Aufgaben:Aufgabe 4.18Z: BER von kohärenter und nichtkohärenter FSK

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Bitfehlerwahrscheinlichkeiten
von BPSK und BFSK

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für eine  "binäre FSK–Modulation"  $\rm (BFSK)$  bei

• kohärenter Demodulation bzw.
• inkohärenter Demodulation

im Vergleich zur binären Phasenmodulation  $\rm (BPSK)$.  Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt.

• Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex  $h$  ein Vielfaches von  $0.5$  sein,  so dass die mittlere Kurve auch für&nbsp "Minimum Shift Keying"  $\rm (MSK)$  gültig ist.

• Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer BFSK der Modulationsindex  $h$  ein Vielfaches von  $1$  sein.

Diesem Systemvergleich liegt der AWGN–Kanal zugrunde,  gekennzeichnet durch das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$.

Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei

• "Binary Frequency Shift Keying"  $\rm (BFSK)$  mit  kohärenter  Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

• "Binary Frequency Shift Keying"  $\rm (BFSK)$  mit  inkohärenter  Demodulation:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

• "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$,  nur   kohärente  Demodulation möglich:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation".

• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodultion".

• Bei BPSK muss das logarithmierte Verhältnis  $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)\ge 9.6 \, \rm dB$  betragen, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $p_{\rm B} = 10^{\rm -5}$  nicht überschreitet.

• Bei binären Verfahren kann man  $p_{\rm B}$  durch  $p_{\rm S}$  und  $E_{\rm B}$  durch  $E_{\rm S}$  ersetzen.  Dann spricht man von Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  und Symbolenergie  $E_{\rm S}$.

• Verwenden Sie die Näherung  ${\rm lg}(2) \approx 0.3$.

Fragebogen

1 Welches  $E_{\rm B}/N_0$  ist bei BFSK und  kohärenter Demodulation  erforderlich,  damit die Forderung  $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm -5}$  erfüllt ist?

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

2 Sind die folgenden Aussagen richtig:   Das gleiche Ergebnis wie unter  (1)  erhält man für

	die kohärente FSK mit Modulationsindex  $\eta = 0.7$,
	die kohärente FSK mit Modulationsindex  $\eta = 1$.

3 Welches  $E_{\rm B}/N_0$  ist bei BFSK mit Modulationsindex  $h = 1$  und  nichtkohärenter Demodulation  erforderlich,  damit  $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm -5}$  erfüllt ist?

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

4 Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$  für BFSK und nichtkohärente Demodulation?

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Ein Vergleich der Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich,  dass bei binärer FSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$  verdoppelt werden muss,  damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird.

• In anderen Worten:   Die kohärente BFSK–Kurve liegt um  $10 \cdot {\rm lg} \, (2) \approx 3 \ \rm dB$  rechts von der BPSK–Kurve.  Um $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm –5}$  zu garantieren,  muss gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm} \underline{=12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:

• Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK  $($diese ist eine BFSK mit  $h = 0.5)$,  sondern für jede Form von orthogonaler FSK.

• Eine solche liegt vor,  wenn der Modulationsindex  $h$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.5$  ist,  zum Beispiel für  $h = 1$.

• Mit  $h = 0.7$  ergibt sich keine orthogonale FSK.

• Es kann gezeigt werden,  dass sich für  $h = 0.7$  sogar eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt:
  Mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$  erreicht man hier sogar  $p_{\rm B} \approx 10^{\rm –6}$,  also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.

(3)  Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.09cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$  folgt:

$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}\approx 8.4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.012 \%}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt:   Bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der nichtkohärenten Demodulation gegenüber der kohärenten Demodulation gemäß Teilaufgabe  (1)  um etwa den Faktor  $12$  vergrößert.