Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: (3, 1, 3)–Faltungscodierer

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Faltungscodierer mit den Parametern  $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$

Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter 

• $k = 1$  $($nur eine Informationssequenz  $\underline{u})$  sowie 
• $n = 3$  $($drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)})$ 

charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis  $m = 3$.

Mit dem Informationsbit  $u_i$  zum Codierschritt  $i$  erhält man die folgenden Codebits:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus lassen sich Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$  ableiten, wie auf der Seite  Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen  beschrieben.

• Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden:

$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

• Für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ \text{...})$ gilt:

$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Algebraische und polynomische Beschreibung.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Aufteilung der Generatormatrix in Teilmatrizen.

Fragebogen

1 Aus wievielen Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$  setzt sich die Matrix  $\mathbf{G}$  zusammen?

${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ $

2 Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$?

${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ $

${\rm Spaltenzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ $

3 Welche Aussagen sind richtig?

	Es gilt  $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
	Es gilt  $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$.
	Es gilt  $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$.
	Es gilt  $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$.

4 Erstellen Sie die Generatormatrix  $\mathbf{G}$  mit fünf Zeilen und fünfzehn Spalten.
Welche Codesequenz ergibt sich für  $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0)$?

	Es gilt  $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \text{...}).$
	Es gilt  $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \text{...}).$
	Es gilt  $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \text{...}).$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Für den Index $l$ der Teilmatrizen gilt $0 ≤ l ≤ m$.

• Der betrachtete Coder hat das Gedächtnis $m = 3$.
• Damit sind vier Teilmatrizen zu berücksichtigen.

(2)  Jede Teilmatrix $\mathbf{G}_l$ besteht aus

• einer Zeile  ⇒  $k = 1$, und
• drei Spalten  ⇒  $n = 3$.

(3)  Alle Aussagen sind richtig:

• Da das aktuelle Informationsbit $u_i$ alle drei Ausgänge $x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ beeinflusst, ist $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
• Dagegen sagt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$ aus, dass nur die beiden ersten Eingänge von $u_{i-3}$ beeinflusst werden, nicht aber $x_i^{(3)}$.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Generatormatrix $\mathbf{G}$

• Die gesuchte Generatormatrix $\mathbf{G}$ ist rechts dargestellt, wobei die vier Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... , \mathbf{G}_3$ farblich unterschieden sind.
• Die folgende Vektorgleichung liefert das Ergebnis entsprechend dem zweiten Lösungsvorschlag 2:

$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}. $$

• Die Codesequenz $\underline{x}$ ist dabei gleich der Modulo–2–Summe der Matrixzeilen 1, 3 und 4.

• Farblich unterschieden sind die drei Codesequenzen der einzelnen Zweige. Beispielsweise gilt für den unteren Ausgang:

$$\underline{x}^{(3)} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$

Anhand der vorne angegebenen Gleichungen kann dieses Resultat verifiziert werden:

$${x}_1^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 + u_{-1} = 1+ (0) = 1 \hspace{0.05cm},$$

$${x}_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_2 + u_{0} = 0+ (0) = 0 \hspace{0.05cm},$$

$${x}_3^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_3 + u_{1} = 1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$

$${x}_4^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_4 + u_{2} = 1+0 = 1 \hspace{0.05cm},$$

$${x}_5^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_5 + u_{3} = 0+ 1 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Anmerkungen:

• Berücksichtigt ist hierbei die Speichervorbelegung mit Nullen: $u_0 = u_{–1} = 0$.
• Ist wie hier angenommen die Informationssequenz auf vier Bit begrenzt, so können in der Codesequenz Einsen bis zur Position $(4 + m) \cdot n = 21$ vorkommen.