Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr

In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:

Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ–rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.

Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.

Das AWGN–Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.

Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_{\rm D} = 0$.

Für die halbe Augenöffnung eines $M$–stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$.

Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$.

Der letzte Term beschreibt die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.

Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass

alle Detektionsgrundimpulswerte $\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$ positiv sind,

die (unendliche) Summe $\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,

der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ berechnet werden kann:

$$g_0 = s_0\cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme (ohne Rauschen) des Binär– und des Quaternärsystems sowie – in roter Farbe – die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$:

Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ $($für $M = 2)$ bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ $($für $M = 4)$.

In der Teilaufgabe (7) sollen diese numerisch ermittelt werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung".

Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:

$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$

$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =0.0228.$$

Fragebogen

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ $\ {\rm ns}$

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ $\ {\rm ns}$

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ $\ {\rm V}$

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ $\ {\rm V}$

	$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M - 1) - s_0,$
	$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M - 1) - g_0,$
	$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M - 1) \cdot \big [1 - 2 \cdot M \cdot {\rm Q}(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B}) \big ].$

$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ $\ {\rm V}$

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ $\ {\rm V}$

$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} E_1\ = \ $ $\ {\rm V}$

Musterlösung

(1) Beim Binärsystem ist die Bitdauer gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bitrate:

$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:

$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:

$$g_0 \ = \ s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot10\,{\rm ns} \right)\right] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0 \ \approx \ 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { = 0.547\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$:

$$g_0 \ = 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right]= 1\,{\rm V} \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.867\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Erweitert man die angegebene Gleichung um $±g_0$, so erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu}= \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt:

Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.
Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich $s_0$.

Richtig ist also der erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0= \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]- s_0 $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$

Mit der Beziehung $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.

(5) Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) sowie $M = 2$ erhält man:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 - s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} - 1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(7) Entsprechend Teilaufgabe (3) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor– und Nachläufer).

Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$.

Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt $($für $T_{\rm D} = 0)$:

$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 - g_{\rm VN}= 0.867\,{\rm V} - 0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Die untere Begrenzung liegt bei:

$$u = o -{\ddot{o}} = 0.734\,{\rm V} - 0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:

$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2} { = 0.578\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \, \underline {= \, –0.578 \, V}$.

Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$.

