Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ternäre Markovquelle: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr

Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit $M = 3$ Zuständen $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$.

Für die beiden Parameter dieses Markovprozesses soll gelten:

$$0 \le p \le 0.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}0 \le q \le 1 \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Markoveigenschaft dieser Quelle kann die Entropie auf unterschiedliche Weise ermittelt werden:

Man berechnet die beiden ersten Entropienäherungen $H_1$ und $H_2$. Dann gilt für die tatsächliche Entropie:

$$H = 2 \cdot H_{\rm 2} - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

Nach der „direkten Berechnungsmethode” kann die Entropie aber auch wie folgt geschrieben werden (insgesamt neun Terme):

$$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + \ \text{...}\hspace{0.05cm}, \\text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \ \text{...}$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Nichtbinäre Markovquellen.
Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit „bit/Symbol” hinzuzufügen.

Fragebogen

$p \ = \ $

$q\ = \ $

$H_\text{max} \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

$H_1 = \ \ $ $\ \rm bit/Symbol$

$H_2 = \ \ $ $\ \rm bit/Symbol$

$H = \ \ $ $\ \rm bit/Symbol$

Musterlösung

(1) Die maximale Entropie ergibt sich dann, wenn die Symbole $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ gleichwahrscheinlich und die Symbole innerhalb der Folge statistisch voneinander unabhängig sind. Dann muss gelten:

Übergangsdiagramm für $p = 1/4$, $q = 1$

$p_{\rm A} = p_{\rm A|A} = p_{\rm A|B} = p_{\rm A|C} = 1/3$,
$p_{\rm B} = p_{\rm B|A} = p_{\rm B|B} = p_{\rm B|C} = 1/3$,
$p_{\rm C} = p_{\rm C|A} = p_{\rm C|B} = p_{\rm C|C} = 1/3$.

Daraus lassen sich die gesuchten Werte bestimmen:

Beispielsweise erhält man aus $p_{\rm C|C} = 1/3$ den Wert $p \hspace{0.15cm}\underline{= 1/3}$.
Berücksichtigt man noch die Beziehung $p_{\rm A|A} = p \cdot q$, so folgt $q \hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
Damit ergibt sich die maximale Entropie $H_\text{max} ={\rm log_2} \ 3\hspace{0.15cm}\underline{= 1.585\ \rm bit/Symbol}$.

(2) Mit den Parameterwerten $p = 1/4$ und $q = 1$ ergibt sich das nebenstehende Übergangsdiagramm, das folgende Symmetrien aufweist:

$p_{\rm A|A} = p_{\rm B|B} = p_{\rm C|C} = 1/4$ (rot markiert),
$p_{\rm A|B} = p_{\rm B|C} = p_{\rm C|A} = 1/2$ (grün markiert),
$p_{\rm A|C} = p_{\rm B|A} = p_{\rm C|CB} = 1/4$ (blau markiert).

Es ist offensichtlich, dass die Symbolwahrscheinlichkeiten alle gleich sind:

$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = 1/3 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_1 = {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.585 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Für die zweite Entropienäherung benötigt man $3^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten.

Mit dem Ergebnis aus (2) erhält man hierfür:

$$p_{\rm AA} = p_{\rm BB}= p_{\rm CC}= p_{\rm AC}=p_{\rm BA}=p_{\rm CB}=1/12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm AB} = p_{\rm BC}=p_{\rm CA}=1/6$$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} H_2 = \frac{1}{2} \cdot \left [ 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 12 +3 \cdot \frac{1}{6} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 6 \right ] = \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 = \frac{3}{4} + \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5425 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Aufgrund der Markoveigenschaft der Quelle gilt

$$H = 2 \cdot H_2 - H_1 = \big [ {3}/{2} + {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 \big ] - {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

Zum gleichen Ergebnis würde man nach folgender Rechnung kommen:

$$H= p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + ... \hspace{0.1cm}= 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4 + 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$

Übergangsdiagramm für $p = 1/4$, $q = 0$

(5) Aus dem nebenstehendenm Übergangsdiagramm mit den aktuellen Parametern erkennt man, dass bei Stationarität $p_{\rm B} = 0$ gelten wird, da $\rm B$ höchstens zum Startzeitpunkt einmal auftreten kann.

