Aufgaben:Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Juli 2022, 16:22 Uhr

Kanalübergangswahrscheinlichkeiten

Zur Verdeutlichung von "Maximum–a–posteriori" $\rm (MAP)$ – und "Maximum–Likelihood" $\rm (ML)$ –Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten $m_0 = 0$ und $m_1 = 1$ , die durch die Signalwerte $s_0$ bzw. $s_1$ dargestellt werden:

$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$

$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$

Die Auftrittswahrscheinlichkeiten seien:

${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$

Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich

$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$

Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.

Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:

der Maximum–Likelihood–Empfänger $\rm (ML$ –Empfänger $)$ , der die Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s = s_i)$ nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:

$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$

der Maximum–a–posteriori–Empfänger $\rm (MAP$ –Empfänger $)$ ; dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:

$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho |s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Optimale Empfängerstrategien".

Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Struktur des optimalen Empfängers".

Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel "Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit" des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

${\rm Pr}(r = +1) \ = \$

${\rm Pr}(r = -1) \ = \$

${\rm Pr}(r = 0) \hspace{0.45cm} = \$

${\rm Pr}(s_0|r = +1) \ = \$

${\rm Pr}(s_1|r = +1) \ = \$

${\rm Pr}(s_0|r = -1) \ = \$

${\rm Pr}(s_1|r = -1) \ = \$

${\rm Pr}(s_0|r = 0) \hspace{0.45cm} = \$

${\rm Pr}(s_1|r = 0) \hspace{0.45cm} = \$

	ja,
	nein.

	ja,
	nein.

	Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_0$ .
	Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_1$ .
	Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_0$ .
	Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_1$ .

${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \$

Musterlösung

(1) Die gesuchten empfängerseitigen Auftrittswahrscheinlichkeiten sind

${\rm Pr} ( r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_0) \cdot {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = +1) = 0.75 \cdot 0.8 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.6}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} ( r = -1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_1) \cdot {\rm Pr} ( r = -1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = -1) = 0.25 \cdot 0.6 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$

Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:

${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$

(2) Für die erste gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit gilt:

${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = \frac{{\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = +1)} = \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$

Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:

${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{{\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = 0 )}= \frac{0.2 \cdot 0.75}{0.25} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1- {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.4} \hspace{0.05cm}.$

(3) Es gelte $r = +1$ . Dann entscheidet sich

der MAP–Empfänger für $s_0$ , da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$

der ML–Empfänger ebenfalls für $s_0$ , da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$

Richtig ist also NEIN.

(4) NEIN gilt auch unter der Voraussetzung „ $r = \, –1$ ”, da keine Verbindung zwischen $s_0$ und „ $r = \, –1$ ” besteht.

(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis $s_0$ , da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
Dagegen wird sich der ML–Empfänger für $s_1$ entscheiden, da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$

(6) Der Maximum–Likelihood–Empfänger

entscheidet sich nur für $s_0$ , wenn $r = +1$ ist,

macht also keinen Fehler, wenn $s_1$ gesendet wurde,

macht nur einen Fehler bei der Kombination „ $s_0$ ” und „ $r = 0$ ”:

${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15} \hspace{0.05cm}.$

(7) Der MAP–Empfänger entscheidet sich dagegen bei „ $r = 0$ ” für $s_0$ .

Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination „ $s_1$ ” und „ $r = 0$ ”. Daraus folgt:

