Aufgaben:Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
Zeile 5: | Zeile 5: | ||
[[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier $(6, 3)$–Blockcodes]] | [[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier $(6, 3)$–Blockcodes]] | ||
− | In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden: | + | In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden: |
*${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$: | *${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$: | ||
Zeile 19: | Zeile 19: | ||
:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare | + | In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare |
*systematisch sind, | *systematisch sind, | ||
Zeile 27: | Zeile 27: | ||
+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|"Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes"]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|"Systematische Codes"]] sowie [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|"Identische Codes"]]. | ||
− | + | *Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen, entspricht dies der Vertauschung von Zeilen. | |
− | |||
− | * | ||
− | |||
− | |||
− | |||
Zeile 52: | Zeile 50: | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Code $\rm A$ und Code $\rm B$, | + | + Code $\rm A$ und Code $\rm B$, |
− | - Code $\rm B$ und Code $\rm C$, | + | - Code $\rm B$ und Code $\rm C$, |
− | - Code $\rm C$ und Code $\rm D$. | + | - Code $\rm C$ und Code $\rm D$. |
− | {Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch? | + | {Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Code $\rm A$ und Code $\rm B$, | + | - Code $\rm A$ und Code $\rm B$, |
− | + Code $\rm B$ und Code $\rm C$, | + | + Code $\rm B$ und Code $\rm C$, |
− | - Code $\rm C$ und Code $\rm D$. | + | - Code $\rm C$ und Code $\rm D$. |
{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\rm C}$? | {Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\rm C}$? |
Version vom 11. Juli 2022, 12:57 Uhr
In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:
- ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare
- systematisch sind,
- identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
- äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Systematische Codes" sowie "Identische Codes".
- Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen, entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:
- Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:
- $$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
(2) Richtig ist nur Antwort 1:
- Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
- Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.8 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
- allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
- durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
(3) Richtig ist somit allein Antwort 2:
- Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
- Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
- Code B und Code C zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
(4) Richtig ist Antwort 3:
- Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.
(5) Alle Aussagen treffen zu:
- Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.