Aufgaben:Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion

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Faltungscodierer mit  $m = 1$  und Zustandsübergangsdiagramm

In  Aufgabe 3.6  wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften

• Rate  $R = 1/2$,
• Gedächtnis  $m = 1$,
• Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$

ermittelt, das rechts dargestellt ist.

Aus diesem Zustandsübergangsdiagramm soll nun

• die Pfadgewichtsfunktion  $T(X)$, und
• die erweiterte Pfadgewichtsfunktion  $T_{\rm enh}(X, \, U)$

bestimmt werden, wobei  $X$  und  $U$  Dummy–Variablen sind.

Die Vorgehensweise ist im  Theorieteil  zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus  $T(X)$  noch die  freie Distanz  $d_{\rm F}$  zu bestimmen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
• Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$

Fragebogen

1 Was ist bei der Modifizierung des Übergangsdiagramms zu beachten?

	Der Zustand  $S_0$  muss in  $S_0$  und  $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
	Der Zustand   $S_1$  muss in   $S_0$  und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
	Der Übergang von  $S_0$  nach  $S_1$  ist mit $U\hspace{-0.05cm}X^2$ zu beschriften.
	Der Übergang von  $S_1$  nach  $S_1$  ist mit $U\hspace{-0.05cm}X$ zu beschriften.
	Der Übergang von  $S_1$  nach  $S_0\hspace{0.01cm}'$ ist mit $X$ zu beschriften.

2 Welche Gleichungen gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion  $T_{\rm enh}(X, \, U)$?

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3/(1 \, –UX)$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$

3 Welche Gleichungen gelten für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion  $T(X)$?

	$T(X) = X^3/(1 \, –X)$,
	$T(X) = X^3 + X^4 + X^5 +\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$

4 Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Codes?

$d_{\rm F} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

Zustandsübergangsdiagramm nach Modifikationen

(1)  Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5 richtig sind:

• Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden.
• Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
• Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$.
• Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im Theorieteil ein „Ring”. Daraus folgt:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} \hspace{0.05cm}.$$

• Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Man kommt von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion zu $T(X)$, indem der Formalparameter $U = 1$ gesetzt wird. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.

(4)  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy–Variablen $X$ ablesen   ⇒   $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.