Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr

Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit

der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ und
der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.

Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger, abgekürzt ZSB–AM.

Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:

$$\begin{align*} s(t) & = \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}V} + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot t)\right)\cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) = \\ & = q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) +{A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t)+ {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$

Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).

Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt

den Träger (rot),
das obere Seitenband (blau) und
das untere Seitenband (grün).

In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion.

Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul Physikalisches Signal & Analytisches Signal überprüfen.

Fragebogen

$\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $ $\text{V}$

$\text{Im}[s_+(t=0)]\ = \ $ $\text{V}$

	$s_+(t)$ ergibt sich aus $s(t)$, wenn man $\cos(\text{...})$ durch ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$ ersetzt.
	Ist $s(t)$ eine gerade Zeitfunktion, so ist $s_+(t)$ rein reell.
	Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von $s_+(t)$.

$\text{Re}[s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $ $\text{V}$

$\text{Im}[s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $ $\text{V}$

$\text{Re}[s_+(t=20 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $ $\text{V}$

$\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm µ} \text{s})]\ = \ $ $\text{V}$

$|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $ $\text{V}$

$t_{\text{min}}\ = \ $ ${\rm µ} \text{s}$

Musterlösung

(1) Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des Verschiebungssatzes gilt:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm40}\hspace{0.05cm} t }.$$

Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.

In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik).
Man erhält den rein reellen Wert $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.

(2) Die erste Aussage ist richtig und ergibt sich aus der Hilbert-Transformation. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:

$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$.
Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung.
Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.

(3) Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.

Nach $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht.
Der blaue Zeiger (OSB) dreht um $20\%$ schneller, der grüne (USB) um $20\%$ langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):

$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$

Somit sind die in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$.
Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ rein imaginär und man erhält:

$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$

(4) Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder rein reell und ergibt entsprechend der rechten Grafik:

$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$

(5) Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:

$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$

Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:

$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ {\rm µ} \text{s}}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Vorgegebenes Spektrum $S_+(f)$]]
+[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
-Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
+Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit
-*der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$  und
+*der Amplitude&nbsp; $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$&nbsp;  und
-*der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
+*der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
-Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
-Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:
+Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
+Das modulierte Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; lautet mit dem (normierten) Träger&nbsp; $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$&nbsp; und dem Gleichanteil&nbsp; $q_0 = 1 \ \text{V}$:
-:$$\begin{align*} s(t) & =  \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}
+:$$\begin{align*} s(t) & =  \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}V}  + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot  t)\right)\cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot  t) = \\ & =  q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) +{A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t)+  {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$
- V}  + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot  t)\right)
- \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot  t) = \\ & =  q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) +
-{A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t)
- +  {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$
 Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
-Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
+Die Skizze zeigt das Spektrum&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; des dazugehörigen analytischen Signals für&nbsp; $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
 *den Träger (rot),
 *das obere Seitenband (blau) und
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-In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ist nach dem Betrag von&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; gefragt.&nbsp; Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)|Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp;  überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das analytische Signal $s_+(t)$. Wie groß ist dieses zur Zeit $t  = 0$?
+{Wie lautet das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$.&nbsp; Wie groß ist dieses zur Zeit&nbsp; $t  = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $  { 1.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $s_+(t)$ ergibt sich aus $s(t)$, wenn man $\cos(\text{...})$ durch ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$ ersetzt.
++ $s_+(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $s(t)$, wenn man&nbsp; $\cos(\text{...})$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$&nbsp; ersetzt.
-- Ist $s(t)$ eine gerade Zeitfunktion, so ist $s_+(t)$ rein reell.
+- Ist&nbsp; $s(t)$&nbsp; eine gerade Zeitfunktion, so ist&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; rein reell.
-- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von $s_+(t)$.
+- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von&nbsp; $s_+(t)$.
-{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit $t = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=5  \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_+(t=5 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.761 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Welchen Wert besitzt $s_+(t)$ zum Zeitpunkt $t = 20 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 20 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.236 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge? Zu welchem Zeitpunkt $t_{\text{min}}$ tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
+{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge?&nbsp; Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_{\text{min}}$&nbsp; tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
 |type="{}"}
 $|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $ { 0.2 3% } &nbsp;$\text{V}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Durch Fourierrücktransformation von&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; gilt:
-$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
+:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm40}\hspace{0.05cm} t }.$$
-j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4
-\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
-\omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}
-\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm
-}\hspace{0.05cm} t }.$$
-Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik), und man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
+Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.
+*In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise&nbsp;  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse&nbsp; (siehe linke Grafik).
+*Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert&nbsp; $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
-[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene nalytische Signale]]
+[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|right|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
+<br clear=all>
+'''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]].&nbsp; Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
+*$s_+(t)$&nbsp; ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls&nbsp; $s(t) = 0$.
+*Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
+*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung.
+*Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; ist rein reell.
-'''2.'''  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
-*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
-*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
+'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt&nbsp; $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+*Nach&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp;  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um&nbsp; $90^{\circ}$&nbsp; gedreht.
+*Der blaue Zeiger (OSB) dreht um&nbsp; $20\%$&nbsp; schneller, der grüne (USB) um&nbsp; $20\%$&nbsp; langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+:$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})  =  {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =  {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
-'''3.'''   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ μ\text{s}$. Nach $t = 5 \ μ\text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+*Somit sind die in&nbsp; $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; zurückgelegten Winkel von OSB und USB&nbsp; $108^{\circ}$&nbsp; bzw.&nbsp; $72^{\circ}$.
+*Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist&nbsp; $s_+(t=5  \ {\rm &micro;}  \text{s})$&nbsp;  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
-$$\begin{align*}s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s}) & =  {\rm 1
+:$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi
-\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot
-\hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm
-e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot
-\hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005
-}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
-j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40
-\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =\\ & =  {\rm 1
-\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ
-}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
-j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot
-{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.\end{align*}$$
-Somit sind die in $ 5 \ μ\text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5  \ \mu \text{s})$  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
-$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
-{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
-V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-'''4.'''  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ μ\text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
+'''(4)'''&nbsp;  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger.&nbsp; Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
-$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
+:$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
-V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-'''5.''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um&nbsp; $180^{\circ}$&nbsp; versetzt sind. Daraus folgt:
-$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
+:$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
+Innerhalb einer Periode&nbsp; $T_0$&nbsp; des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von&nbsp; $\pm72^{\circ}$&nbsp; auf.&nbsp; Daraus folgt:
-$$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ μ\text{s}}.$$
+:$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_4.4:_Pointer_Diagram_for_DSB-AM]]