Aufgaben:Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr

$20$ Realisierungen der betrachteten Markovkette

Rechts sehen Sie $20$ Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$:

Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn $(ν = 0)$ das Ereignis $A$ überwiegt.
Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.

Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.

Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven SWF–Applet Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette erster Ordnung überprüfen.

Fragebogen

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}9}) \ = \ $

	Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
	Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
	Die Folge „$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$” ist nicht möglich.

${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $

${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $

${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

(1) Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(A_{\nu=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.40}.$$

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Nach $A$ folgt $B$ sehr viel häufiger als $A$, das heißt, es wird sicher ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ sein.
Alle vier Übergänge zwischen den zwei Ereignissen $A$ und $B$ sind möglich. Daraus folgt, dass alle vier Übergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
Wegen ${\rm Pr}(B_\text{v=0}) \ne 0$ und ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$ kann natürlich auch die Folge „$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$” erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.

(3) Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abkürzungen ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_{\nu=0})$ und ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_{\nu=1})$:

$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$

Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:

$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$

Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man aus diesen letzten beiden Gleichungen:

$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$

$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$

Multipliziert man die erste Gleichung mit $6$ und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:

$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$

Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$

(4) Dieser Fall ist nur dann möglich, wenn die Markovkette mit $B$ beginnt und danach neunmal ein Übergang von $B$ nach $B$ stattfindet:

$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$

(5) Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$ ausgegangen werden und man erhält:

$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|20 Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
+[[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|frame|$20$&nbsp; Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
-Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$:
+Rechts sehen Sie&nbsp; $20$&nbsp; Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$:
-*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt.
+*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung,&nbsp; dass zu Beginn&nbsp; $(ν = 0)$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; überwiegt.
-*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.
+*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab&nbsp; $ν = 4$&nbsp; – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auf.
 Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:
-$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_\text{v=1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_\text{v>4}) \approx 0.4.$$
+:$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$
+Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden,&nbsp; um die Parameter&nbsp; (Übergangswahrscheinlichkeiten)&nbsp; der Markovkette&nbsp; (näherungsweise)&nbsp; zu ermitteln.
-Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven SWF&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette erster Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
-:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]
@@ Zeile 26: / Zeile 30: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν = 9$, wenn man nur die 20 dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, <br>wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \ =$  { 0.85 3% }
+${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $  { 0.85 3% }
-${\rm Pr}(A_\text{v=1}) \ =$ { 0.1 3% }
+${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \ = \ $ { 0.1 3% }
-${\rm Pr}(A_\text{v=9}) \ =$ { 0.4 3% }
+${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}9}) \ = \ $ { 0.4 3% }
 {Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
++ Nach&nbsp; $A$&nbsp; ist&nbsp; $B$&nbsp; wahrscheinlicher als&nbsp; $A$.
-+ Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
++ Sowohl nach&nbsp; $A$&nbsp; als auch nach&nbsp; $B$&nbsp; kann wieder&nbsp; $A$&nbsp; oder&nbsp; $B$&nbsp; folgen.
-- Die Folge $B B B B ...$ ist nicht möglich.
+- Die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$&rdquo; ist nicht möglich.
-{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ und ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$$?
+{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette.&nbsp; Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ =$ { 0.1 3% }
+${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $ { 0.1 3% }
-${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ =$ { 0.4 3% }
+${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $ { 0.4 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils $B$ sind?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(B_0, ... , B_9)\ =$ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
+${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge $A \ B \ B \ A$ erzeugt wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A \ B \ B \ A)\ =$ { 0.0864 3% }
+${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ { 8.64 3% } $\ \%$
 </quiz>
@@ Zeile 56: / Zeile 60: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
+'''(1)'''&nbsp; Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
-:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 0}) = \underline{17/20 = 0.85},$$
-:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 1}) = \underline{2/20 = 0.10},$$
+:$${\rm Pr}(A_{\nu=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.40}.$$
-:$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 9}) = \underline{8/20 = 0.40},$$
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Nach <i>A</i> folgt <i>B</i> sehr viel h&auml;ufiger als <i>A</i>, das heißt, es wird sicher Pr(<i>B</i>&nbsp;|&nbsp;<i>A</i>) > Pr(<i>A</i> | <i>A</i>) sein. Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen <i>A</i> und <i>B</i> sind m&ouml;glich. Daraus folgt weiter, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich 0 sein werden. Wegen Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i><sub>=0</sub>) &ne; 0 und Pr(<i>B</i>&nbsp;|&nbsp;<i>B</i>) &ne; 0 kann nat&uuml;rlich auch die Folge <i>B B B B ...</i> erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist. Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit der Abk&uuml;rzung Pr(<i>A</i><sub>0</sub>) = Pr(<i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>=0</sub>) usw.:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+*Nach&nbsp; $A$&nbsp; folgt&nbsp; $B$&nbsp; sehr viel h&auml;ufiger als&nbsp; $A$,&nbsp; das heißt,&nbsp; es wird sicher&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; sein.
+*Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; sind m&ouml;glich.&nbsp; Daraus folgt, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
+*Wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$&nbsp; kann nat&uuml;rlich auch die Folge&nbsp; &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$&rdquo;&nbsp; erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
+'''(3)'''&nbsp; Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abk&uuml;rzungen&nbsp; ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_{\nu=0})$&nbsp;  und&nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_{\nu=1})$:
 :$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
-:Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind Pr(<i>A</i>) = Pr(<i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>>4</sub>) = 0.4 und Pr(<i>B</i>) = Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i><sub>>4</sub>) = 0.6. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
+*Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind&nbsp; ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$.&nbsp; Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
 :$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
-:Mit den angegebenen Zahlenwerten erh&auml;lt man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
+*Mit den angegebenen Zahlenwerten erh&auml;lt man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
 :$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
 :$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
-:Multipliziert man die erste Gleichung mit 6 und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
+*Multipliziert man die erste Gleichung mit&nbsp; $6$&nbsp; und subtrahiert davon die zweite,&nbsp; so ergibt sich:
-:$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow
+:$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow\hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
-\hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
+*Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein,&nbsp; so erhält man&nbsp; $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$.&nbsp; Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
-:Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $Pr(A&nbsp;|&nbsp;B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind $Pr(B&nbsp;|&nbsp;A) = 1 - Pr(A&nbsp;|&nbsp;A) = 0.9, Pr(B&nbsp;|&nbsp;B) = 1 - Pr(A&nbsp;|&nbsp;B)\ \underline{= 0.4}$.
+:$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich, wenn die Markovkette mit <i>B</i> beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von <i>B</i> nach <i>B</i> stattfindet:
-:$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit Pr(<i>A</i>) ausgegangen werden und man erh&auml;lt:
+'''(4)'''&nbsp; Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich,&nbsp; wenn die Markovkette mit&nbsp; $B$&nbsp; beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von&nbsp; $B$&nbsp; nach&nbsp; $B$&nbsp; stattfindet:
-:$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}10^{-2}}.$$
+:$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
+'''(5)'''&nbsp; Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(A)$&nbsp; ausgegangen werden und man erh&auml;lt:
+:$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$
 {{ML-Fuß}}
@@ Zeile 81: / Zeile 96: @@
 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.4 Markovketten^]]
+[[en:Aufgaben:Exercise_1.6:_Transition_Probabilities]]