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 }}
-[[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame]]
+[[Datei:P_ID1420__Dig_Z_3_4.png|right|frame|Binäres und quaternäres Augendiagramm]]
-In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen. Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
+In dieser Aufgabe werden ein redundanzfreies Binärsystem und ein redundanzfreies Quaternärsystem hinsichtlich vertikaler Augenöffnung miteinander verglichen.&nbsp; Für die beiden Übertragungssysteme gelten die gleichen Randbedingungen:
-* Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist jeweils NRZ&ndash;rechteckförmig und besitze die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
+* Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist jeweils NRZ&ndash;rechteckförmig und besitze die Höhe &nbsp;$s_0 = 1 \, {\rm V}$.
-* Die (äquivalente) Bitrate beträgt $R_B = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
-* Das AWGN&ndash;Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte $N_0$.
+* Die (äquivalente) Bitrate beträgt &nbsp;$R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
-* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 30 \, {\rm MHz}$:
+* Das AWGN&ndash;Rauschen besitzt die Rauschleisungsdichte &nbsp;$N_0$.
+* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$:
 :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
-* Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist $T_D = 0$.
+* Die Entscheiderschwellen sind optimal. Der Detektionszeitpunkt ist &nbsp;$T_{\rm D} = 0$.
-Für die halbe Augenöffnung eines $M$&ndash;stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
+Für die halbe Augenöffnung eines &nbsp;$M$&ndash;stufigen Übertragungssystems gilt allgemein:
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_\nu | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist $g_0 = g_d(t = 0)$ der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$. Der zweite Term beschreibt die Nachläufer $g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$ und der letzte Term die Vorläufer $g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.
+*Hierbei ist &nbsp;$g_0 = g_d(t = 0)$&nbsp; der Hauptwert des Detektionsgrundimpulses &nbsp;$g_d(t) = g_s(t) * h_{\rm G}(t)$.
-Beachten Sie, dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
-* alle Detektionsgrundimpulswerte $... \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, ...$ positiv sind,
+*Der zweite Term beschreibt die Nachläufer &nbsp;$g_{\rm \nu} = g_d(t = \nu T)$.&nbsp;
-* die Summe $... \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,...$ den konstanten Wert $s_0$ ergibt,
-* der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$ berechnet werden kann:
+*Der letzte Term beschreibt die Vorläufer &nbsp;$g_{\rm -\nu} = g_d(t = -\nu T)$.
-:$$g_0 = s_0
-  \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
-\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
-  \right)\right]
-   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Augendiagramme des Binär&ndash; und des Quaternärsystems sowie &ndash; in roter Farbe &ndash; die zugehörigen Detektionsgrundimpulse $g_d(t)$. Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen $E$ (für $M = 2$) bzw. $E_1$, $E_2$, $E_3$ (für $M = 4$). In der Aufgabe g) sollen diese numerisch ermittelt werden.
-''Hinweis:'' Die Aufgabe gehört zu [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Kapitel 3.4]]. Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
+Beachten Sie,&nbsp; dass bei der vorliegenden Konfiguration mit Gaußtiefpass
+* alle Detektionsgrundimpulswerte &nbsp;$\text{...} \, g_{\rm -1}, \, g_0, \, g_1, \, \text{...}$&nbsp; positiv sind,
+* die (unendliche) Summe &nbsp;$\text{...} \, + \, g_{\rm -1} + g_0 + g_1\,\text{...}$&nbsp; den konstanten Wert &nbsp;$s_0$&nbsp; ergibt,
+* der Hauptwert mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; berechnet werden kann:
+:$$g_0 = s_0\cdot\big [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
+Die Grafik zeigt die Augendiagramme&nbsp;  (ohne Rauschen)&nbsp; des Binär&ndash; und des Quaternärsystems sowie &ndash; in roter Farbe &ndash; die zugehörigen Detektionsgrundimpulse &nbsp;$g_d(t)$:
+*Eingezeichnet sind auch die optimalen Entscheiderschwellen &nbsp;$E$&nbsp; $($für $M = 2)$&nbsp; bzw. &nbsp;$E_1$, &nbsp;$E_2$, &nbsp;$E_3$ $($für $M = 4)$.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; sollen diese numerisch ermittelt werden.
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|"Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung"]].
+*Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
 :$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
-:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =
+:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =0.0228.$$
-.0228.$$
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Symboldauern beim Binär&ndash; und beim Quaternärsystem?