${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger,
da nun auch die unterschiedlichen A-priori–Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s_0)$ und ${\rm Pr}(s_1)$ berücksichtigt werden.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Struktur des optimalen Empfängers}}
+[[Datei:P_ID2013__Dig_A_4_4.png|right|frame|Kanalübergangswahrscheinlichkeiten]]
+Zur Verdeutlichung von&nbsp; "Maximum–a–posteriori"&nbsp;  $\rm (MAP)$ &ndash; &nbsp; und&nbsp; "Maximum–Likelihood"&nbsp;  $\rm (ML)$ &ndash;Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten&nbsp;  $m_0 = 0$ &nbsp; und&nbsp;  $m_1 = 1$ ,&nbsp; die durch die Signalwerte&nbsp;  $s_0$ &nbsp; bzw.&nbsp;  $s_1$ &nbsp; dargestellt werden:
+: $s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$
+: $s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$
+*Die Auftrittswahrscheinlichkeiten seien:
+: ${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$
+*Das Empfangssignal kann &ndash; warum auch immer &ndash; drei verschiedene Werte annehmen,&nbsp; nämlich
+: $r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$
+*Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.
+Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.&nbsp; Zur Verfügung stehen:
+* der &nbsp;'''Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger'''&nbsp;  $\rm (ML$ &ndash;Empfänger $)$ ,&nbsp; der die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp;  ${\rm Pr}(s = s_i)$ &nbsp; nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
+:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho
+|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$
+* der &nbsp;'''Maximum&ndash;a&ndash;posteriori&ndash;Empfänger'''&nbsp;  $\rm (MAP$ &ndash;Empfänger $)$ ;&nbsp; dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
+:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r |s } \hspace{0.05cm} (\rho
+|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien| "Optimale Empfängerstrategien"]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| "Struktur des optimalen Empfängers"]].
+* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit| "Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit"]]&nbsp; des Buches&nbsp;  &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
-[[Datei:|right|]]
 ===Fragebogen===
+<quiz display=simple>
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die Empfangswerte auf?
+|type="{}"}
+ ${\rm Pr}(r = +1) \ = \$  { 0.6 3% }
+ ${\rm Pr}(r =  -1) \ = \$  { 0.15 3% }
+ ${\rm Pr}(r = 0) \hspace{0.45cm} = \$  { 0.25 3% }
-<quiz display=simple>
+{Berechnen Sie alle Rückschlusswahrscheinlichkeiten.
-{Multiple-Choice Frage
+|type="{}"}
-|type="[]"}
+ ${\rm Pr}(s_0|r = +1) \ = \$  { 1 3% }
-- Falsch
+ ${\rm Pr}(s_1|r = +1) \ = \$  { 0. }
-+ Richtig
+${\rm Pr}(s_0|r = -1) \ = \ $ { 0. }
+ ${\rm Pr}(s_1|r = -1) \ = \$  { 1 3% }
+ ${\rm Pr}(s_0|r = 0) \hspace{0.45cm} = \$  { 0.6 3% }
+ ${\rm Pr}(s_1|r = 0) \hspace{0.45cm} = \$  { 0.4 3% }
+{Unterscheiden sich MAP&ndash; und ML&ndash;Empfänger unter der Voraussetzung&nbsp; &bdquo; $r = +1$ &rdquo;?
+|type="()"}
+- ja,
++ nein.
-{Input-Box Frage
+{Unterscheiden sich MAP&ndash; und ML&ndash;Empfänger unter der Voraussetzung&nbsp; &bdquo;$r = -1$&rdquo;?
-|type="{}"}
+|type="()"}
- $\alpha$  = { 0.3 }
+- ja,
++ nein.
+{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung&nbsp; &bdquo; $r = 0$ &rdquo;?
+|type="[]"}
++ Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich für&nbsp;  $s_0$ .
+- Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich für&nbsp;  $s_1$ .
+- Der ML&ndash;Empfänger entscheidet sich für&nbsp;  $s_0$ .
++ Der ML&ndash;Empfänger entscheidet sich für&nbsp;  $s_1$ .
+{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des &nbsp; '''ML&ndash;Empfängers'''.
+|type="{}"}
+ ${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \$   { 0.15 3% }
+{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des &nbsp; '''MAP&ndash;Empfängers'''.
+|type="{}"}
+ ${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \$  { 0.1 3% }
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; Die gesuchten empfängerseitigen Auftrittswahrscheinlichkeiten sind
-'''(2)'''&nbsp;
+: ${\rm Pr} ( r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_0) \cdot {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = +1) = 0.75 \cdot 0.8 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.6}\hspace{0.05cm},$
-'''(3)'''&nbsp;
+: ${\rm Pr} ( r = -1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} ( s_1) \cdot {\rm Pr} ( r = -1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s = -1) = 0.25 \cdot 0.6  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$
-'''(4)'''&nbsp;
+: ${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$
-'''(5)'''&nbsp;
-'''(6)'''&nbsp;
+*Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:
+: ${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$
+'''(2)'''&nbsp; Für die erste gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit gilt:
+:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = \frac{{\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = +1)}
+= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
+*Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
+: ${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$
+: ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$
+: ${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = -1)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$
+: ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{{\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = 0 )}= \frac{0.2 \cdot 0.75}{0.25} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}\hspace{0.05cm},$
+: ${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1- {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.4} \hspace{0.05cm}.$
+'''(3)'''&nbsp; Es gelte&nbsp;   $r = +1$ .&nbsp; Dann entscheidet sich
+* der MAP&ndash;Empfänger für&nbsp;  $s_0$ ,&nbsp; da  ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
+* der ML&ndash;Empfänger ebenfalls für&nbsp;  $s_0$ ,&nbsp; da  ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$
+Richtig ist also&nbsp; <u>NEIN</u>.
+'''(4)'''&nbsp; <u>NEIN</u>&nbsp; gilt auch unter der Voraussetzung&nbsp; &bdquo; $r = \, &ndash;1$ &rdquo;,&nbsp; da keine Verbindung zwischen&nbsp;  $s_0$ &nbsp; und&nbsp; &bdquo; $r = \, &ndash;1$ &rdquo;&nbsp; besteht.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
+*Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich für das Ereignis&nbsp;  $s_0$ ,&nbsp; da&nbsp;  ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
+*Dagegen wird sich der ML&ndash;Empfänger für&nbsp;  $s_1$ &nbsp; entscheiden,&nbsp; da  ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$
+'''(6)'''&nbsp; Der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger
+* entscheidet sich nur für&nbsp;  $s_0$ ,&nbsp; wenn&nbsp;  $r = +1$ &nbsp; ist,
+* macht also keinen Fehler,&nbsp; wenn&nbsp;  $s_1$ &nbsp; gesendet wurde,
+* macht nur einen Fehler bei der Kombination &bdquo; $s_0$ &rdquo; und &bdquo; $r = 0$ &rdquo;:
+: ${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}  \hspace{0.05cm}.$
+'''(7)'''&nbsp; Der MAP&ndash;Empfänger entscheidet sich dagegen bei&nbsp; &bdquo; $r = 0$ &rdquo;&nbsp; für&nbsp;  $s_0$ .
+* Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination &bdquo; $s_1$ &rdquo; und &bdquo; $r = 0$ &rdquo;.&nbsp; Daraus folgt:
+: ${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}  \hspace{0.05cm}.$
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML&ndash;Empfänger,
+*da nun auch die unterschiedlichen A-priori&ndash;Wahrscheinlichkeiten&nbsp;  ${\rm Pr}(s_0)$ &nbsp; und&nbsp;  ${\rm Pr}(s_1)$ &nbsp; berücksichtigt werden.
 {{ML-Fuß}}