Aufgaben:Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png|250px|right|Zeigerdiagramm einer Harmonischen (Aufgabe A4.3)]]
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Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
Wir betrachten ein analytisches Signal  $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte  $S_i = x_i(t = 0)$  unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1$ = 3 V. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 104 1/\text{s}$.
*Das analytische Signal  $x_{1+}(t)$  beginnt bei  $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist  $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = j \cdot 3$ V und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit $(\omega_2 = 2 \cdot \omega_1)$.
*Das Signal  $x_{2+}(t)$  beginnt beim grünen Startpunkt  $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$  und dreht gegenüber  $x_{1+}(t)$  mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \text{V} \cdot exp(–\text{j}\pi /3)$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.
*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$  und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal  $x_{2+}(t)$.




Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.2.
 
 
 
 
 
 
 
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Das interaktive Applet  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  verdeutlicht die hier behandelte Thematik.




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{Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?
{Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?
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|type="{}"}
$A=$ { 3 } V
$A\ = \ $ { 3 3% }  $\text{V}$


{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$?
{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_1(t)$?
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$f_1 =$ { 5 } kHz
$f_1\ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$
$\phi_1 = $ { 0 } Grad
$\varphi_1\ = \ $ { 0. }  $\text{Grad}$


{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$?
{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_2(t)$?
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$f_2 = $ { 10 } kHz
$f_2\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
$\phi_2=$ { -90 } Grad
$\varphi_2\ = \ $ { -91--89 }  $\text{Grad}$


{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$?
{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_3(t)$?
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$f_3 = $ { 10 } kHz
$f_3\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
$\phi_3=$ { 60 } Grad
$\varphi_3\ = \ $ { 60 3% }  $\text{Grad}$


{Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$?
{Nach welcher Zeit  $t_1$  ist das analytische Signal  $x_{3+}(t)$  erstmalig wieder gleich dem Startwert  $x_{3+}(t = 0)$?
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$t_1 = $ { 0.1 3% } ms
$t_1\ = \ $ { 0.1 3% }  $\text{ms}$


{Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t$ = 0?
{Nach welcher Zeit  $t_2$  ist das physikalische Signal  $x_3(t)$  zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt  $t = 0$?
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$t_2 = $ { 0.033 3% } ms
$t_2\ = \ $ { 0.033 3% }  $\text{ms}$




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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A$ = 3V.
'''(1)'''   Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt  $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.


'''2.''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) =$ 5 kHz. Die Phase kann aus $S_1 = 3\text{V} \cdot \text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_1)$ ermittelt werden und ergibt sich zu $\phi_1$ = 0, d.h. es ist
 
'''(2)'''   Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu  $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.  
*Die Phase kann aus  $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$  ermittelt werden und ist  $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.  
*Insgesamt ergibt sich
   
   
$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$
\cdot  {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$
 


'''3.'''   Wegen $\omega_2 = 2\omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 =$ 10 kHz. Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_2) = \text{j}$, das heißt $φ_2 = –\pi /2 (–90^{\circ})$. Somit lautet die Zeitfunktion:
'''(3)'''   Wegen  $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$  beträgt nun die Frequenz  $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$.  
*Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt  $S_2$  zu  $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$.  
*Somit lautet die Zeitfunktion:
   
   
$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$
\cdot  {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
\cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$
Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
*Der Realteil von  $x_{2+}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
*Nach einer viertel Umdrehung ist  $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
*Dreht man nochmals in Schritten von  $90^\circ$  entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte  $0 \ \text{V}$,  $3 \ \text{V}$  und  $0 \ \text{V}$.
 
 
'''(4)'''   Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen  '''(2)'''  und '''(3)''' gelöst werden:  
:$$f_3  \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$


Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann. Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t$ = 0 ist 0. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil. Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4)$ = –3V. Dreht man nochmals in Schritten von 90° entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte 0V, 3V und 0V.


'''4.'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen 2) und 3) gelöst werden: $f_3$ = 10 kHz, $\phi_3$ = 60°.
'''(5)'''    Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer  $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.


'''5.'''  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 = 0.1$ ms $(= t_1)$.


'''6.''' Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3\text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um 120° weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 = 0.033$ ms folgende Beziehung:
'''(6)'''   Das analytische Signal startet bei  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.  
*Dreht das Signal um  $120^\circ$  weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.  
*Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $  die folgende Beziehung:
   
   
$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
\cdot  {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}
.$$
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}


__NOEDITSECTION__
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
[[en:Aufgaben:Exercise_4.3:_Pointer_Diagram_Representation]]

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr

Zeigerdiagramm einer Harmonischen

Wir betrachten ein analytisches Signal  $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte  $S_i = x_i(t = 0)$  unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:

  • Das analytische Signal  $x_{1+}(t)$  beginnt bei  $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist  $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
  • Das Signal  $x_{2+}(t)$  beginnt beim grünen Startpunkt  $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$  und dreht gegenüber  $x_{1+}(t)$  mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
  • Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$  und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal  $x_{2+}(t)$.





Hinweise:


Fragebogen

1 Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?

$A\ = \ $  $\text{V}$

2 Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_1(t)$?

$f_1\ = \ $  $\text{kHz}$
$\varphi_1\ = \ $  $\text{Grad}$

3 Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_2(t)$?

$f_2\ = \ $  $\text{kHz}$
$\varphi_2\ = \ $  $\text{Grad}$

4 Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_3(t)$?

$f_3\ = \ $  $\text{kHz}$
$\varphi_3\ = \ $  $\text{Grad}$

5 Nach welcher Zeit  $t_1$  ist das analytische Signal  $x_{3+}(t)$  erstmalig wieder gleich dem Startwert  $x_{3+}(t = 0)$?

$t_1\ = \ $  $\text{ms}$

6 Nach welcher Zeit  $t_2$  ist das physikalische Signal  $x_3(t)$  zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$t_2\ = \ $  $\text{ms}$


Musterlösung

(1)  Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt  $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.


(2)  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu  $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.

  • Die Phase kann aus  $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$  ermittelt werden und ist  $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.
  • Insgesamt ergibt sich
$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$


(3)  Wegen  $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$  beträgt nun die Frequenz  $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$.

  • Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt  $S_2$  zu  $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$.
  • Somit lautet die Zeitfunktion:
$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$

Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:

  • Der Realteil von  $x_{2+}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
  • Nach einer viertel Umdrehung ist  $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
  • Dreht man nochmals in Schritten von  $90^\circ$  entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte  $0 \ \text{V}$,  $3 \ \text{V}$  und  $0 \ \text{V}$.


(4)  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen  (2)  und (3) gelöst werden:  

$$f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$


(5)  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer  $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.


(6)  Das analytische Signal startet bei  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.

  • Dreht das Signal um  $120^\circ$  weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.
  • Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $  die folgende Beziehung:
$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$

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