Applets:Impulse und Spektren: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLinkDeEn|pulsesAndSpectra|pulsesAndSpectra_en}}
==Aufruf des Applets in neuem Fenster==
 
{{LntAppletLink|spektrum|Applet in neuem Tab öffnen}}  
 
  
 
==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Impulse&rdquo; $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich  
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Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Impulse&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; und die dazugehörigen Spektralfunktionen&nbsp; $X(f)$, nämlich  
*Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),  
+
*Gaußimpuls&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Gaussian pulse''),  
*Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),
+
*Rechteckimpuls&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Rectangular pulse''),
*Dreieckimpuls  (englisch: ''Triangular pulse''),  
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*Dreieckimpuls&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Triangular pulse''),  
*Trapezimpuls  (englisch: ''Trapezoidal pulse''),  
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*Trapezimpuls&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Trapezoidal pulse''),  
*Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Impuls  (englisch: ''Cosine-rolloff pulse'').
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*Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Impuls&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Cosine roll-off pulse'').
 
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*Cosinus-Quadrat-Impuls &nbsp; (englisch:&nbsp; ''Cosine square pulse'').
 
 
Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Applets:Pulses_%26_Spectra|Pulses & Spectra]].
 
  
  
 
Weiter ist zu beachten:
 
Weiter ist zu beachten:
* Die Funktionen $x(t)$ bzw. $X(f)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
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* Die Funktionen&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $X(f)$&nbsp; werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
 
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
 
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.  
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* Die Abszissen&nbsp; $t$&nbsp; (Zeit) und&nbsp; $f$&nbsp; (Frequenz) sowie die Ordinaten&nbsp; $x(t)$&nbsp; (Signalwerte) bzw.&nbsp; $X(f)$&nbsp; (Spektralwerte) sind jeweils normiert.  
 
 
 
 
{{GraueBox|TEXT= 
 
$\text{Beispiel:}$&nbsp; Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si&ndash;förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.
 
 
 
Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die erste Nullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}
 
  
  
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===Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
 
===Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
*Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] gegeben:
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*Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist durch das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; gegeben:
 
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
 
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
 
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$  
 
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$  
  
*Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
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*Um aus der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; berechnen zu können, benötigt man das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
 
:$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
 
:$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
 
{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm  Inverse \ Fouriertransformation.$$  
 
{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm  Inverse \ Fouriertransformation.$$  
  
*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
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*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.&nbsp; Somit gilt:
 
:$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
 
:$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
*$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
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*$x(t)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise&nbsp; $x(t)$&nbsp; in&nbsp; $\rm V$,&nbsp; $X(f)$&nbsp; in&nbsp; $\rm V/Hz$.
*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Frequenzgang & Impulsantwort]] basiert auf dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
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*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet&nbsp; [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang & Impulsantwort]]&nbsp; basiert auf dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
*Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden.
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*Alle Zeiten sind auf eine Zeit&nbsp; $T$&nbsp; normiert und alle Frequenzen auf&nbsp; $1/T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; die Spektralwerte&nbsp; $X(f)$&nbsp; müssen noch mit der Normierungszeit&nbsp; $T$&nbsp; multipliziert werden.
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel:}$&nbsp; Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si&ndash;förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.
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$\text{Beispiel:}$ &nbsp; Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude&nbsp; $A_1 = 1$&nbsp; und äquivalenter Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_1 = 1$&nbsp; ein, so ist&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $-0.5 < t < +0.5$&nbsp; gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null.&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; verläuft&nbsp; $\rm si$&ndash;förmig mit&nbsp; $X_1(f= 0) = 1$&nbsp; und der ersten Nullstelle bei&nbsp; $f=1$.
  
Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}
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*Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit&nbsp; $A = K = 3 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$&nbsp; nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit&nbsp; $K = 3 \ \rm V$&nbsp; und alle Spektralwerte mit&nbsp; $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$&nbsp; zu multiplizieren.  
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*Der maximale Spektralwert ist dann&nbsp; $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$&nbsp; und die erste Nullstelle liegt bei&nbsp; $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}
  
  
===Gaußimpuls  &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; Gaussian Pulse ===
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===Gaußimpuls  &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; Gaussian pulse ===
  
*Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:  
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*Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe&nbsp; $K$&nbsp; und der (äquivalenten) Dauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; lautet:  
:$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$
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:$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$
*Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
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*Die äquivalente Zeitdauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
*Der Wert bei $t = \Delta t/2$ ist um den Faktor $0.456$ kleiner als der Wert bei $t=0$.
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*Der Wert bei&nbsp; $t = \Delta t/2$&nbsp; ist um den Faktor&nbsp; $0.456$&nbsp; kleiner als der Wert bei&nbsp; $t=0$.
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$
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:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
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*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
*Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
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*Sowohl&nbsp; $x(t)$&nbsp; als auch&nbsp; $X(f)$&nbsp; sind zu keinem&nbsp; $f$&ndash; &nbsp;bzw.&nbsp; $t$&ndash;Wert exakt gleich Null.
*Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch  in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.
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*Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch  in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden.&nbsp; Zum Beispiel ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; bereits bei&nbsp; $t=1.5 \Delta t$&nbsp; auf weniger als&nbsp; $0.1\% $&nbsp; des Maximums abgefallen.
  
===Rechteckimpuls  &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp;  Rectangular  Pulse  ===
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
 
  
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \\  {\rm{f\ddot{u}r}} \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
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===Rechteckimpuls   &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; Rectangular pulse   ===
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*Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe&nbsp; $K$&nbsp; und der (äquivalenten) Dauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; lautet:
  
*Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
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:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
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*Der&nbsp; $\pm \Delta t/2$&ndash;Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
 
*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
 
*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
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:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
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*Der Spektralwert bei&nbsp; $f=0$&nbsp; ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
+
*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen&nbsp; $1/\Delta t$.
*Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.
+
*Das Integral über der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t=0$, also der Impulshöhe&nbsp; $K$.
  
===Triangular  Pulse $\Rightarrow$ Dreieckimpuls===
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
 
  
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$$
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===Dreieckimpuls $\Rightarrow$ Triangular  pulse===
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*Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe&nbsp; $K$&nbsp; und der (äquivalenten) Dauer&nbsp; $\Delta t$&nbsp; lautet:
  
*Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$, d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
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:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t})  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$$
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*Die absolute Zeitdauer ist&nbsp; $2 \cdot \Delta t$;&nbsp; diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
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:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t \Rightarrow X(f)$ beinhaltet anstelle der $si$-Funktion die $si^2$-Funktion.
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*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite&nbsp; $\Delta t$.
*$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
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*Daraus folgt:&nbsp; $X(f)$&nbsp; beinhaltet anstelle der&nbsp; ${\rm si}$-Funktion die&nbsp; ${\rm si}^2$-Funktion.
*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.
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*$X(f)$&nbsp; weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen&nbsp; $1/\Delta f$&nbsp; auf.
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*Der asymptotische Abfall von&nbsp; $X(f)$&nbsp; erfolgt hier mit&nbsp; $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit&nbsp; $1/f$&nbsp; abfällt.
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===Trapezoidal  Pulse $\Rightarrow$ Trapezimpuls===
 
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
 
  
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
+
===Trapezimpuls  &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp;  Trapezoidal  pulse  ===
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Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe&nbsp; $K$&nbsp; und den Zeitparametern&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; lautet:
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:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\  {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\  {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
  
*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
+
*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: &nbsp; $\Delta t = t_1+t_2$.
 
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
 
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
+
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Dreieckimpuls.
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*Der Sonderfall&nbsp; $r=0$&nbsp; entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall&nbsp; $r=1$&nbsp; dem Dreieckimpuls.
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
+
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).
+
*Der asymptotische Abfall von&nbsp; $X(f)$&nbsp; liegt zwischen&nbsp; $1/f$&nbsp; $($für Rechteck,&nbsp; $r=0)$&nbsp; und&nbsp; $1/f^2$&nbsp; $($für Dreieck,&nbsp; $r=1)$.
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===Cosine-rolloff   Pulse $\Rightarrow$ Cosinus-Rolloff-Impuls===
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===Cosinus-Rolloff-Impuls   &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp;  Cosine roll-off pulse  ===
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
+
Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe&nbsp; $K$&nbsp; und den Zeitparametern&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; lautet:
  
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
+
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K  \\  K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\  {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\  {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,}  \\  {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.}  \\ \end{array}$$
  
*Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
+
*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: &nbsp; $\Delta t = t_1+t_2$.
 