Es liegt also eine binäre Markovkette mit den Symbolen $\rm A$ und $\rm C$ vor.
Die Symbolwahrscheinlichkeiten ergeben sich demzufolge zu:

$$p_{\rm A} = 0.5 \cdot p_{\rm C} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm A} + p_{\rm C} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm A} = 1/3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm C} = 2/3\hspace{0.05cm}. $$

Damit erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten:

$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm}0\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AA} = 0 \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CA} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1\hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} =1\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AC} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/3 \cdot 1 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.61cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} )= 0\hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CC} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1 $$

$$\Rightarrow \hspace{0.25cm} H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +p_{\rm CA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}+ p_{\rm AC} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm CC} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}=0 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0 + 1/3 \cdot 1\hspace{0.15cm} \underline {= 0.667 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID2254__Inf_Z_1_6.png|right|Ternäre Markovquelle]]
+[[Datei:Inf_Z_1_6_vers2.png|right|frame|Ternäre Markovquelle]]
-Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit $M = 3$ Zuständen $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$. Für die beiden Parameter dieses Markovprozesses soll gelten:
+Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit&nbsp; $M = 3$&nbsp; Zuständen&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$.
+Für die beiden Parameter dieses Markovprozesses soll gelten:
 :$$0 \le p \le 0.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}0 \le q \le 1 \hspace{0.05cm}.$$
 Aufgrund der Markoveigenschaft dieser Quelle kann die Entropie auf unterschiedliche Weise ermittelt werden:
-*Man berechnet die <i>beiden ersten Entropienäherungen</i> $H_1$ und $H_2$. Dann gilt für die tatsächliche Entropie:
+*Man berechnet die beiden ersten Entropienäherungen&nbsp; $H_1$&nbsp; und&nbsp; $H_2$.&nbsp; Dann gilt für die tatsächliche Entropie:
 :$$H  = 2 \cdot H_{\rm 2} - H_{\rm 1}   \hspace{0.05cm}.$$
-*Nach der so genannten <i>direkten Berechnungsmethode</i> kann die Entropie aber auch wie folgt berechnet werden (insgesamt 9 Terme):
+*Nach der &bdquo;direkten Berechnungsmethode&rdquo; kann die Entropie aber auch wie folgt geschrieben werden&nbsp; (insgesamt neun Terme):
-:$$H = p_{\rm AA}  \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}   \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  \ldots
+:$$H = p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}   \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  \ \text{...}\hspace{0.05cm}, \\text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \ \text{...}$$
- \hspace{0.05cm}, \
-\text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
-p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\ldots$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Nichtbin.C3.A4re_Markovquellen|Nichtbinäre Markovquellen]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Nichtbin.C3.A4re_Markovquellen|Nichtbinäre Markovquellen]].
 *Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit &bdquo;bit/Symbol&rdquo; hinzuzufügen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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 <quiz display=simple>
-{Für welche Parameter $p$ und  $q$ ergibt sich die maximale Entropie pro Symbol?
+{Für welche Parameter &nbsp;$p$ &nbsp;und&nbsp;  $q$&nbsp; ergibt sich die maximale Entropie pro Symbol?
 |type="{}"}
-$p \ = $ { 0.333 1% }
+$p \ = \ $ { 0.333 1% }
-$q\ = $ { 1 1% }
+$q\ =  \ $ { 1 1% }
-$H_\text{max} \ = $ { 1.585 1% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_\text{max} \ =  \ $ { 1.585 1% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Es sei $p = 1/4$ und  $q = 1$. Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die erste Entropienäherung?
+{Es sei &nbsp;$p = 1/4$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 1$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die erste Entropienäherung?
 |type="{}"}
-$H_1 = \ $ { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_1 = \  \ $ { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Weiterhin gelte $p = 1/4$ und  $q = 1$. Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die zweite Entropienäherung?
+{Weiterhin gelte &nbsp;$p = 1/4$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 1$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die zweite Entropienäherung?
 |type="{}"}
-$H_2 = \ $ { 1.5425 1% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_2 = \  \ $ { 1.5425 1% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit $p = 1/4$ und  $q = 1$?
+{Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit &nbsp;$p = 1/4$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 1$?
 |type="{}"}
