Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
*$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird.
*Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):
* Oder Sie benutzen unser Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
* Oder Sie benutzen das von $\rm LNTwww$ bereitgestellte Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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<quiz display=simple>
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{Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal–Fadings ausreichend?
{Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal–Fadings ausreichend?
|type="()"}
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+ Ja,
+ Ja,
- Nein.
- Nein.
{Die Lognormal–Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
{Die Lognormal–Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
'''(2)''' Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangslestung $P_{\rm E}$. Gegenüber Teilaufgabe (1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$. Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($–80 \ \rm dBm$). Daraus folgt: Das System ist zu <u>100% funktionsfähig</u>.
'''(2)''' Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
*Gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$.
*Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($-80 \ \rm dBm$).
*Daraus folgt: Das System ist (fast) zu <u>100% funktionsfähig</u>.
*„Fast” deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.
'''(3)''' Die Empfangsleistung ist dann zu gering (kleiner als $–80 \ \rm dBm$), wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt. Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$. Daraus folgt:
Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis. Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch ''Shadowing'' (Longnormal–Fading). Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
'''(3)''' Die Empfangsleistung ist dann zu gering $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.
[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|center|frame|Verlust durch Lognormal–Fading]]
[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|right|frame|Verlust durch das Lognormal–Fading]]
*Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
'''(4)''' Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$. Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist. Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
*Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch ''Shadowing'' (Longnormal–Fading).
{\rm Q}\left ( \frac{120-70-20}{10}\right )
*Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
= {\rm Q}(3) \approx 0.001 \hspace{0.05cm}.$$
<br clear=all>
'''(4)''' Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
*Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist.
*Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Lognormal–Fadings
Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird.
Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (Shadowing) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):
Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
(2) Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
Gegenüber der Teilaufgabe (1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$.
Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($-80 \ \rm dBm$).
Daraus folgt: Das System ist (fast) zu 100% funktionsfähig.
„Fast” deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.
(3) Die Empfangsleistung ist dann zu gering $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.
Verlust durch das Lognormal–Fading
Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading).
Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
(4) Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist.
Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