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
 
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
+
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Cosinus$^2$-Impuls.
+
*Der Sonderfall&nbsp; $r=0$&nbsp; entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall&nbsp; $r=1$&nbsp; dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
+
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.
+
*Je größer der Rolloff-Faktor&nbsp; $r$&nbsp; ist, desto schneller nimmt&nbsp; $X(f)$&nbsp; asymptotisch mit&nbsp; $f$&nbsp; ab.
  
'''cos<sup>2</sup>-rolloff  $\Rightarrow$ Cosinus-Quadrat-Impuls'''
 
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:
 
  
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$$
+
===Cosinus-Quadrat-Impuls &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp;  Cosine square pulse===
 +
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für&nbsp; $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:
 +
 
 +
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big)  \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\    {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.}  \\ \end{array}$$
  
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
+
:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big  [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Wegen der letzten $si$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
+
*Wegen der letzten&nbsp; ${\rm si}$-Funktion ist&nbsp; $X(f)=0$&nbsp; für alle Vielfachen von&nbsp; $F=1/\Delta t$.&nbsp; Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
*Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
+
*Aufgrund des Klammerausdrucks weist&nbsp; $X(f)$&nbsp; nun weitere Nulldurchgänge bei&nbsp; $f=\pm1.5 F$,&nbsp; $\pm2.5 F$,&nbsp; $\pm3.5 F$, ... auf.
*Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
+
*Für die Frequenz&nbsp; $f=\pm F/2$&nbsp; erhält man die Spektralwerte&nbsp; $K\cdot \Delta t/2$.
*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.
+
*Der asymptotische Abfall von&nbsp; $X(f)$&nbsp; verläuft in diesem Sonderfall mit&nbsp; $1/f^3$.
  
==Vorschlag für die Versuchsdurchführung==
+
==Versuchsdurchführung==
 
<br>
 
<br>
&bdquo;Rot&rdquo; bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_1(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$ und &bdquo;Blau&rdquo; den zweiten &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_2(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
+
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; $(1,\ 2$, ... $)$&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
 +
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Die Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 +
*&bdquo;Rot&rdquo; bezieht sich auf den ersten Parametersatz &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_1(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$&nbsp; und &bdquo;Blau&rdquo; auf den zweiten Parametersatz &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_2(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
 +
*Werte betragsmäßig kleiner&nbsp; $0.0005$&nbsp; werden im Programm zu Null gesetzt.<br>
 +
 
  
 
  {{BlaueBox|TEXT=   
 
  {{BlaueBox|TEXT=   
'''(1)''' &nbsp; Vergleichen Sie den roten Gaußimpuls $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem blauen Rechteckimpuls $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Voreinstellung.
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'''(1)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''roten Gaußimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$&nbsp; mit dem &nbsp;'''blauen Rechteckimpuls'''&nbsp; $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Voreinstellung.
<br>Welche Unterschiede erkennt man im Zeit- und im Frequenzbereich?}}
+
<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Welche Unterschiede erkennt man im Zeit- und im Frequenzbereich?}}
  
*Der Gaußimpuls reicht sowohl im Zeit&ndash; als auch im Frequenzbereich theoretisch bis ins Unendliche. Praktisch sind aber $x_1(t)$ für $|t| > 1.5$ und $X_1(t)$ für $|f| > 1.5$ nahezu Null.
+
*Der Gaußimpuls reicht sowohl im Zeit&ndash; als auch im Frequenzbereich theoretisch bis ins Unendliche.  
*Der Rechteckimpuls ist zeitlich steng begrenzt: $x_2(|t| \ge 0.5) \equiv 0$, während  $X_2(f)$ in einem sehr viel größeren Bereich als $X_1(f)$ betragsmäßige Anteile besitzt.  
+
*Praktisch sind aber&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; für&nbsp; $|t| > 1.5$&nbsp; und&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; für&nbsp; $|f| > 1.5$&nbsp; nahezu Null.
*Es gilt $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$, weil das Integral über den Gaußimpuls $x_1(t)$ wie das Integral über den Rechteckimpuls $x_2(t)$.
+
*Das Rechteck ist zeitlich steng begrenzt:&nbsp; $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$.&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; hat in einem viel größeren Bereich als&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; Anteile.  
 +
*Es gilt&nbsp; $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$, weil das Integral über den Gaußimpuls&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; gleich dem Integral über den Rechteckimpuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; ist.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(2)''' &nbsp; Vergleichen Sie den roten Gaußimpuls $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem blauen Rechteckimpuls $(A_2 = 1,\Delta t_2)$ und variieren Sie $\Delta t_2$ zwischen $0.5$ und $2$. Interpretieren Sie die dargestellten Graphen.}}
+
'''(2)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''roten Gaußimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$&nbsp; mit dem&nbsp; '''blauen Rechteckimpuls'''&nbsp; $(A_2 = 1,\Delta t_2)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Variieren Sie die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0.5$&nbsp; und&nbsp; $2$.&nbsp; Interpretieren Sie die dargestellten Graphen.}}
 +
 
