Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
*Bei der Quelle $Y$ ist der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Lösen Sie die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' nach der klassischen Definition.
*Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] zusammengefasst.
:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
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<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist?
|type="{}"}
|type="{}"}
$Pr(Y=0) \ = $ { 0.5 3% }
${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
|type="{}"}
|type="{}"}
$ I \ = $ { 5 3% }
$ I \ = \ $ { 5 3% }
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe '''(2)''' ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
|type="[]"}
|type="[]"}
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wenn JA: Wie ändern sie sich?
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===Musterlösung===
===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
'''(1)''' Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
'''(3)''' Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.
'''(2)''' $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
*Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
*Man erhält dann:
[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
:$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
'''(3)''' Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich)die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
'''(4)''' Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
'''(4)''' Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
*Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
Bei der Quelle $Y$ ist der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
(2) $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen
(3) Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
(4) Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.
