Aufgaben:Aufgabe 3.12: Trellisdiagramm für zwei Vorläufer: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen von den Grundimpulswerten $g_0$, $g_{\rm –1}$ und $g_{\rm &ndash2}$ aus. Das bedeutet, dass die Entscheidung über das Symbol $a_{\rm \nu}$ auch durch die nachfolgenden Koeffizienten $a_{\rm \nu +1}$ und $a_{\rm \nu +2}$ beeinflusst wird. Damit sind für jeden Zeitpunkt $\nu$ genau $8$ Fehlergrößen $\epsilon_{\rm \nu}$ zu berechnen, aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$, ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$ berechnet werden können. Hierbei liefert beispielsweise ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ Information über das Symbol $a_{\rm \nu}$ unter der Annahme, dass $a_{\rm \nu +1} = 0$ und $a_{\rm \nu +2} = 1$ sein werden. Die minimale Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von
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Wir gehen von den Grundimpulswerten  $g_0\ne 0$,  $g_{\rm –1}\ne 0$  and  $g_{\rm –2}\ne 0$  aus:
:$${\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001) \hspace{0.15cm}{\rm und}
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*Das bedeutet,  dass die Entscheidung über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  auch durch die nachfolgenden Koeffizienten  $a_{\rm \nu +1}$  und  $a_{\rm \nu +2}$  beeinflusst wird.
  \hspace{0.15cm}{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101).$$
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*Damit sind für jeden Zeitpunkt  $\nu$  genau acht Fehlergrößen  $\varepsilon_{\rm \nu}$  zu bestimmen,  aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen   ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$  und  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$  berechnet werden können.
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*Hierbei liefert beispielsweise  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  Information über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  unter der Annahme,  dass  $a_{\rm \nu +1} = 0$  und  $a_{\rm \nu +2} = 1$  sein werden.
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*Die minimale Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von
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:$$\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001)\big] \hspace{0.15cm}{\rm und}
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  \hspace{0.15cm}\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101)\big].$$
  
Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(10)$ in den Teilaufgaben (1) und (2) soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:
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Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_2(10)$  in den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:
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* unipolare Amplitudenkoeffizienten:  $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$,
  
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* Grundimpulswerte  $g_0 = 0.5$,  $g_{\rm –1} = 0.3$,  $g_{\rm –2} = 0.2$,
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* anliegender Detektionsabtastwert:  $d_2 = 0.2$,
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* Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt  $\nu = 1$:
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:$${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{0.2cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) =
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1.2
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\hspace{0.05cm}.$$
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In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte  $\nu = 1$  bis  $\nu = 8$  dargestellt.
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*Blaue Zweige kommen entweder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$  oder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$  und kennzeichnen eine hypothetische „$0$”.
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*Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$  bzw.  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$  – auf das Symbol „$1$” hin.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|"Viterbi–Empfänger"]].  Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.
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*Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:   ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
  
===Fragebogen===
 
  
<quiz display=simple>
 
{Multiple-Choice Frage
 
|type="[]"}
 
- Falsch
 
+ Richtig
 
  
  
{Input-Box Frage
+
===Fragebogen===
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<quiz display=simple>
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{Berechnen Sie die folgenden Fehlergrößen:
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$\varepsilon_2(010) \ = \ $ { 0.01 3% }
 
+
$\varepsilon_2(011) \ = \ $ { 0.09 3% }
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$\varepsilon_2(110) \ = \ $ { 0.36 3% }
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$\varepsilon_2(111) \ = \ $ { 0.64 3% }
  
 +
{Berechnen Sie die folgenden minimalen Gesamtfehlergrößen:
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|type="{}"}
 +
${\it \Gamma}_2(10) \ = \ $ { 0.21 3% }
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${\it \Gamma}_2(11) \ = \ $ { 0.29 3% }
  
 +
{Wie lauten die vom Viterbi&ndash;Empfänger ausgegebene Symbole?
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|type="[]"}
 +
+ Die ersten sieben Symbole sind &nbsp;"$1011010$".
 +
- Die ersten sieben Symbole sind &nbsp;"$1101101$".
 +
- Das letzte Symbol &nbsp;$a_8 = 1$&nbsp; ist sicher.
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+ Über das Symbol &nbsp;$a_8$&nbsp; ist noch keine endgültige Aussage möglich.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
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'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Die erste Fehlergröße wird wie folgt berechnet:
'''2.'''
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:$$\varepsilon_{2}(010)  = [d_0 - 0 \cdot g_0 - 1 \cdot g_{-1}- 0 \cdot g_{-2}]^2= [0.2 -0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.01}
'''3.'''
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  \hspace{0.05cm}.$$
'''4.'''
+
 