-$H = \ $ { 1.5 1% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H = \  \ $ { 1.5 1% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit  $p = 1/2$ und  $q = 0$?
+{Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit  &nbsp;$p = 1/2$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 0$?
 |type="{}"}
-$H = \ $ { 0.667 1% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H = \  \ $ { 0.667 1% } $\ \rm bit/Symbol$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-<i>Hinweis:</i> Aus Platzgründen verwenden wir in der Musterlösung &bdquo;ld&rdquo; anstelle von  &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;.
+'''(1)'''&nbsp; Die maximale Entropie ergibt sich dann, wenn die Symbole&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; gleichwahrscheinlich und die Symbole innerhalb der Folge statistisch voneinander unabhängig sind. Dann muss gelten:
+[[Datei:Inf_Z_1_6_vers2.png|right|frame|Übergangsdiagramm für&nbsp; $p = 1/4$,&nbsp; $q = 1$]]
-'''(1)'''&nbsp; Die maximale Entropie ergibt sich dann, wenn die Symbole $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ gleichwahrscheinlich und die Symbole innerhalb der Folge statistisch voneinander unabhängig sind. Dann muss gelten:
 * $p_{\rm A} = p_{\rm A|A} =  p_{\rm A|B} = p_{\rm A|C}  = 1/3$,
 * $p_{\rm B} = p_{\rm B|A} =  p_{\rm B|B} = p_{\rm B|C}  = 1/3$,
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 Daraus lassen sich die gesuchten Werte bestimmen:
-*Beispielsweise erhält man aus $p_{\rm C|C}  = 1/3$ der Wert $p \hspace{0.15cm}\underline{= 1/3}$.
+*Beispielsweise erhält man aus&nbsp; $p_{\rm C|C}  = 1/3$&nbsp; den Wert &nbsp;$p \hspace{0.15cm}\underline{= 1/3}$.
-*Berücksichtigt man noch die Beziehung $p_{\rm A|A} = p \cdot q$, so folgt $q \hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
+*Berücksichtigt man noch die Beziehung &nbsp;$p_{\rm A|A} = p \cdot q$,&nbsp; so folgt &nbsp;$q \hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
-* Damit ergibt sich die maximale Entropie $H_\text{max} ={\rm  ld} \ 3\hspace{0.15cm}\underline{= 1.585\  \rm bit/Symbol}$.
+* Damit ergibt sich die maximale Entropie &nbsp;$H_\text{max} ={\rm  log_2} \ 3\hspace{0.15cm}\underline{= 1.585\  \rm bit/Symbol}$.
+'''(2)'''&nbsp; Mit den Parameterwerten&nbsp;  $p = 1/4$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 1$ ergibt sich das nebenstehende Übergangsdiagramm, das folgende Symmetrien aufweist:
+* $p_{\rm A|A} =  p_{\rm B|B} = p_{\rm C|C}  = 1/4$&nbsp; (rot markiert),
+* $p_{\rm A|B} =  p_{\rm B|C} = p_{\rm C|A}  = 1/2$&nbsp; (grün markiert),
+*$p_{\rm A|C} =  p_{\rm B|A} = p_{\rm C|CB}  = 1/4$&nbsp; (blau markiert).
-[[Datei:P_ID2255__Inf_Z_1_6b.png|right|Übergangsdiagramm für <i>p</i> = 1/4, <i>q</i> = 1]]
-'''(2)'''&nbsp; Mit den Parameterwerten Übergangsdiagramm für $p = 1/4$ und  $q = 1$ ergibt sich das nebenstehende Übergangsdiagramm, das folgende Symmetrien aufweist:
-* $p_{\rm A|A} =  p_{\rm B|B} = p_{\rm C|C}  = 1/4$ (rot markiert),
-* $p_{\rm A|B} =  p_{\rm B|C} = p_{\rm C|A}  = 1/2$ (grün markiert),
-*$p_{\rm A|C} =  p_{\rm B|A} = p_{\rm C|CB}  = 1/4$ (blau markiert).
 Es ist offensichtlich, dass die Symbolwahrscheinlichkeiten alle gleich sind:
-:$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = 1/3 \hspace{0.3cm}
+:$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = 1/3 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_1 =   {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3  \hspace{0.15cm} \underline {= 1.585 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_1 =   {\rm ld}\hspace{0.1cm} 3  \hspace{0.15cm} \underline {= 1.585 \,{\rm bit/Symbol}}
-  \hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Für die zweite Entropienäherung benötigt man&nbsp; $3^2 = 9$&nbsp; Verbundwahrscheinlichkeiten.
+*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man hierfür:
+:$$p_{\rm AA} = p_{\rm BB}= p_{\rm CC}= p_{\rm AC}=p_{\rm BA}=p_{\rm CB}=1/12  \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm AB} = p_{\rm BC}=p_{\rm CA}=1/6$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} H_2  = \frac{1}{2} \cdot \left [ 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 12  +3 \cdot \frac{1}{6} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 6 \right ] =   \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4  + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 +   \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2 +   \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 = \frac{3}{4} + \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5425 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Für die zweite Entropienäherung benötigt man die $3^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man hierfür:
-:$$p_{\rm AA} = p_{\rm BB}= p_{\rm CC}= p_{\rm AC}=p_{\rm BA}=p_{\rm CB}=1/12  \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-p_{\rm AB} = p_{\rm BC}=p_{\rm CA}=1/6$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} H_2  = \frac{1}{2} \cdot \left [ 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 12  +
-\cdot \frac{1}{6} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 6 \right ] =   \frac{1}{4} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 4  + \frac{1}{4} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 3 +   \frac{1}{4} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 2 +   \frac{1}{4} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 3
