S_{\rm +}(f) = \delta (f - f_{\rm T}) - 0.5 \cdot \delta (f -
+:$$S_{\rm +}(f) = \delta (f - f_{\rm T}) - 0.5 \cdot \delta (f -f_{\rm \Delta})+ 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm \Sigma}) .$$
-f_{\rm \Delta})+ 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm \Sigma}) .$$
+*Durch Verschiebung um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; kommt man zum Spektrum des äquivalenten Tiefpass-Signals:
-Durch Verschiebung um $f_T$ kommt man zum Spektrum des äquivalenten Tiefpass-Signals:
+:$$S_{\rm TP}(f) = \delta (f ) - 0.5 \cdot \delta (f + f_{\rm N})+0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm N}) .$$
-:$$S_{\rm TP}(f) = \delta (f ) - 0.5 \cdot \delta (f + f_{\rm N})+
+*Dies führt zu der Zeitfunktion
-.5 \cdot \delta (f - f_{\rm N}) .$$
+:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - 0.5 \cdot {\rm e}^{{-\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }+ 0.5 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }= 1 + {\rm j} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t ).$$
-Dies führt zu der Zeitfunktion
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$ ist $s_{\rm TP}(t) = 1$, also reell. Somit gilt:
-:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - 0.5 \cdot {\rm e}^{{-\rm
-j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }+ 0.5 \cdot
-{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }
-= 1 + {\rm j} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t ).$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $s_{TP}(t) = 1$, also reell. Somit gilt:
-:* $s_I(t = 0) = \text{Re}[s_{TP}(t = 0)] \underline{= 1}$,
+:* $s_{\rm I}(t = 0) = \text{Re}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 1}$,
-:* $s_Q(t = 0) = Im[s_{TP}(t = 0)] \underline{= 0}$.
+:* $s_{\rm Q}(t = 0) = \text{Ime}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 0}$.
-[[Datei:P_ID762__Sig_Z_4_5_a.png|right|]]
-'''3.'''  Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade $\Rightarrow$ <u>Vorschlag 3</u> mit folgenden Werten:
-:$$s_{\rm TP}(t = 0) = s_{\rm TP}(t = {\rm 50 \hspace{0.05cm} \mu s})
-=  ... = 1,$$
-:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t =
-{\rm 125 \hspace{0.05cm} \mu s}) = ... = 1 + {\rm j},$$
-:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t =
-{\rm 175 \hspace{0.05cm} \mu s}) = ... = 1 - {\rm j}.$$
-'''4.'''  Der Betrag entspricht der Zeigerlänge. Diese schwankt zwischen $a_{max} \underline{= \text{„Wurzel aus 2”}}$ und $a_{min} \underline{= 1}$. Es gilt:
+[[Datei:P_ID762__Sig_Z_4_5_a.png|right|frame|Ortskurve eines einfachen Phasenmodulators]]
+'''(3)'''&nbsp;  Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade &nbsp; &rArr; &nbsp;  <u>Vorschlag 3</u> mit folgenden Werten:
+:$$s_{\rm TP}(t = 0) = s_{\rm TP}(t = {\rm 50 \hspace{0.05cm} &micro; s})= \text{ ...} = 1,$$
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} &micro; s}) = s_{\rm TP}(t ={\rm 125 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 + {\rm j},$$
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} &micro; s}) = s_{\rm TP}(t ={\rm 175 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 - {\rm j}.$$
+'''(4)'''&nbsp;  Der Betrag (die Zeigerlänge) schwankt zwischen&nbsp; $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$&nbsp; und&nbsp; $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. Es gilt:
 :$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$
-Bei idealer Phasenmodulation müsste die Hüllkurve $a(t)$ dagegen konstant sein.
+Bei idealer Phasenmodulation müsste dagegen die Hüllkurve&nbsp; $a(t)$&nbsp; konstant sein.
-'''5.'''  Der Realteil ist stets 1, der Imaginärteil gleich $\sin(\omega_N t)$. Daraus folgt die Phasenfunktion:
+'''(5)'''&nbsp;  Der Realteil ist stets&nbsp; $1$, der Imaginärteil gleich&nbsp; $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t) $. Daraus folgt die Phasenfunktion:
-:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}{\left(\sin(\omega_{\rm N}
+:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}{\left(\sin(\omega_{\rm N}\hspace{0.05cm} t )\right)}.$$
-\hspace{0.05cm} t )\right)}.$$
+*Der Maximalwert der Sinusfunktion ist&nbsp; $1$. Daraus folgt:
-Der Maximalwert der Sinusfunktion ist 1. Daraus folgt $\phi_{max} = \arctan (1) \underline{= \pi /4\ \text{(entspricht $45 °$)}}$.
+:$$\phi_{\rm max} = \arctan (1) \; \underline{= \pi /4 } \; \Rightarrow \; \underline{45^\circ}.$$
 {{ML-Fuß}}
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 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_4.5Z:_Simple_Phase_Modulator]]