Aufgaben:Aufgabe 2.13: Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM): Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1055__Mod_A_2_11.png|right|]]
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[[Datei:P_ID1055__Mod_A_2_11.png|right|frame|Betrachtetes Modell der  $\rm QAM$]]
Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe angegeben werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen $q_1(t)$ und $q_2(t)$ über den gleichen Kanal. In dieser Aufgabe gelte mit $A_1 = A_2 = 2 V$:
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Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation  $\rm (QAM)$  erlaubt unter gewissen Randbedingungen,  die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen,  die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen  $q_1(t)$  und  $q_2(t)$  über den gleichen Kanal.  
$$q_1(t)  = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$
 
$$q_2(t)  =  A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 
Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit $ω_T = 2π · 25 kHz$:
 
$$z_1(t)  =  \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
 
$$ z_2(t)  =  \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
 
$$ z_{1,{\rm E}}(t) =  2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$
 
$$ z_{2,{\rm E}}(t)  =  2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
 
Die beiden Tiefpässe mit den Eingangssignalen $b_1(t)$ und $b_2(t)$ entfernen jeweils alle Frequenzanteile $|f| > f_T$.
 
  
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In dieser Aufgabe gelte mit  $A_1 = A_2 = 2\ \rm  V$:
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:$$q_1(t)  = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$
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:$$q_2(t)  =  A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
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Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit  $ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$:
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:$$z_1(t)  =  \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
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:$$ z_2(t)  =  \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
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:$$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) =  2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$
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:$$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)  =  2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
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Die beiden Tiefpässe  $\rm TP_1$  und  $\rm TP_2$  mit den Eingangssignalen  $b_1(t)$  und  $b_2(t)$  entfernen alle Frequenzanteile  $|f| > f_{\rm T}$.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten|Weitere AM–Varianten]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die  Seite  [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)]].
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*Anzumerken ist,  dass hier die Trägersignale  $z_2(t)$  und  $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$  mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden.  Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
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*Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
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:$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
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:$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
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:$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =  1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$
  
'''Hinweis:'''  Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Weitere_AM%E2%80%93Varianten Kapitel 2.5] dieses Buches. Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale $z_2(t)$ und $z_{2,E}(t)$ mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden. Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
 
  
Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
 
$$\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) =  \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \right],$$
 
$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)  =  \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \right],$$
 
$$\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =  \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \right] \hspace{0.05cm}.$$
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Sendesignal $s(t)$ für den Fall $f_1 ≠ f_2$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
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{Berechnen Sie das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; für den Fall &nbsp;$f_1 ≠ f_2$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
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|type="()"}
- $s(t)$ besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
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- $s(t)$&nbsp; besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
+ $s(t)$ setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
+
+ $s(t)$&nbsp; setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
- $s(t)$ setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.
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- $s(t)$&nbsp; setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.
  
{Wie lautet $s(t)$ für $f_1 = f_2 = 5 kHz$. Welcher Signalwert tritt bei $t = 50 μs$ auf?
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{Wie lautet &nbsp;$s(t)$&nbsp; für &nbsp;$f_1 = f_2 = 5 \ \rm kHz$?&nbsp; Welcher Signalwert tritt bei &nbsp;$t = 50 \ \rm &micro; s$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$s(t = 50 μs)$ = { 2 3% } $V$  
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$s(t = 50 \ \rm &micro; s) \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$  
  
{Berechnen Sie für $f_1 = f_2$ und $Δϕ_T = 0$ die Sinkensignale $υ_1(t)$ und $υ_2(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+
{Berechnen Sie für &nbsp;$f_1 = f_2$&nbsp; und &nbsp;$Δϕ_{\rm T} = 0$&nbsp; (kein Phasenversatz) die Sinkensignale &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
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|type="()"}
+ Es gilt $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.
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+ Es gilt&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t) = q_2(t)$.
 