 +
*Man erkennt das [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].&nbsp; Je größer&nbsp; $\Delta t_2$&nbsp; ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion&nbsp; $X_2(f)$.
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*Bei jeder Einstellung von&nbsp; $\Delta t_2$&nbsp; sind die Zeitsignalwerte&nbsp;  $x_1(t= 0)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t=0)$&nbsp; gleich &nbsp; &rArr;  &nbsp; Auch die Integrale über&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; und&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; sind identisch.
  
*Man erkennt das [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_2$ ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion $X_2(f)$.
 
*Da bei jeder Einstellung von $\Delta t_2$ die Zeitsignalwerte bei $t=0$
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo;  und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
+
'''(3)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''roten Rechteckimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$&nbsp; mit dem &nbsp;'''blauen Rechteckimpuls'''&nbsp; $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Variieren Sie&nbsp$\Delta t_2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0.05$&nbsp; und&nbsp; $2$.&nbsp; Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis.}}
 +
 
 +
*Das blaue Spektrum ist nun doppelt so breit wie das rote, aber nur halb so hoch.&nbsp; Erste Nullstelle von&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; bei&nbsp; $f =1$&nbsp; und von&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; erst bei&nbsp; $f =2$.
 +
*Verkleinerung von&nbsp; $\Delta t_2$:&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; immer niedriger und breiter.&nbsp; Sehr flacher Verlauf bei&nbsp; $\Delta t_2 = 0.05$:&nbsp; $X_2(f = 0)= 0.05$,&nbsp; $X_2(f = \pm 3)= 0.048$.
 +
*Würde man&nbsp; $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$&nbsp; wählen (im Programm nicht möglich), so ergäbe sich das nahezu konstante, sehr kleine Spektrum&nbsp; $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.
 +
*Erhöht man die Amplitude auf&nbsp; $A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion&nbsp; $X_2(f) = 1$&nbsp; der [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]&nbsp; $\delta(t)$.&nbsp; Das bedeutet:
 +
* $\delta(t)$&nbsp; ist durch ein Rechteck mit Breite&nbsp; $\Delta t = \varepsilon \to 0$&nbsp; und Höhe&nbsp; $A = 1/\varepsilon \to \infty$&nbsp; approximierbar. Das Diracgewicht ist Eins:&nbsp; $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. Dann gilt aufgrund der zweiten Schwingung  $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
+
'''(4)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''Rechteckimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$&nbsp;  mit dem &nbsp;'''Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.&nbsp; Interpretieren Sie die Spektalfunktionen.}}
 +
 
 +
*Das (normierte) Spektrum des Rechtecks&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit den (normierte) Parametern&nbsp; $A_1 = 1, \ \Delta t_1 = 1$&nbsp; lautet:&nbsp; $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
 +
* Die Faltung des Rechtecks&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit sich selbst ergibt das  Dreieck&nbsp; $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$.&nbsp; Nach dem [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt somit&nbsp; $X_2(f) =  \big [X_1(f)\big]^2 $.
 +
*Durch das Quadrieren der&nbsp; $\rm si$&ndash;förmigen Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; bleiben die Nullstellen in&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; erhalten.&nbsp; Es gilt aber nun&nbsp; $X_2(f) \ge 0$.
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store&rdquo;:}}
+
'''(5)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''Trapezimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$&nbsp; mit dem &nbsp;'''Dreieckimpuls'''&nbsp; $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Variieren Sie&nbsp; $r_1$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.&nbsp; Interpretieren Sie die Spektalfunktion&nbsp; $X_1(f)$.}}
 +
 
