Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung: Unterschied zwischen den Versionen

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*Ein systematischer  (5,2)–Blockcode  C  mit den Codeworten
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:x_0 = (0,0,0,0,0),
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*ein digitales  (binäres)  Kanalmodell,  das den Vektor  x_∈GF(25)  in den Vektor  y_∈GF(25)  verfälscht;
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*ein  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]  (kurz:   "ML–Decoder")  mit der Entscheidungsregel
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:z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i).
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Hier bezeichnet  dH(y_, xi_)  die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]  zwischen dem Empfangswort  y_  und dem  (möglicherweise)  gesendeten Codewort  xi_.
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Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen"]].
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Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
 
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*ein systematischer (5, 2)–Blockcode ''C'' mit den Codeworten
 
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:x_0 = (0,0,0,0,0),
x_1 = (0,1,0,1,0),
x_2 = (1,0,1,0,1),
x_3 = (1,1,1,1,1),
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
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+ Richtig
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+ z_=x_2=(1,0,1,0,1),
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{Input-Box Frage
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{Es sei&nbsp; y_=(0,0,0,1,0).&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
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+ z_=x_0=(0,0,0,0,0),
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+ z_=x_1=(0,1,0,1,0),
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- z_=x_2=(1,0,1,0,1),
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{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; y_=(1,0,1,1,1),&nbsp; wenn ihm mitgeteilt wird,&nbsp; dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
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- z_=x_0=(0,0,0,0,0),
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+ z_=x_2=(1,0,1,0,1),
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{Zu welchem Informationswort&nbsp; v=(v1,v2)&nbsp; führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
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'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;  z_=x_2=(1,0,1,0,1):
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'''2.'''
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*Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort&nbsp; y_=(1,0,0,0,1)&nbsp; und den vier möglichen Codeworten&nbsp; x_i&nbsp; ergeben sich wie folgt:
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'''3.'''
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:dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3.
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'''4.'''
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*Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz&nbsp; dH(y_,x_2)=1.
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'''5.'''
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'''(2)'''&nbsp; Für&nbsp; y_=(0,0,0,1,0)&nbsp; sind die&nbsp; <u>Antworten 1 und 2</u>&nbsp; richtig,&nbsp; wie die folgende Rechnung zeigt:
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:dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
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*Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von&nbsp; x2&nbsp; genau so möglich wie für&nbsp; x3,&nbsp; wenn y_=(1,0,1,1,1)&nbsp; empfangen wird:
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:dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1.
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*Der Empfangsvektor&nbsp; y_&nbsp; unterscheidet sich aber von&nbsp; x2&nbsp; bezüglich des vierten Bits und von&nbsp; x3&nbsp; im zweiten Bit.
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* Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,&nbsp; wird er sich für&nbsp; x2&nbsp; entscheiden .
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'''(4)'''&nbsp; Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,&nbsp; ist die Entscheidung für&nbsp; z_=(1,0,1,0,1)&nbsp; gleichbedeutend mit der Entscheidung
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:$$v_{1}  \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \  \underline{= 0}.$$
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*Es ist nicht sicher,&nbsp; dass&nbsp; u_=(1,0)&nbsp;  tatsächlich gesendet wurde.  
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*Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors&nbsp; y_=(1,0,1,1,1)&nbsp; hierfür am größten.
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{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanal und Entscheiderstrukturen
 
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Aktuelle Version vom 12. Juni 2022, 16:25 Uhr

Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung

Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik.  Berücksichtigt sind dabei:

  • Ein systematischer  (5,2)–Blockcode  C  mit den Codeworten
x_0 = (0,0,0,0,0),
x_1 = (0,1,0,1,0),
x_2 = (1,0,1,0,1),
x_3 = (1,1,1,1,1);
  • ein digitales  (binäres)  Kanalmodell,  das den Vektor  x_∈GF(25)  in den Vektor  y_∈GF(25)  verfälscht;
z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i).

Hier bezeichnet  dH(y_, xi_)  die  Hamming–Distanz  zwischen dem Empfangswort  y_  und dem  (möglicherweise)  gesendeten Codewort  xi_.




Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen".



Fragebogen

1

Es sei  y_=(1,0,0,0,1).  Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

2

Es sei  y_=(0,0,0,1,0).  Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

3

Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für  y_=(1,0,1,1,1),  wenn ihm mitgeteilt wird,  dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

4

Zu welchem Informationswort  v=(v1,v2)  führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?

v1 = 

v2 = 


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist die  Antwort 3   ⇒   z_=x_2=(1,0,1,0,1):

  • Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort  y_=(1,0,0,0,1)  und den vier möglichen Codeworten  x_i  ergeben sich wie folgt:
dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3.
  • Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz  dH(y_,x_2)=1.


(2)  Für  y_=(0,0,0,1,0)  sind die  Antworten 1 und 2  richtig,  wie die folgende Rechnung zeigt:

dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4.


(3)  Richtig ist die  Antwort 3:

  • Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von  x2  genau so möglich wie für  x3,  wenn y_=(1,0,1,1,1)  empfangen wird:
dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1.
  • Der Empfangsvektor  y_  unterscheidet sich aber von  x2  bezüglich des vierten Bits und von  x3  im zweiten Bit.
  • Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,  wird er sich für  x2  entscheiden .


(4)  Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,  ist die Entscheidung für  z_=(1,0,1,0,1)  gleichbedeutend mit der Entscheidung

v1 =1_, v2 =0_.
  • Es ist nicht sicher,  dass  u_=(1,0)  tatsächlich gesendet wurde.
  • Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors  y_=(1,0,1,1,1)  hierfür am größten.

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