Aufgaben:Aufgabe 2.7: C-Programme z1 und z2

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C-Programme zur Erzeugung
diskreter Zufallsgrößen

Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen:

• Die Funktion  $z1$  erzeugt eine  $M$–stufige Zufallsgröße mit dem Wertevorrat  $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.  Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array  $\text{p_array}$  mit der Eigenschaft „Float” übergeben.  Die Funktion  $\text{random()}$  liefert gleichverteilte Float–Zufallsgrößen zwischen  $0$  und  $1$.

• Eine zweite Funktion  $z2$  (Quelltext siehe unten)  liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter  $I$  und  $p$  festgelegt ist.  Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion  $z1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird auf die Seite  Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen Bezug  genommen.

Fragebogen

1 Es gelte  $M=4$  und  $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
Welches Ergebnis liefert die Funktion  $z1$,  wenn die Randomfunktion den  Wert $x = 0.75$  zurückgibt?

$z1 \ = \ $

2 Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z1$  zutreffend?

	Man könnte auf die Zuweisung  $\text{x = random()}$  in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit  $\text{random()}$  vergleichen.
	Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich,  so gäbe es schnellere Programmrealisierungen als  $z1$.
	Der Rückgabewert  $\text{random() = 0.2}$  führt zum Ergebnis  $z1= 1$.

3 Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z2$  zutreffend?

	Das Programm erzeugt eine binomialverteilte Zufallsgröße.
	Das Programm erzeugt eine poissonverteilte Zufallsgröße.
	Mit  $I = 4$  sind für  $z2$  die Werte  $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$  möglich.
	Das Einbinden der mathematischen Bibliothek „math.h” ist erforderlich, da in  $z2$  die Funktion  pow   (Potenzieren)  verwendet wird.

4 Welcher Wert steht in  $\text{p_array[2]}$  beim Aufruf mit  $I = 4$  und  $p = 0.25$?

$\text{p_array[2]} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Nach dem ersten Schleifendurchlauf  $(m = 0)$  ist die Variable  $\text{summe = 0.2}$,  beim nächsten  $(m = 1)$  gilt   $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.

• In beiden Fällen ist somit die Variable   $\text{summe}$  kleiner als  $x = 0.75$. 
• Erst bei  $m = 2$  ist die Rücksprungbedingung erfüllt:   $0.9 > x$.  Somit ist  $\underline{z1 = 2}$.

(2)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Würde man auf die Hilfsvariable  $x$  verzichten und in Zeile 8 dafür   $\text{summe > random()}$   schreiben,  so würde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und  $z1$  hätte dann nicht die gewünschten Eigenschaften.
• $z1$  arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.  Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung für den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten  $(1/M)$.
• Im ersten Durchlauf  $(m = 0)$  ist in diesem Fall die Rücksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich–Abfrage nicht erfüllt;  der Ausgabewert ist tatsächlich  $z1 = 1$.

(3)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgröße,  und zwar mit dem Wertevorrat  $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
• Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$  benötigt man hier die mathematische Bibliothek.
• Das Potenzieren könnte aber auch durch  $I$–fache Multiplikation realisiert werden.

(4)  Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement  $\text{p_array[0]}$  vor der Programmschleife  $(i = 0)$  den Wert  $(1 -p)^{I}$. 

• Im ersten Schleifendurchlauf  $(i = 1)$  wird folgender Wert eingetragen:

$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$

• Im zweiten Schleifendurchlauf  $(i = 2)$  wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „$z2=2$” berechnet:

$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$

• Für  $I= 4$  und  $p = 0.25$  erhält man folgenden Zahlenwert   ⇒   „$4$  über  $2$”   $=6$:

$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$