 +
*Der  Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor&nbsp; $r_1= 0$&nbsp; ist identisch mit dem Rechteckimpuls.&nbsp; Das &bdquo;normierte Spektrum&rdquo; lautet:&nbsp; $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
 +
*Der  Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor&nbsp; $r_1= 1$&nbsp; ist identisch mit dem Dreieckimpuls.&nbsp; Das &bdquo;normierte Spektrum&rdquo; lautet:&nbsp; $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
 +
*In beiden Fällen besitzt&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; äquidistante Nulldurchgänge bei&nbsp; $\pm 1$, $\pm 2$, ... (sonst keine).&nbsp; Mit&nbsp; $0 < r_1 < 1$&nbsp; gibt es abhängig von&nbsp;  $r_1$&nbsp; weitere Nulldurchgänge.
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store&rdquo;:}}
+
'''(6)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''Trapezimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$&nbsp;     mit dem &nbsp;'''Cosinus-Rolloff-Impuls'''&nbsp; $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Variieren  Sie&nbsp; $r_2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.&nbsp; Interpretieren Sie die Spektalfunktion&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; für&nbsp; $r_2 = 0.7$.}}
 +
 
 +
*Bei gleichem&nbsp; $r= 0.5$&nbsp; besitzt der Cosinus-Rolloff-Impuls&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; &rArr; &nbsp;für&nbsp; $f > 1$ betragsmäßig größere Anteile als der Trapezimpuls.
 +
*Bei gleichem Rolloff-Faktor&nbsp; $(r_1 = r_2= 0.5)$&nbsp; verläuft der Abfall von&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; um die Frequenz&nbsp; $f = 0.5$&nbsp; steiler als der Abfall von&nbsp; $X_1(f)$.
 +
*Mit&nbsp; $r_1 = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $r_2 = 0.7$&nbsp; gilt&nbsp;  $x_1(t) \approx x_2(t)$&nbsp; und damit auch&nbsp; $X_1(f) \approx X_2(f)$.&nbsp; Vergleichbare Flankensteilheit.
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{:}$}}
+
'''(7)''' &nbsp; Vergleichen Sie den &nbsp;'''roten Trapezimpuls'''&nbsp; $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$&nbsp;  mit dem&nbsp; '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls'''&nbsp; $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_2 = 1)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Interpretieren Sie die Zeitfunktion&nbsp;  $x_2(t)$&nbsp; und die Spektralfunktion&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; systemtheoretisch.}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert wird mit $x_{\rm max} = 1.39 \ \rm V$ angegeben.
+
*Es handelt sich bei&nbsp; $x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t|  \le 1$&nbsp; um den Cosinus-Quadrat-Impuls.&nbsp; Nulldurchgänge bei&nbsp; $f = \pm 1$,&nbsp; $\pm 2$, ...
 +
*Für die Frequenz&nbsp; $f=\pm 0.5$&nbsp; erhält man die Spektralwerte&nbsp; $X_2(f)=0.5$.&nbsp; Der asymptotische Abfall verläuft hier mit&nbsp; $1/f^3$.
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
 
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$.
+
==Zur Handhabung des Programms==
 +
 
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[[Datei:EN Impulse Man neu.png |right|frame|Bildschirmabzug&nbsp; $($englische Version,&nbsp; heller Hintergrund$)$]]
 +
 
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 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
 +
:* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
 +
:*  Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
 +
:*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
 +
:*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für die Impulsform&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; (rote Kurve)
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Parameterfestlegung für&nbsp; $x_1(t)$&nbsp;
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für&nbsp; $x_1(t_*)$&nbsp; und&nbsp; $X_1(f_*)$
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für die Impulsform&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; (blaue Kurve)
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Parameterfestlegung für&nbsp; $x_2(t)$&nbsp;
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für&nbsp; $x_2(t_*)$&nbsp; und&nbsp; $X_2(f_*)$
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit&nbsp; $t_*$&nbsp;  für die Numerikausgabe
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Frequenz&nbsp; $f_*$&nbsp; für die Numerikausgabe
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Aufgabenbeschreibung und Fragestellung
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(N)''' &nbsp; &nbsp; Musterlösung anzeigen und verbergen
 +
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
+
'''Details zu den obigen Punkten&nbsp; (J&nbsp;) und&nbsp; (K)'''
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
+
 +
<u>Zoom&ndash;Funktionen:</u><br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),&nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern),&nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$.
+
<u>Verschiebe&ndash;Funktionen:</u> &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; &nbsp;bedeutet: &nbsp; &nbsp; Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts
  
 +
<b>Andere Möglichkeiten:</b>
  
 +
*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
 +
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 +
<br clear = all>
  
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
 
<br>
 
  
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).  
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*Die erste Version wurde 2005 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).  
*2017 wurde &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  von [[David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28am_LNT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
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*2017 wurde &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]]&nbsp; im Rahmen seiner Ingenieurspraxis&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]])&nbsp; auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
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*Letztmalige Überarbeitung 2020 durch&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.
  
