Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.
*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
*Bei der Quelle $Y$ ist der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
*Lösen Sie die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' nach der klassischen Definition.
*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] zusammengefasst.
'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
===Fragebogen===
===Fragebogen===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist?
|type="{}"}
|type="{}"}
$Pr(Y=0) = $ { 0.5 3% }
${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $I$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
|type="{}"}
|type="{}"}
$ I = $ { 5 3% }
$ I \ = \ $ { 5 3% }
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in $2)$ ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_\max$? Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe '''(2)''' ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
|type="[]"}
|type="[]"}
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wenn JA: Wie ändern sie sich?
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
:'''1.'''Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
'''(1)''' Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
:'''2.''' $S$ kann insgesamt <u>5 Werte</u> annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
:'''3.'''[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|frame|]]Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
'''(3)''' Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.
$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
*Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
'''(4)''' Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
:'''4.''' Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1.</u>
*Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
Bei der Quelle $Y$ ist der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
(2) $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen
(3) Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
(4) Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.