+{Wie groß ist die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; beim Binär&ndash; bzw. beim Quaternärsystem?
 |type="{}"}
-$M = 2: T$ = { 10 3% } ${\rm ns}$
+$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 10 3% } $\ {\rm ns}$
-$M = 4: T$ = { 20 3% } ${\rm ns}$
+$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} T \ = \ $ { 20 3% } $\ {\rm ns}$
-{Berechnen Sie den Hauptwert für das Binärsystem.
+{Berechnen Sie den Hauptwert &nbsp;$g_0$&nbsp; für das Binärsystem.
 |type="{}"}
-$M = 2: g_0$ = { 0.547 3% } ${\rm V}$
+$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.547 3% } $\ {\rm V}$
-{Berechnen Sie den Hauptwert für das Quaternärsystem.
+{Berechnen Sie den Hauptwert &nbsp;$g_0$&nbsp; für das Quaternärsystem.
 |type="{}"}
-$M = 4: g_0$ = { 0.867 3% } ${\rm V}$
+$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} g_0\ = \ $ { 0.867 3% } $\ {\rm V}$
 {Welche Gleichungen gelten unter Berücksichtigung des Gaußtiefpasses?
 |type="[]"}
-+ $\ddot{o}(T_D)/2 = M \cdot g_0/(M &ndash; 1) &ndash; s_0,$
++ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot g_0/(M - 1) - s_0,$
-- $\ddot{o}(T_D)/2 = M \cdot s_0/(M &ndash; 1) &ndash; g_0,$
+- $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = M \cdot s_0/(M - 1) - g_0,$
-+ $\ddot{o}(T_D)/2 = s_0/(M &ndash; 1) \cdot [1 &ndash; 2 \cdot M \cdot Q((2\pi)^{\rm 1/2} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_G/R_B)].$
++ $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0/(M - 1) \cdot \big [1 - 2 \cdot M \cdot {\rm Q}(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2} \, (M) \cdot f_{\rm G}/R_{\rm B}) \big ].$
 {Welche Augenöffnung ergibt sich für das Binärsystem?
 |type="{}"}
-$M = 2: \ddot{o}(T_D)$ = { 0.188 3% } $V$
+$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.188 3% } $\ {\rm V}$
 {Welche Augenöffnung ergibt sich für das Quaternärsystem?
 |type="{}"}
-$M = 4: \ddot{o}(T_D)$ = { 0.312 3% } $V$
+$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})\ = \ $ { 0.312 3% } $\ {\rm V}$
-{Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den Schwellenwert $E_1$ ein.
+{Bestimmen Sie die optimalen Schwellenwerte des Quaternärsystems. Geben Sie zur Kontrolle den unteren Schwellenwert &nbsp;$E_1$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
-$M = 4: E_1$ = { -0.595--0.561 }
+$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} E_1\ = \ $ { -0.595--0.561 } $\ {\rm V}$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)''' Beim Binärsystem ist die Bitdauer gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bitrate:
+'''(1)'''&nbsp; Beim Binärsystem ist die Bitdauer gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bitrate:
 :$$T = \frac{1}{R_{\rm B}}= \frac{1}{100\,{\rm Mbit/s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
+*Die Symboldauer des Quaternärsystems ist doppelt so groß:
 :$$T = \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}4}{R_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {=  20\,{\rm ns}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:
+:$$g_0 \ = \ s_0   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T  \right)\right]= 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot10\,{\rm ns}  \right)\right] $$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_0   \ \approx \ 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right]= 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { =  0.547\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)''' Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt für das Binärsystem:
+'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für&nbsp; $M = 4$:
-:$$g_0 & = & s_0   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
+:$$g_0 \ =  1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right]= 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {=  0.867\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-  T  \right)\right]= 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 30\,{\rm MHz} \cdot
-\,{\rm ns}  \right)\right] $$
-:$$ \ \approx \ 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 0.75 \right)\right]
-  = 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.2266 \right]\hspace{0.15cm}\underline { =  0.547\,{\rm V}}
-   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)''' Aufgrund der doppelten Symboldauer ergibt sich bei gleicher Grenzfrequenz für $M = 4$:
+'''(4)'''&nbsp; Erweitert man die angegebene Gleichung um $&plusmn;g_0$,&nbsp; so erhält man:
-:$$g_0 & =  1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( 1.5 \right)\right]
+:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu  - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu}= \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
-  = 1\,{\rm V}   \cdot\left [ 1- 2 \cdot 0.0668 \right] \hspace{0.15cm}\underline {=  0.867\,{\rm V}}
-   \hspace{0.05cm}.$$
+Hierbei ist berücksichtigt:
+*Beim Gaußtiefpass kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.
+* Die Summe über alle Detektionsimpulswerte ist gleich&nbsp; $s_0$.
-'''(4)''' Erweitert man die angegebene Gleichung um $&plusmn;g_0$, so erhält man:
-:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} + g_0 - g_0 - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_\nu  - \sum_{\nu = 1}^{\infty} g_{-\nu}
- = \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass beim Gaußtiefpass auf die Betragsbildung verzichtet werden kann und zum zweiten, dass die Summe über alle Detektionsimpulswerte gleich $s_0$ ist. Richtig ist also der <u>erste, aber auch der lette Lösungsvorschlag</u>:
+Richtig ist also der &nbsp; <u>erste, aber auch der letzte Lösungsvorschlag</u>:
-:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0
+:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ \frac{M}{ M-1} \cdot g_0 - s_0= \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T  \right)\right]- s_0 $$
- = \frac{M}{ M-1} \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}  \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T  \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
-  T  \right)\right]- s_0 = $$
+Mit der Beziehung&nbsp; $T = {\rm log_2} \,(M)/R_{\rm B}$&nbsp; kommt man zum dritten,&nbsp; ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.
-:$$ \ = \ \frac{s_0}{ M-1} \cdot \left [ 1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
-  T  \right)\right]
-  \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Beziehung $T = log_2 \,(M)/R_B$ kommt man zum dritten, ebenfalls zutreffenden Lösungsvorschlag.
+'''(5)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; sowie&nbsp; $M = 2$&nbsp; erhält man:
+:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 -  s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)''' Mit den Ergebnissen aus b) und d) sowie $M = 2$ erhält man:
-:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (2 \cdot g_0 -  s_0) = 2 \cdot (2 \cdot 0.547\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.188\,{\rm V}}
-\hspace{0.05cm}.$$
+'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$&nbsp; ergibt sich dagegen:
+:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)''' Mit $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$, $s_0 = 1 \, {\rm V}$ und $M = 4$ ergibt sich dagegen:
-:$${\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot ({4}/{3} \cdot 0.867\,{\rm V} -  1\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.312\,{\rm V}}
-\hspace{0.05cm}.$$
+'''(7)'''&nbsp; Entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ist&nbsp; $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$&nbsp; und dementsprechend&nbsp; $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$&nbsp; (Summe aller Vor&ndash; und Nachläufer).
+*Die Augenöffnung beträgt&nbsp; $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$.
-'''(7)''' Entsprechend Teilaufgabe c) ist $g_0 = 0.867 \, {\rm V}$ und dementsprechend $g_{\rm VN} = 0.133 \, {\rm V}$ (Summe aller Vor&ndash; und Nachläufer). Die Augenöffnung beträgt $\ddot{o} = 0.312 \, {\rm V}$. Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man, dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt (für $T_D = 0$):
+*Aus der Skizze auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass die obere Begrenzung des oberen Auges folgenden Wert besitzt&nbsp; $($für&nbsp; $T_{\rm D} = 0)$:
-:$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 -  g_{\rm VN}=  0.867\,{\rm V} -  0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V}
+:$$o = s_0 - 2 \cdot g_{\rm VN}= g_0 -  g_{\rm VN}=  0.867\,{\rm V} -  0.133\,{\rm V} = 0.734\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-\hspace{0.05cm}.$$
-Die untere Begrenzung liegt bei:
+*Die untere Begrenzung liegt bei:
-:$$u = o -{\ddot{o}} =  0.734\,{\rm V} -   0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V}
+:$$u = o -{\ddot{o}} =  0.734\,{\rm V} -   0.312\,{\rm V} = 0.422\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
+*Daraus folgt für die optimale Entscheiderschwelle des oberen Auges:
-:$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2}  { =  0.578\,{\rm V}}
+:$$E_3 = \frac{o + u}{2} = \frac{0.734\,{\rm V} + 0.422\,{\rm V}}{2}  { =  0.578\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-\hspace{0.05cm}.$$
-Der gesuchte Schwellenwert (für das untere Auge) ist $E_1 \underline {= &ndash;0.578 \, V}$. Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei $E_2 = 0$.
+*Der gesuchte Schwellenwert&nbsp; (für das untere Auge)&nbsp; ist&nbsp; $E_1 \, \underline {= \, &ndash;0.578 \, V}$.
+*Die mittlere Entscheiderschwelle liegt aus Symmetriegründen bei&nbsp; $E_2 = 0$.
 {{ML-Fuß}}
-[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Augendiagramm mehrstufiger Systeme^]]
+[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_3.4Z:_Eye_Opening_and_Level_Number]]