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
{{LntAppletLink|spektrum|Applet in neuem Tab öffnen}}
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{{LntAppletLinkDeEn|pulsesAndSpectra|pulsesAndSpectra_en}}
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Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 11:06 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version

Programmbeschreibung


Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse”  $x(t)$  und die dazugehörigen Spektralfunktionen  $X(f)$, nämlich

  • Gaußimpuls  (englisch:  Gaussian pulse),
  • Rechteckimpuls  (englisch:  Rectangular pulse),
  • Dreieckimpuls  (englisch:  Triangular pulse),
  • Trapezimpuls  (englisch:  Trapezoidal pulse),
  • Cosinus–Rolloff–Impuls  (englisch:  Cosine roll-off pulse).
  • Cosinus-Quadrat-Impuls   (englisch:  Cosine square pulse).


Weiter ist zu beachten:

  • Die Funktionen  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
  • Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
  • Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $x(t)$  (Signalwerte) bzw.  $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.


Theoretischer Hintergrund


Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$

  • Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion  $x(t)$  und dem Spektrum  $X(f)$  ist durch das  erste Fourierintegral  gegeben:
$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$
  • Um aus der Spektralfunktion  $X(f)$  die Zeitfunktion  $x(t)$  berechnen zu können, benötigt man das  zweite Fourierintegral:
$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$
  • In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.  Somit gilt:
$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
  • $x(t)$  und  $X(f)$  haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise  $x(t)$  in  $\rm V$,  $X(f)$  in  $\rm V/Hz$.
  • Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet  Frequenzgang & Impulsantwort  basiert auf dem  Vertauschungssatz.
  • Alle Zeiten sind auf eine Zeit  $T$  normiert und alle Frequenzen auf  $1/T$   ⇒   die Spektralwerte  $X(f)$  müssen noch mit der Normierungszeit  $T$  multipliziert werden.


$\text{Beispiel:}$   Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude  $A_1 = 1$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t_1 = 1$  ein, so ist  $x_1(t)$  im Bereich  $-0.5 < t < +0.5$  gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null.  Die Spektralfunktion  $X_1(f)$  verläuft  $\rm si$–förmig mit  $X_1(f= 0) = 1$  und der ersten Nullstelle bei  $f=1$.

  • Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit  $A = K = 3 \ \rm V$  und  $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$  nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit  $K = 3 \ \rm V$  und alle Spektralwerte mit  $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$  zu multiplizieren.
  • Der maximale Spektralwert ist dann  $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$  und die erste Nullstelle liegt bei  $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.


Gaußimpuls   $\Rightarrow$   Gaussian pulse

  • Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$
  • Die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
  • Der Wert bei  $t = \Delta t/2$  ist um den Faktor  $0.456$  kleiner als der Wert bei  $t=0$.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$
  • Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer.
  • Sowohl  $x(t)$  als auch  $X(f)$  sind zu keinem  $f$–  bzw.  $t$–Wert exakt gleich Null.
  • Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden.  Zum Beispiel ist  $x(t)$  bereits bei  $t=1.5 \Delta t$  auf weniger als  $0.1\% $  des Maximums abgefallen.


Rechteckimpuls   $\Rightarrow$   Rectangular pulse

  • Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$
  • Der  $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
  • Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
  • Der Spektralwert bei  $f=0$  ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
  • Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta t$.
  • Das Integral über der Spektralfunktion  $X(f)$  ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt  $t=0$, also der Impulshöhe  $K$.


Dreieckimpuls $\Rightarrow$ Triangular pulse

  • Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t}) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$
  • Die absolute Zeitdauer ist  $2 \cdot \Delta t$;  diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
  • Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite  $\Delta t$.
  • Daraus folgt:  $X(f)$  beinhaltet anstelle der  ${\rm si}$-Funktion die  ${\rm si}^2$-Funktion.
  • $X(f)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
  • Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  erfolgt hier mit  $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit  $1/f$  abfällt.


