Aufgaben:Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes: Unterschied zwischen den Versionen

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In der Grafik sind die Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$  und die Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  charakterisiert werden:
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In der Grafik sind die Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  für verschiedene Codes angegeben,  die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$  und die Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  charakterisiert werden:
  
 
*${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
 
*${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
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:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  
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In dieser Aufgabe soll untersucht werden,  welche dieser Codes bzw. Codepaare
  
 
*systematisch sind,
 
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|"Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes"]].
  
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|"Systematische Codes"]]  sowie  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|"Identische Codes"]].
  
''Hinweise'' :
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*Anzumerken ist,  dass die Angabe einer Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  nicht eindeutig ist.  Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen,  entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.
 
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
 
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]]  sowie  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|Identische Codes]].
 
*Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  nicht eindeutig ist.  
 
*Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.
 
  
  
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{Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch?
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{Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent,  aber nicht identisch?
 
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- Code  $\rm A$  und Code  $\rm B$,
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- Code  $\rm C$  und Code  $\rm D$.
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- Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$.
  
 
{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen  $G_{\rm B}$  und  $G_{\rm C}$?
 
{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen  $G_{\rm B}$  und  $G_{\rm C}$?
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten  1, 3 und 4</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Antworten  1, 3 und 4</u>:
*Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:
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*Für einen systematischen&nbsp; $(6, 3)$–Blockcode muss gelten:
  
 
:$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
  
Diese Bedingung erfüllen die Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
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*Diese Bedingung erfüllen Code&nbsp; $\rm A$,&nbsp; Code&nbsp; $\rm C$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm D$,&nbsp; nicht aber Code&nbsp; $\rm B$.
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur&nbsp; <u>Antwort  1</u>:
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*Nur&nbsp; Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; sind identische Codes.&nbsp; Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
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*Wie in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|"Aufgabe A1.8 (3)"]] angegeben,&nbsp; gelangt man von der Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$&nbsp;  zur&nbsp; Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$ 
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:*allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,&nbsp; oder
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:*durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist somit allein&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
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*Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; sind mehr als äquivalent,&nbsp; nämlich identisch.
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*Code&nbsp; $\rm C$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm D$&nbsp; unterscheiden sich durch die minimale Hamming–Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; bzw.&nbsp; $d_{\rm min} = 2$&nbsp; und sind somit auch nicht äquivalent.
  
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*Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm C$&nbsp;  zeigen dagegen  gleiche Eigenschaften,&nbsp; beispielsweise gilt für beide&nbsp; $d_{\rm min} = 3$.&nbsp; Sie beinhalten aber andere Codeworte.
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>Antwort  1</u>:
 
*Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
 
*Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.8 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$ 
 
:*allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,
 
:*oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist somit allein <u>Antwort 2</u>:
 
*Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
 
*Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
 
*Code B und Code C zeigen dagegen  gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>:
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*Die letzte Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$&nbsp; ergibt die erste Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
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*Die erste Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$&nbsp; ergibt die zweite Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
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*Die zweite Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$&nbsp; ergibt die dritte Spalte von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$,&nbsp; usw.
  
*Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
 
*Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
 
*Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.
 
  
  
 
'''(5)'''&nbsp; Alle Aussagen treffen zu</u>:
 
'''(5)'''&nbsp; Alle Aussagen treffen zu</u>:
*Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.
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*Die Bedingung&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$&nbsp; gilt für alle linearen Codes.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 11. Juli 2022, 13:09 Uhr

Vier  $(6, 3)$–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  für verschiedene Codes angegeben,  die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$  und die Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  charakterisiert werden:

  • ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden,  welche dieser Codes bzw. Codepaare

  • systematisch sind,
  • identisch sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
  • äquivalent sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).


Hinweise:

  • Anzumerken ist,  dass die Angabe einer Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  nicht eindeutig ist.  Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen,  entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.


Fragebogen

1

Welche der nachfolgend aufgeführten Codes sind systematisch?

Code  $\rm A$,
Code  $\rm B$,
Code  $\rm C$,
Code  $\rm D$.

2

Welche der vorgegebenen Codepaare sind identisch?

Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$,
Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$,
Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$.

3

Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent,  aber nicht identisch?

Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$,
Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$,
Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$.

4

Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen  $G_{\rm B}$  und  $G_{\rm C}$?

Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um  $1$  nach unten.
Durch zyklische Vertauschung der Spalten um  $1$  nach rechts.

5

Bei welchen Codes gilt  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?

Code  $\rm A$,
Code  $\rm B$,
Code  $\rm C$,
Code  $\rm D$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Antworten 1, 3 und 4:

  • Für einen systematischen  $(6, 3)$–Blockcode muss gelten:
$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Bedingung erfüllen Code  $\rm A$,  Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$,  nicht aber Code  $\rm B$.


(2)  Richtig ist nur  Antwort 1:

  • Nur  Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$  sind identische Codes.  Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
  • Wie in der Musterlösung zur  "Aufgabe A1.8 (3)" angegeben,  gelangt man von der Generatormatrix  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur  Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
  • allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,  oder
  • durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.


(3)  Richtig ist somit allein  Antwort 2:

  • Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$  sind mehr als äquivalent,  nämlich identisch.
  • Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$  unterscheiden sich durch die minimale Hamming–Distanz  $d_{\rm min} = 3$  bzw.  $d_{\rm min} = 2$  und sind somit auch nicht äquivalent.
  • Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$  zeigen dagegen gleiche Eigenschaften,  beispielsweise gilt für beide  $d_{\rm min} = 3$.  Sie beinhalten aber andere Codeworte.



(4)  Richtig ist  Antwort 3:

  • Die letzte Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die erste Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
  • Die erste Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die zweite Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
  • Die zweite Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die dritte Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$,  usw.


(5)  Alle Aussagen treffen zu:

  • Die Bedingung  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$  gilt für alle linearen Codes.