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
  
{Berechnen Sie für $f_1 = f_2$ und $Δϕ_T = 30°$ die Sinkensignale $υ_1(t)$ und $υ_2(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+
{Berechnen Sie die Sinkensignale&nbsp; $v_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_1 = f_2$&nbsp; und den  Phasenversatz&nbsp; $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- Es gilt $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.
+
- Es gilt &nbsp;$v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t) = q_2(t)$.
 
+ Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
+ Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
  
{Welche der folgenden Aussagen treffen für $f_1 ≠ f_2$ und $Δϕ_T ≠ 0$ zu?
+
{Welche der folgenden Aussagen treffen für &nbsp;$f_1 ≠ f_2$&nbsp; und &nbsp;$Δϕ_{\rm T} ≠ 0$&nbsp;  (beliebiger Phasenversatz) zu?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- Es gilt $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.
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- Es gilt &nbsp;$v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t) = q_2(t)$.
 
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
 
+ Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
 
+ Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:
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'''(1)'''&nbsp; Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:
$$s(t)  =  A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) =$$  
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:$$s(t)  =  A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$  
$$ =  \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) +$$
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:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}s(t)  =  \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) +  
$$ +  \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
+
  \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist demnach der zweite Lösungsvorschlag.
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*Richtig ist demnach der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
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'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $f_1 = f_2 = 5\ \rm  kHz$&nbsp; überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf.
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*Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:
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:$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
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*Bei phasensynchroner Demodulation&nbsp; $(Δϕ_T = 0)$&nbsp; erhält man für die Signale vor den Tiefpässen gemäß der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)''':
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:$$b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$
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:$$ b_2(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Nach Eliminierung der jeweiligen&nbsp; $45\ \rm  kHz$–Anteile ergibt sich somit&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t) = q_2(t)$.
 +
 
  
  
'''2.'''Mit $A_1 = A_2 = 2 V$ und $f_1 = f_2 = 5 kHz$ überlagern sich zwei dieser Cosinusschwingungen konstruktiv und zwei weitere heben sich vollständig auf. Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:
+
'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt nun:
$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=
'''3.''' Richtig ist der erste Lösungsvorschlag. Bei phasensynchroner Demodulation ($Δϕ_T = 0$) erhält man für die Signale vor den beiden Tiefpässen mit $r(t) = s(t)$ entsprechend Teilaufgabe b):
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  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$
$$b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$
+
:$$b_2(t)=  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=
$$ b_2(t) =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
+
  2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$
Nach Eliminierung der jeweiligen 45 kHz–Anteile ergibt sich somit $υ_1(t) = q_1(t)$ und $υ_2(t) = q_2(t)$.
+
*Die Sinkensignale&nbsp; $v_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t)$&nbsp; weisen bei dieser Konstellation gegenüber&nbsp; $q_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $q_2(t)$&nbsp; Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf.
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*Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 2</u>.
  
  
'''4.'''Analog zur Teilaufgabe c) gilt nun:
 
$$ b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=$$
 
$$ =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$
 
$$b_2(t)=  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=$$
 
$$  =  2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$
 
Die Sinkensignale $υ_1(t)$ und $υ_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf. Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen.
 
  
'''5.'''Allgemein gilt für das Empfangssignal:
+
'''(5)'''&nbsp; Allgemein gilt für das Empfangssignal:
$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,E}(t)$ und $z_{2,E}(t)$ und die abschließende Bandbegrenzung führt zu den Sinkensignalen
+
Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen&nbsp; $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$&nbsp; und&nbsp; $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$&nbsp; und Bandbegrenzung führt zu den Signalen
$$v_1(t)  =  \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$
+
:$$v_1(t)  =  \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$
$$ v_2(t)  =  \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ v_2(t)  =  \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ist zu ersehen: Bei einem Phasenversatz von $Δ_ϕT = 30°$ beinhaltet das Sinkensignal $υ_1(t)$ nicht nur das um $cos(30°) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$, sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$ (diese ist mit dem Faktor $sin(30°) = 0.5$ gewichtet). Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor.
+
Daraus ist zu ersehen:  
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*Bei einem Phasenversatz von&nbsp; $Δϕ_{\rm T}  = 30^\circ$&nbsp; beinhaltet das Sinkensignal&nbsp; $v_1(t)$&nbsp; nicht nur das um&nbsp; $\cos(30^\circ) = 0.866$&nbsp; gedämpfte Signal&nbsp; $q_1(t)$, <br>sondern auch die in&nbsp; $q_2(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz&nbsp; $f_2$.&nbsp; Diese ist mit dem Faktor&nbsp; $\sin(30^\circ) = 0.5$&nbsp; gewichtet.  
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*Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 3</u>.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 18. Februar 2022, 18:09 Uhr