Trapezimpuls   $\Rightarrow$   Trapezoidal pulse

Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$
  • Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
  • Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
  • Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Dreieckimpuls.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
  • Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  liegt zwischen  $1/f$  $($für Rechteck,  $r=0)$  und  $1/f^2$  $($für Dreieck,  $r=1)$.


Cosinus-Rolloff-Impuls   $\Rightarrow$   Cosine roll-off pulse

Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$
  • Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
  • Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
  • Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
  • Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $X(f)$  asymptotisch mit  $f$  ab.


Cosinus-Quadrat-Impuls   $\Rightarrow$   Cosine square pulse

  • Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für  $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
  • Wegen der letzten  ${\rm si}$-Funktion ist  $X(f)=0$  für alle Vielfachen von  $F=1/\Delta t$.  Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
  • Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $X(f)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $f=\pm1.5 F$,  $\pm2.5 F$,  $\pm3.5 F$, ... auf.
  • Für die Frequenz  $f=\pm F/2$  erhält man die Spektralwerte  $K\cdot \Delta t/2$.
  • Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/f^3$.

Versuchsdurchführung


  • Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
  • „Rot” bezieht sich auf den ersten Parametersatz   ⇒   $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$  und „Blau” auf den zweiten Parametersatz   ⇒   $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
  • Werte betragsmäßig kleiner  $0.0005$  werden im Programm zu Null gesetzt.


(1)   Vergleichen Sie den  roten Gaußimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  blauen Rechteckimpuls  $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$   ⇒   Voreinstellung.
          Welche Unterschiede erkennt man im Zeit- und im Frequenzbereich?

  • Der Gaußimpuls reicht sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich theoretisch bis ins Unendliche.
  • Praktisch sind aber  $x_1(t)$  für  $|t| > 1.5$  und  $X_1(f)$  für  $|f| > 1.5$  nahezu Null.
  • Das Rechteck ist zeitlich steng begrenzt:  $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$.  $X_2(f)$  hat in einem viel größeren Bereich als  $X_1(f)$  Anteile.
  • Es gilt  $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$, weil das Integral über den Gaußimpuls  $x_1(t)$  gleich dem Integral über den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  ist.


(2)   Vergleichen Sie den  roten Gaußimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  blauen Rechteckimpuls  $(A_2 = 1,\Delta t_2)$.
          Variieren Sie die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_2$  zwischen  $0.5$  und  $2$.  Interpretieren Sie die dargestellten Graphen.

  • Man erkennt das Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer.  Je größer  $\Delta t_2$  ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion  $X_2(f)$.
  • Bei jeder Einstellung von  $\Delta t_2$  sind die Zeitsignalwerte  $x_1(t= 0)$  und  $x_2(t=0)$  gleich   ⇒   Auch die Integrale über  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  sind identisch.


(3)   Vergleichen Sie den  roten Rechteckimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  blauen Rechteckimpuls  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$.
          Variieren Sie  $\Delta t_2$  zwischen  $0.05$  und  $2$.  Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis.

  • Das blaue Spektrum ist nun doppelt so breit wie das rote, aber nur halb so hoch.  Erste Nullstelle von  $X_1(f)$  bei  $f =1$  und von  $X_2(f)$  erst bei  $f =2$.
  • Verkleinerung von  $\Delta t_2$:  $X_2(f)$  immer niedriger und breiter.  Sehr flacher Verlauf bei  $\Delta t_2 = 0.05$:  $X_2(f = 0)= 0.05$,  $X_2(f = \pm 3)= 0.048$.
  • Würde man  $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$  wählen (im Programm nicht möglich), so ergäbe sich das nahezu konstante, sehr kleine Spektrum  $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.
  • Erhöht man die Amplitude auf  $A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion  $X_2(f) = 1$  der Diracfunktion  $\delta(t)$.  Das bedeutet:
  • $\delta(t)$  ist durch ein Rechteck mit Breite  $\Delta t = \varepsilon \to 0$  und Höhe  $A = 1/\varepsilon \to \infty$  approximierbar. Das Diracgewicht ist Eins:  $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.


(4)   Vergleichen Sie den  Rechteckimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  Dreieckimpuls $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktionen.

