Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)

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Elemente von  $\rm GF(2^3)$  für das Polynom  $p(x) = x^3 + x + 1$

Wir betrachten nun den Erweiterungskörper  $($englisch:   "Extension Field"$)$  mit acht Elementen   ⇒   $\rm GF(2^3)$  gemäß der nebenstehenden Tabelle.

Da das zugrunde liegende Polynom

$$p(x) = x^3 + x +1 $$

sowohl irreduzibel als auch primitiv ist,  kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:

$${\rm GF}(2^3) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}\alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$

Das Element  $\alpha$  ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung   $p(\alpha) = 0$   im Galoisfeld  $\rm GF(2)$.

• Damit erhält man folgende Nebenbedingung:

$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$

• Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:

$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha= \alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen im  Galoisfeld $\rm GF(2^3)$  vornehmen.

• Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes  $\alpha^4$  gefragt.

• Dann muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Erweiterungskörper".

• Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren  "Aufgabe 2.5"  gedacht.

Fragebogen

1 Welche der Aussagen treffen für die höheren Potenzen von  $\alpha^{i} \ (i ≥ 7)$  zu?

	$\alpha^7 = 1$,
	$\alpha^8 = \alpha$,
	$\alpha^{13} = \alpha^2 + 1$,
	$\alpha^i = \alpha^{i \ \rm mod \, 7}$.

2 Welche Umformung ist für  $A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1$  zulässig?

	$A = 1$,
	$A = \alpha$,
	$A = \alpha^2$,
	$A = \alpha^3$,
	$A = \alpha^4$.

3 Welche Umformung ist für  $B = \alpha^{16} - \alpha^{12} \cdot \alpha^3$  zulässig?

	$B = 1$,
	$B = \alpha$,
	$B = \alpha^2$,
	$B = \alpha^3$,
	$B = \alpha^4$.

4 Welche Umformung ist für  $C = \alpha^3 + \alpha$  zulässig?

	$C = 1$,
	$C = \alpha$,
	$C = \alpha^2$,
	$C = \alpha^3$,
	$C = \alpha^4$.

5 Welche Umformung ist für  $D = \alpha^4 + \alpha$  zulässig?

	$D = 1$,
	$D = \alpha$,
	$D = \alpha^2$,
	$D = \alpha^3$,
	$D = \alpha^4$.

6 Welche Umformung ist für  $E = A \cdot B \cdot C/D$  zulässig?

	$E = 1$,
	$E = \alpha$,
	$E = \alpha^2$,
	$E = \alpha^3$,
	$E = \alpha^4$.

7 Welche Aussagen gelten für die multiplikative Inverse zu  $\alpha^2 + \alpha$?

	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha + 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^3$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^4$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Beispielsweise findet man mit Hilfe der vorne angegebenen Tabelle:

$$\alpha^7 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^6 = \alpha \cdot (\alpha^2 + 1) = \alpha^3 + \alpha = (\alpha + 1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^8 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^7 = \alpha \cdot 1 = \alpha\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^7 \cdot \alpha^6 = 1 \cdot \alpha^6 = \alpha^2 + 1\hspace{0.05cm}.$$

• Die Tabelle lässt sich also modulo  $7$  fortsetzen.

• Das bedeutet:  Alle Lösungsvorschläge  sind richtig.

(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2  wegen

• $\alpha^8 = \alpha$  entsprechend Teilaufgabe  (1),

• $\alpha^6 = \alpha^2 + 1$  $($gemäß Tabelle$)$,  und

• $-\alpha^2 = \alpha^2$  $($Operationen im binären Galoisfeld$)$.

Also gilt:

$$A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1 = \alpha + (\alpha^2 + 1) + \alpha^2 + 1 = \alpha\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Mit   $\alpha^{16} = \alpha^{16-14} = \alpha^2$   sowie  $\alpha^{12} \cdot \alpha^3 = \alpha^{15} = \alpha^{15-14} = \alpha$   erhält man den  Lösungsvorschlag 5:

$$B = \alpha^2 + \alpha= \alpha^4\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Es gilt   $\alpha^3 = \alpha + 1$   und damit   $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Mit   $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält   man   $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$   ⇒   Lösungsvorschlag 3.

(6)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 4:

$$E = A \cdot B \cdot C/D = \alpha \cdot \alpha^4 \cdot 1/\alpha^2 = \alpha^3\hspace{0.05cm}.$$

(7)  Laut Tabelle gilt  $\alpha^2 + \alpha = \alpha^4$.  Deshalb muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Inv_M}( \alpha^2 + \alpha) = {\rm Inv_M}( \alpha^4) = \alpha^{-4} = \alpha^3\hspace{0.05cm}.$$

• Wegen   $\alpha^3 = \alpha + 1$   sind somit die  Lösungsvorschläge 2 und 3  richtig.