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[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png|right|]]
[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$]]
Wir betrachten die Zufallsgrößen
Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ und $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,\ Y)$ gegeben ist.
*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: "Marginal Probability").
$X$ = { 0, 1, 2, 3 },
$Y$ = { 0, 1, 2 },
Gilt $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{X,Y}(X,Y)$ gegeben ist. Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
Gilt $P_{X,Y}(X,Y)$ = $P_X(X)$ . $P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen X und Y statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.
:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen
$U$ = { 0, 1 }, $V$ = { 0, 1 },
die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
$U$ = $X$ mod 2, $V$ = $Y$ mod 2.
'''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://www.lntwww.de/Informationstheorie_und_Quellencodierung/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen Kapitel 3.1]. Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [http://www.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02]. Dort wurde die Zufallsgrößen $Y$ = { 0, 1, 2, 3 } betrachtet, allerdings mit dem Zusatz $Pr(Y = 3)$ = 0. Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in Aufgabe [http://www.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02] zur formalen Berechnung des Erwartungswertes $E[P_X(X)]$ von Vorteil.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
*Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
*Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ?
{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$?
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|type="{}"}
$P_X(0)$ = { 0.5 3% }
$P_X(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
$P_X(1)$ = { 0.125 3% }
$P_X(1) \ = \ $ { 0.125 3% }
$P_X(2)$ = { 0 3% }
$P_X(2)\ = \ $ { 0. }
$P_X(3)$ = { 0.375 3% }
$P_X(3) \ = \ ${ 0.375 3% }
{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$ ?
{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$?
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$P_Y(0)$ = { 0.5 3% }
$P_Y(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
$P_Y(1)$ = { 0.25 3% }
$P_Y(1) \ = \ $ { 0.25 3% }
$P_Y(2)$ = { 0.25 3% }
$P_Y(2) \ = \ $ { 0.25 3% }
{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig
{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?
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+ Falsch
- Ja,
- Richtig
+ Nein.
{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$.
{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U,\ V)$.
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$P_{UV}( U = 0, V = 0)$ = { 0.375 3% }
$P_{UV}( U = 0,\ V = 0) \ = \ $ { 0.375 3% }
$P_{UV}( U = 0, V = 1)$ = { 0.375 3% }
$P_{UV}( U = 0,\ V = 1) \ = \ $ { 0.375 3% }
$P_{UV}( U = 1, V = 0)$ = { 0.125 3% }
$P_{UV}( U = 1,\ V = 0) \ = \ $ { 0.125 3% }
$P_{UV}( U =1, V = 1)$ = { 0.125 3% }
$P_{UV}( U =1,\ V = 1) \ = \ $ { 0.125 3% }
{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig
{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?
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- Falsch
+ Ja,
+ Richtig
- Nein.
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Man kommt von $P_{XY}(X,Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ,indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
'''(1)''' Man kommt von $P_{XY}(X,\ Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
'''(3)''' Bei statistischer Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein.
*Dies trifft hier nicht zu: Antwort <u>'''Nein'''</u>.
$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 = 0.250$
$\Rightarrow P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ]$
'''3.''' Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) . P_Y(Y)$ sein.Dies trifft hier nicht zu $\Rightarrow$ Antwort Nein.
'''(4)''' Ausgehend von der linken Tabelle ⇒ $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle ⇒ $P_{UY}(U,Y)$, <br>indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.
'''4.''' Ausgehend von $P_{XY}(X,Y)$ $\Rightarrow$ linke Tabelle kommt man zu $P_{UY}(U,Y)$ $\Rightarrow$ mittlere Tabelle, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X$ zusammenfasst. Berücksichtigt man noch $V = Y mod 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
$P_{UV}( U = 0, V = 0) = P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 = 0.375$
Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
:$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
:$$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$
$P_{UV}( U = 1, V = 0) = P_{UV}( U =1, V = 1) = 1/8 = 0.125$
Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$
Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ und $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,\ Y)$ gegeben ist.
Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: "Marginal Probability").
Gilt $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$
(3) Bei statistischer Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein.
Dies trifft hier nicht zu: Antwort Nein.
(4) Ausgehend von der linken Tabelle ⇒ $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle ⇒ $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen
Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
$$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$
(5) Richtig ist die Antwort Ja:
Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:
$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$
$$P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ].$$
Damit gilt: $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$ ⇒ $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.