  • Das (normierte) Spektrum des Rechtecks  $x_1(t)$  mit den (normierte) Parametern  $A_1 = 1, \ \Delta t_1 = 1$  lautet:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
  • Die Faltung des Rechtecks  $x_1(t)$  mit sich selbst ergibt das Dreieck  $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$.  Nach dem Faltungssatz gilt somit  $X_2(f) = \big [X_1(f)\big]^2 $.
  • Durch das Quadrieren der  $\rm si$–förmigen Spektralfunktion  $X_1(f)$  bleiben die Nullstellen in  $X_2(f)$  erhalten.  Es gilt aber nun  $X_2(f) \ge 0$.


(5)   Vergleichen Sie den  Trapezimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  mit dem  Dreieckimpuls  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.
         Variieren Sie  $r_1$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktion  $X_1(f)$.

  • Der Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor  $r_1= 0$  ist identisch mit dem Rechteckimpuls.  Das „normierte Spektrum” lautet:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
  • Der Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor  $r_1= 1$  ist identisch mit dem Dreieckimpuls.  Das „normierte Spektrum” lautet:  $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
  • In beiden Fällen besitzt  $X_1(f)$  äquidistante Nulldurchgänge bei  $\pm 1$, $\pm 2$, ... (sonst keine).  Mit  $0 < r_1 < 1$  gibt es abhängig von  $r_1$  weitere Nulldurchgänge.


(6)   Vergleichen Sie den  Trapezimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  mit dem  Cosinus-Rolloff-Impuls  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$.
         Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktion  $X_2(f)$  für  $r_2 = 0.7$.

  • Bei gleichem  $r= 0.5$  besitzt der Cosinus-Rolloff-Impuls  $X_2(f)$  ⇒  für  $f > 1$ betragsmäßig größere Anteile als der Trapezimpuls.
  • Bei gleichem Rolloff-Faktor  $(r_1 = r_2= 0.5)$  verläuft der Abfall von  $X_2(f)$  um die Frequenz  $f = 0.5$  steiler als der Abfall von  $X_1(f)$.
  • Mit  $r_1 = 0.5$  und  $r_2 = 0.7$  gilt  $x_1(t) \approx x_2(t)$  und damit auch  $X_1(f) \approx X_2(f)$.  Vergleichbare Flankensteilheit.


(7)   Vergleichen Sie den  roten Trapezimpuls  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$  mit dem  blauen Cosinus-Rolloff-Impuls  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_2 = 1)$.
          Interpretieren Sie die Zeitfunktion  $x_2(t)$  und die Spektralfunktion  $X_2(f)$  systemtheoretisch.

  • Es handelt sich bei  $x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t| \le 1$  um den Cosinus-Quadrat-Impuls.  Nulldurchgänge bei  $f = \pm 1$,  $\pm 2$, ...
  • Für die Frequenz  $f=\pm 0.5$  erhält man die Spektralwerte  $X_2(f)=0.5$.  Der asymptotische Abfall verläuft hier mit  $1/f^3$.


Zur Handhabung des Programms

Bildschirmabzug  $($englische Version,  heller Hintergrund$)$


    (A)     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)

  • Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
  • Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
  • Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
  • Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    (B)     Vorauswahl für die Impulsform  $x_1(t)$  (rote Kurve)

    (C)     Parameterfestlegung für  $x_1(t)$ 

    (D)     Numerikausgabe für  $x_1(t_*)$  und  $X_1(f_*)$

    (E)     Vorauswahl für die Impulsform  $x_2(t)$  (blaue Kurve)

    (F)     Parameterfestlegung für  $x_2(t)$ 

    (G)     Numerikausgabe für  $x_2(t_*)$  und  $X_2(f_*)$

    (H)     Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    (I)     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    (J)     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    (K)     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    (L)     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    (M)     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    (N)     Musterlösung anzeigen und verbergen


Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)

Zoom–Funktionen:
       „$+$” (Vergrößern),      „$-$” (Verkleinern),      „$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     „$\leftarrow$”     „$\uparrow$”     „$\downarrow$”     „$\rightarrow$”
        „$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

  • Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
  • Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.



Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2005 von  Ji Li  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  Günter Söder  und  Klaus Eichin).
  • 2017 wurde „Impulse & Spektren” von  David Jobst  im Rahmen seiner Ingenieurspraxis  (Betreuer:  Tasnád Kernetzky)  auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
  • Letztmalige Überarbeitung 2020 durch  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

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