- = \frac{3}{4} + \frac{{\rm ld}\hspace{0.1cm} 3}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5425 \,{\rm bit/Symbol}}
- \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Markoveigenschaft der Quelle gilt
-:$$H = 2 \cdot H_2 - H_1 = [ {3}/{2} + {\rm ld}\hspace{0.1cm} 3] -  {\rm ld}\hspace{0.1cm} 3\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}}
+:$$H = 2 \cdot H_2 - H_1 = \big [ {3}/{2} + {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 \big ] -  {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
- \hspace{0.05cm}.$$
+*Zum gleichen Ergebnis würde man nach folgender Rechnung kommen:
-Zum gleichen Ergebnis würde man mit folgender Rechnung kommen:
+:$$H= p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}   \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  ... \hspace{0.1cm}= 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4 + 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$
-:$$H= p_{\rm AA}  \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}   \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  ... \hspace{0.1cm}= 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 4 + 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 2
- \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}}
- \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2256__Inf_Z_1_6e.png|right|]]
+[[Datei:Inf_Z_1_6e_vers2.png|right|frame|Übergangsdiagramm für&nbsp; $p = 1/4$,&nbsp; $q = 0$]]
-'''(5)'''&nbsp; Aus dem nebenstehendenm Übergangsdiagramm mit den aktuellen Parametern erkennt man, dass bei Stationarität $p_{\rm B}  = 0$ gelten wird, da $\rm B$ höchstens zum Starzeitpunkt einmal auftreten kann. Es liegt also eine binäre Markovkette mit den Symbolen $\rm A$ und $\rm C$ vor. Die Symbolwahrscheinlichkeiten ergeben sich zu:
+'''(5)'''&nbsp; Aus dem nebenstehendenm Übergangsdiagramm mit den aktuellen Parametern erkennt man, dass bei Stationarität&nbsp; $p_{\rm B}  = 0$&nbsp; gelten wird, da&nbsp; $\rm B$&nbsp; höchstens zum Startzeitpunkt einmal auftreten kann.
-:$$p_{\rm A} = 0.5 \cdot p_{\rm C} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm A} + p_{\rm C} = 1 \hspace{0.3cm}
+*Es liegt also eine binäre Markovkette mit den Symbolen&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; vor.
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm A} = 1/3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm C} = 2/3\hspace{0.05cm}.  $$
+*Die Symbolwahrscheinlichkeiten ergeben sich demzufolge zu:
+:$$p_{\rm A} = 0.5 \cdot p_{\rm C} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm A} + p_{\rm C} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm A} = 1/3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm C} = 2/3\hspace{0.05cm}.  $$
-Damit erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten:
+*Damit erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten:
 :$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}0\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AA} = 0 \hspace{0.05cm},$$
-:$$ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CA} =
+:$$ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CA} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1\hspace{0.05cm},$$
- p_{\rm C} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm ld}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1\hspace{0.05cm},$$
+:$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} =1\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AC} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/3 \cdot 1 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.61cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} )= 0\hspace{0.05cm},$$
-:$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} =1\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AC} =
+:$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CC} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1 $$
- p_{\rm A} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/3 \cdot 1 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.61cm}{\rm ld}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} )= 0\hspace{0.05cm},$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.25cm} H  = p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}  +p_{\rm CA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}+ p_{\rm AC} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm CC}   \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}=0 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0 + 1/3 \cdot 1\hspace{0.15cm} \underline {= 0.667 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
-:$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CC} =
- p_{\rm C} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm ld}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1 $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.25cm} H  = p_{\rm AA}  \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}  +p_{\rm CA}  \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}+ p_{\rm AC} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +
-  p_{\rm CC}   \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}=
-+ 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0 + 1/3 \cdot 1
- \hspace{0.15cm} \underline {= 0.667 \,{\rm bit/Symbol}}
- \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^1.2 Nachrichtenquellen mit Gedächtnis^]]
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