Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei: | + | Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei: |
| − | * | + | *Ein systematischer $(5, 2)$–Blockcode C mit den Codeworten |
:x_0 = (0,0,0,0,0), x_1 = (0,1,0,1,0), x_2 = (1,0,1,0,1), x_3 = (1,1,1,1,1); | :x_0 = (0,0,0,0,0), x_1 = (0,1,0,1,0), x_2 = (1,0,1,0,1), x_3 = (1,1,1,1,1); | ||
| − | *ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x_∈GF(25) in den Vektor y_∈GF(25) verfälscht; | + | *ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x_∈GF(25) in den Vektor y_∈GF(25) verfälscht; |
| − | *ein [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]] mit der Entscheidungsregel | + | |
| + | *ein [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]] (kurz: "ML–Decoder") mit der Entscheidungsregel | ||
:z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i). | :z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i). | ||
| − | + | Hier bezeichnet dH(y_, xi_) die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]] zwischen dem Empfangswort y_ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort xi_. | |
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| − | {Es sei y_=(0,0,0,1,0). Welche Entscheidungen erfüllen das | + | {Es sei y_=(0,0,0,1,0). Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium? |
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+ z_=x_0=(0,0,0,0,0), | + z_=x_0=(0,0,0,0,0), | ||
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| − | {Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für y_=(1,0,1,1,1), wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole | + | {Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für y_=(1,0,1,1,1), wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole unsicher sind? |
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- z_=x_0=(0,0,0,0,0), | - z_=x_0=(0,0,0,0,0), | ||
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| − | {Zu welchem Informationswort v=(v1,v2) führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe? | + | {Zu welchem Informationswort v=(v1,v2) führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe? |
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| − | '''(1)''' Richtig ist die <u>Antwort 3</u>: | + | '''(1)''' Richtig ist die <u>Antwort 3</u> ⇒ z_=x_2=(1,0,1,0,1): |
| − | *Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort y_=(1,0,0,0,1) und den vier möglichen Codeworten x_i ergeben sich wie folgt: | + | *Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort y_=(1,0,0,0,1) und den vier möglichen Codeworten x_i ergeben sich wie folgt: |
:dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3. | :dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3. | ||
| − | *Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz dH(y_,x_2)=1. | + | *Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz dH(y_,x_2)=1. |
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| − | '''(2)''' Für y_=(0,0,0,1,0) sind die <u>Antworten 1 und 2</u> richtig, wie die folgende Rechnung zeigt: | + | '''(2)''' Für y_=(0,0,0,1,0) sind die <u>Antworten 1 und 2</u> richtig, wie die folgende Rechnung zeigt: |
:dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4. | :dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4. | ||
| − | '''(3)''' Richtig ist die <u>Antwort 3</u>: | + | |
| − | *Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von x2 genau so möglich wie für x3, wenn | + | '''(3)''' Richtig ist die <u>Antwort 3</u>: |
| + | *Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von x2 genau so möglich wie für x3, wenn y_=(1,0,1,1,1) empfangen wird: | ||
:dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1. | :dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1. | ||
| − | *Der Empfangsvektor y_ unterscheidet sich aber von x2 bezüglich des vierten Bits und von x3 im zweiten Bit. Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für x2 entscheiden . | + | *Der Empfangsvektor y_ unterscheidet sich aber von x2 bezüglich des vierten Bits und von x3 im zweiten Bit. |
| + | * Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für x2 entscheiden . | ||
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| − | '''(4)''' Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für z_=(1,0,1,0,1) gleichbedeutend mit der Entscheidung | + | '''(4)''' Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für z_=(1,0,1,0,1) gleichbedeutend mit der Entscheidung |
:v1 =1_, v2 =0_. | :v1 =1_, v2 =0_. | ||
| − | Es ist nicht sicher, dass u_=(1,0) tatsächlich gesendet wurde | + | *Es ist nicht sicher, dass u_=(1,0) tatsächlich gesendet wurde. |
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| + | *Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors y_=(1,0,1,1,1) hierfür am größten. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 12. Juni 2022, 15:25 Uhr
Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung
Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
- Ein systematischer (5,2)–Blockcode C mit den Codeworten
- x_0 = (0,0,0,0,0),x_1 = (0,1,0,1,0),x_2 = (1,0,1,0,1),x_3 = (1,1,1,1,1);
- ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x_∈GF(25) in den Vektor y_∈GF(25) verfälscht;
- ein Maximum–Likelihood–Decoder (kurz: "ML–Decoder") mit der Entscheidungsregel
- z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i).
Hier bezeichnet dH(y_, xi_) die Hamming–Distanz zwischen dem Empfangswort y_ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort xi_.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist die Antwort 3 ⇒ z_=x_2=(1,0,1,0,1):
- Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort y_=(1,0,0,0,1) und den vier möglichen Codeworten x_i ergeben sich wie folgt:
- dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3.
- Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz dH(y_,x_2)=1.
(2) Für y_=(0,0,0,1,0) sind die Antworten 1 und 2 richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:
- dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4.
(3) Richtig ist die Antwort 3:
- Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von x2 genau so möglich wie für x3, wenn y_=(1,0,1,1,1) empfangen wird:
- dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1.
- Der Empfangsvektor y_ unterscheidet sich aber von x2 bezüglich des vierten Bits und von x3 im zweiten Bit.
- Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für x2 entscheiden .
(4) Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für z_=(1,0,1,0,1) gleichbedeutend mit der Entscheidung
- v1 =1_, v2 =0_.
- Es ist nicht sicher, dass u_=(1,0) tatsächlich gesendet wurde.
- Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors y_=(1,0,1,1,1) hierfür am größten.