Betrachtetes Modell der  $\rm QAM$

Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation  $\rm (QAM)$  erlaubt unter gewissen Randbedingungen,  die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen,  die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen  $q_1(t)$  und  $q_2(t)$  über den gleichen Kanal.

In dieser Aufgabe gelte mit  $A_1 = A_2 = 2\ \rm V$:

$$q_1(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$
$$q_2(t) = A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit  $ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$:

$$z_1(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
$$ z_2(t) = \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
$$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$
$$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$


Die beiden Tiefpässe  $\rm TP_1$  und  $\rm TP_2$  mit den Eingangssignalen  $b_1(t)$  und  $b_2(t)$  entfernen alle Frequenzanteile  $|f| > f_{\rm T}$.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Weitere AM–Varianten.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM).
  • Anzumerken ist,  dass hier die Trägersignale  $z_2(t)$  und  $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$  mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden.  Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
  • Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie das Sendesignal  $s(t)$  für den Fall  $f_1 ≠ f_2$.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

$s(t)$  besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
$s(t)$  setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
$s(t)$  setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.

2

Wie lautet  $s(t)$  für  $f_1 = f_2 = 5 \ \rm kHz$?  Welcher Signalwert tritt bei  $t = 50 \ \rm µ s$  auf?

$s(t = 50 \ \rm µ s) \ = \ $

$\ \rm V$

3

Berechnen Sie für  $f_1 = f_2$  und  $Δϕ_{\rm T} = 0$  (kein Phasenversatz) die Sinkensignale  $v_1(t)$  und  $v_2(t)$.  Welche Aussagen treffen zu?

Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

4

Berechnen Sie die Sinkensignale  $v_1(t)$  und  $v_2(t)$  für  $f_1 = f_2$  und den Phasenversatz  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$.  Welche Aussagen treffen zu?

Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für  $f_1 ≠ f_2$  und  $Δϕ_{\rm T} ≠ 0$  (beliebiger Phasenversatz) zu?

Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.


Musterlösung

(1)  Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:

$$s(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist demnach der  zweite Lösungsvorschlag.


(2)  Mit  $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$  und  $f_1 = f_2 = 5\ \rm kHz$  überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf.

  • Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:
$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm µ s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist der  erste Lösungsvorschlag:

  • Bei phasensynchroner Demodulation  $(Δϕ_T = 0)$  erhält man für die Signale vor den Tiefpässen gemäß der Teilaufgabe  (2):
$$b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$
$$ b_2(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Nach Eliminierung der jeweiligen  $45\ \rm kHz$–Anteile ergibt sich somit  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.


(4)  Analog zur Teilaufgabe  (3)  gilt nun:

$$ b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$
$$b_2(t)= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Sinkensignale  $v_1(t)$  und  $v_2(t)$  weisen bei dieser Konstellation gegenüber  $q_1(t)$  und  $q_2(t)$  Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf.
  • Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen   ⇒   Antwort 2.


(5)  Allgemein gilt für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen  $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$  und  $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$  und Bandbegrenzung führt zu den Signalen

$$v_1(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$
$$ v_2(t) = \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist zu ersehen:

  • Bei einem Phasenversatz von  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$  beinhaltet das Sinkensignal  $v_1(t)$  nicht nur das um  $\cos(30^\circ) = 0.866$  gedämpfte Signal  $q_1(t)$,
    sondern auch die in  $q_2(t)$  enthaltene Frequenz  $f_2$.  Diese ist mit dem Faktor  $\sin(30^\circ) = 0.5$  gewichtet.
  • Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor   ⇒   Antwort 3.