'''5.'''
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Entsprechend gilt für die weiteren Fehlergrößen:
'''6.'''
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:$$\varepsilon_{2}(011) \ = \  [0.2 -0.3- 0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.09}\hspace{0.05cm},$$
'''7.'''
+
:$$\varepsilon_{2}(110) \ = \  [0.2 -0.5- 0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.36}\hspace{0.05cm},$$
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:$$\varepsilon_{2}(111) \ = \  [0.2 -0.5- 0.3-0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.64}
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  \hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Die Aufgabe ist,&nbsp; jeweils den minimalen Wert von zwei Vergleichswerten zu finden:
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:$${\it \Gamma}_{2}(10) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(010),
 +
\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(110)\right] =  {\rm Min}\left[0.2+ 0.01, 1.2 + 0.36\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.21}
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\hspace{0.05cm},$$
 +
:$${\it \Gamma}_{2}(11) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(011),
 +
\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(111)\right] =  {\rm Min}\left[0.2+ 0.09, 1.2 + 0.64\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.29}
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\hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind der&nbsp; <u>erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>:
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*Die Folge&nbsp; "$1011010$"&nbsp; erkennt man aus dem durchgehenden Pfad:  &nbsp; &nbsp; &bdquo;Rot &ndash; Blau &ndash; Rot &ndash; Rot &ndash; Blau &ndash; Rot &ndash; Blau&rdquo;.
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*Dagegen kann über das Symbol&nbsp; $a_8$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 8$&nbsp; noch keine endgültige Aussage gemacht werden:
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*Nur unter der Hypothese&nbsp; $a_9 = 1$&nbsp; <u>und</u>&nbsp; $a_{\rm 10} = 1$&nbsp; würde man sich für&nbsp; $a_8 = 0$&nbsp; entscheiden,&nbsp; bei anderen Hypothesen&nbsp; für $a_8 = 1$.
 
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Aktuelle Version vom 5. Juli 2022, 12:08 Uhr

Trellisdiagramm für zwei Vorläufer

Wir gehen von den Grundimpulswerten  $g_0\ne 0$,  $g_{\rm –1}\ne 0$  and  $g_{\rm –2}\ne 0$  aus:

  • Das bedeutet,  dass die Entscheidung über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  auch durch die nachfolgenden Koeffizienten  $a_{\rm \nu +1}$  und  $a_{\rm \nu +2}$  beeinflusst wird.
  • Damit sind für jeden Zeitpunkt  $\nu$  genau acht Fehlergrößen  $\varepsilon_{\rm \nu}$  zu bestimmen,  aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen   ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$  und  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$  berechnet werden können.
  • Hierbei liefert beispielsweise  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  Information über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  unter der Annahme,  dass  $a_{\rm \nu +1} = 0$  und  $a_{\rm \nu +2} = 1$  sein werden.
  • Die minimale Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von
$$\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001)\big] \hspace{0.15cm}{\rm und} \hspace{0.15cm}\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101)\big].$$

Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_2(10)$  in den Teilaufgaben  (1)  und  (2)  soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:

  • unipolare Amplitudenkoeffizienten:  $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$,
  • Grundimpulswerte  $g_0 = 0.5$,  $g_{\rm –1} = 0.3$,  $g_{\rm –2} = 0.2$,
  • anliegender Detektionsabtastwert:  $d_2 = 0.2$,
  • Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt  $\nu = 1$:
$${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{0.2cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) = 1.2 \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte  $\nu = 1$  bis  $\nu = 8$  dargestellt.

  • Blaue Zweige kommen entweder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$  oder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$  und kennzeichnen eine hypothetische „$0$”.
  • Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$  bzw.  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$  – auf das Symbol „$1$” hin.



Hinweise:

  • Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:   ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$



Fragebogen

1

Berechnen Sie die folgenden Fehlergrößen:

$\varepsilon_2(010) \ = \ $

$\varepsilon_2(011) \ = \ $

$\varepsilon_2(110) \ = \ $

$\varepsilon_2(111) \ = \ $

2

Berechnen Sie die folgenden minimalen Gesamtfehlergrößen:

${\it \Gamma}_2(10) \ = \ $

${\it \Gamma}_2(11) \ = \ $

3

Wie lauten die vom Viterbi–Empfänger ausgegebene Symbole?

Die ersten sieben Symbole sind  "$1011010$".
Die ersten sieben Symbole sind  "$1101101$".
Das letzte Symbol  $a_8 = 1$  ist sicher.
Über das Symbol  $a_8$  ist noch keine endgültige Aussage möglich.


Musterlösung

(1)  Die erste Fehlergröße wird wie folgt berechnet:

$$\varepsilon_{2}(010) = [d_0 - 0 \cdot g_0 - 1 \cdot g_{-1}- 0 \cdot g_{-2}]^2= [0.2 -0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.01} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für die weiteren Fehlergrößen:

$$\varepsilon_{2}(011) \ = \ [0.2 -0.3- 0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.09}\hspace{0.05cm},$$
$$\varepsilon_{2}(110) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.36}\hspace{0.05cm},$$
$$\varepsilon_{2}(111) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3-0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.64} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Die Aufgabe ist,  jeweils den minimalen Wert von zwei Vergleichswerten zu finden:

$${\it \Gamma}_{2}(10) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(010), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(110)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.01, 1.2 + 0.36\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.21} \hspace{0.05cm},$$
$${\it \Gamma}_{2}(11) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(011), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(111)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.09, 1.2 + 0.64\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.29} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind der  erste und der letzte Lösungsvorschlag:

  • Die Folge  "$1011010$"  erkennt man aus dem durchgehenden Pfad:     „Rot – Blau – Rot – Rot – Blau – Rot – Blau”.
  • Dagegen kann über das Symbol  $a_8$  zum Zeitpunkt  $\nu = 8$  noch keine endgültige Aussage gemacht werden:
  • Nur unter der Hypothese  $a_9 = 1$  und  $a_{\rm 10} = 1$  würde man sich für  $a_8 = 0$  entscheiden,  bei anderen Hypothesen  für $a_8 = 1$.